第17讲基本不等式题型总结

第17讲:基本不等式题型总结一．选择题（共11小题）1．下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．a+b≥2|ab| D．a2+b2≤﹣2ab2．下列函数中最小值为4的是（）A．y＝x2+2x+4 B．y＝|sinx|+4C．y＝2x+22﹣x D．y＝lnx+3．若2x+2y＝1，则x+y的取值范围是（）A．[0，2] B．[﹣2，0] C．[﹣2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]4．若a，b，c＞0且a（a+b+c）+bc＝4﹣23，则2a+b+c的最小值为（）A．3−1 B．3+1 C．23−2 5．已知正实数a，b满足2a+b＝4，则2a+2A．94+2 B．4 C．96．设x，y为实数，若4x2+y2+xy＝1，则2x+y的最大值是（）A．62 B．2105 7．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z＝0．则当xyz取得最大值时，2A．0 B．1 C．94 8．设a＞b＞c＞0，则2a2+1ab+1a(a−b)−A．2 B．4 C．25 9．已知实数m，n，若m≥0，n≥0，且m+n＝1，则m2A．14 B．415 C．1810．设a＞0，b＞1，若a+b＝2，则4aA．6 B．9 C．32 11．设a，b∈R，a2+2b2＝6，则a+b的最小值是（）A．﹣22 B．−533 C．﹣3二．多选题（共5小题）（多选）12．已知a＞0，b＞0，设M=a+ba2A．M有最小值，最小值为1 B．M有最大值，最大值为2 C．N没有最小值 D．N有最大值，最大值为2（多选）13．已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）A．a2+b2≥12 B．2a﹣bC．log2a+log2b≥﹣2 D．a（多选）14．已知a，b为正实数，且ab+2a+b＝6，则（）A．ab的最大值为2 B．2a+b的最小值为4 C．a+b的最小值为3 D．1a+1+（多选）15．已知正数a，b满足a²+b²＝1，则（）A．a+b的最大值是2 B．ab的最大值是12C．a﹣b的最小值是﹣1 D．ab−2的最小值为（多选）16．设正实数a、b满足a+b＝1，则（）A．ab有最大值12 B．1a+2bC．a2+b2有最小值12 D．a+三．填空题（共11小题）17．设a，b＞0，a+b＝5，则a+1+b+3的最大值为18．若a＞0，b＞0，a+b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是（写出所有正确命题的编号）．①ab≤1；②a+③a2+b2≥2；④a3+b3≥3；⑤1a19．设a+b＝2，b＞0，则当a＝时，12|a|20．已知正实数a，b满足lg(a+b)=lg2ba+lgab21．对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+b2﹣c＝0且使|2a+b|最大时，1a+222．对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+4b2﹣c＝0且使|2a+b|最大时，3a−423．已知a＞0，b＞0，则1a+ab24．已知a＞0，b＞0，c＞2且a+b＝1，则3acb+25．函数f（x）=1sinx+26．已知正实数x，y满足4x2﹣2xy+y2＝1，则2x+y的取值范围是；2x﹣y的取值范围是．27．若a，b∈R，ab＞0，则a4+b四．解答题（共2小题）28．（1）求2x−13x+1（2）设x＞0，y＞0且x+y＝1，求2x29．若x，y，z为实数，且x+2y+2z＝6，求x2+y2+z2的最小值．

第17讲:基本不等式题型总结参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．a+b≥2|ab| D．a2+b2≤﹣2ab【解答】解：A．显然当a＜0，b＞0时，不等式a2+b2≤2ab不成立，故A错误；B．∵（a+b）2≥0，∴a2+b2+2ab≥0，∴a2+b2≥﹣2ab，故B正确；C．显然当a＜0，b＜0时，不等式a+b≥2|ab|不成立，故C错误；D．显然当a＞0，b＞0时，不等式a2+b2≤﹣2ab不成立，故D错误．故选：B．2．下列函数中最小值为4的是（）A．y＝x2+2x+4 B．y＝|sinx|+4C．y＝2x+22﹣x D．y＝lnx+【解答】解：对于A，y＝x2+2x+4＝（x+1）2+3≥3，所以函数的最小值为3，故选项A错误；对于B，因为0＜|sinx|≤1，所以y＝|sinx|+4当且仅当|sinx|=4|sinx|，即|sin因为|sinx|≤1，所以等号取不到，所以y＝|sinx|+4|sinx|＞对于C，因为2x＞0，所以y＝2x+22﹣x=2当且仅当2x＝2，即x＝1时取等号，所以函数的最小值为4，故选项C正确；对于D，因为当x=1e时，所以函数的最小值不是4，故选项D错误．故选：C．3．若2x+2y＝1，则x+y的取值范围是（）A．[0，2] B．[﹣2，0] C．[﹣2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]【解答】解：∵1＝2x+2y≥2•（2x2y）12变形为2x+y≤14，即x+y≤﹣2，当且仅当x＝则x+y的取值范围是（﹣∞，﹣2]．故选：D．4．若a，b，c＞0且a（a+b+c）+bc＝4﹣23，则2a+b+c的最小值为（）A．3−1 B．3+1 C．23−2 【解答】解：a（a+b+c）+bc＝a（a+b）+ac+bc＝a（a+b）+c（a+b）＝（a+c）（a+b）＝4﹣23．2a+b+c＝（a+b）+（a+c）≥2(a+b)(a+c)=24−23=所以，2a+b+c的最小值为23−故选：C．5．已知正实数a，b满足2a+b＝4，则2a+2A．94+2 B．4 C．9【解答】解：∵正实数a，b满足2a+b＝4，∴2a+4+b＝8，∴2＝（42a+4+2b）×（2a=18（6≥18（6+24b2a+4×2(2a+4)b）=故选：D．6．设x，y为实数，若4x2+y2+xy＝1，则2x+y的最大值是（）A．62 B．2105 【解答】解：∵4x2+y2+xy＝1∴（2x+y）2﹣3xy＝1令t＝2x+y则y＝t﹣2x∴t2﹣3（t﹣2x）x＝1即6x2﹣3tx+t2﹣1＝0∴Δ＝9t2﹣24（t2﹣1）＝﹣15t2+24≥0解得−∴2x+y的最大值是210故选：B．7．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z＝0．则当xyz取得最大值时，2A．0 B．1 C．94 【解答】解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z＝0，∴z＝x2﹣3xy+4y2，又x，y，z均为正实数，∴xyz=xyx2∴(xyz)max=∴z＝x2﹣3xy+4y2＝（2y）2﹣3×2y×y+4y2＝2y2，∴2x+1∴2x故选：B．8．设a＞b＞c＞0，则2a2+1ab+1a(a−b)−A．2 B．4 C．25 【解答】解：2=(a−5c)=(a−5c)≥0+2+2＝4当且仅当a﹣5c＝0，ab＝1，a（a﹣b）＝1时等号成立如取a=2，b=22，故选：B．9．已知实数m，n，若m≥0，n≥0，且m+n＝1，则m2A．14 B．415 C．18【解答】解：∵m≥0，n≥0，且m+n＝1，∴n＝1﹣m，（0≤m≤1）．∴f（m）=＝m﹣2+4m+2+则f′（m）=(6−m)(3m−2)令f′（m）＝0，0≤m≤1，解得m=2当0≤m＜23时，f′（m）＜0；当23＜m≤1时，∴当m=23时，f（m）取得极小值即最小值，故选：A．10．设a＞0，b＞1，若a+b＝2，则4aA．6 B．9 C．32 【解答】解：因为a＞0，b＞1，a+b＝2，所以a+（b﹣1）＝1，所以4a+1b−1=（4＝4+1+4(b−1)a+当且仅当a＝2（b﹣1），即a=23，b所以4a故选：B．11．设a，b∈R，a2+2b2＝6，则a+b的最小值是（）A．﹣22 B．−533 C．﹣3【解答】解：因为a，b∈R，a2+2b2＝6故可设a=6cosθb=3sinθ则：a+b=6再根据三角函数最值的求法可直接得到a+b的最小值是﹣3．故选：C．二．多选题（共5小题）（多选）12．已知a＞0，b＞0，设M=a+ba2A．M有最小值，最小值为1 B．M有最大值，最大值为2 C．N没有最小值 D．N有最大值，最大值为2【解答】解：M2=a2+b2+2aba故M≤2，即M的最大值为2，A错误，BN=aba2+b2=1故选：BC．（多选）13．已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）A．a2+b2≥12 B．2a﹣bC．log2a+log2b≥﹣2 D．a【解答】解：①已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以（a+b）2≤2a2+2b2，则a2+b②利用分析法：要证2a−b＞12，只需证明a﹣b＞﹣1即可，即a＞b﹣1，由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以：a＞0，﹣1＜③log2a+log④由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，利用分析法：要证a+b≤2成立，只需对关系式进行平方，整理得a+b+2ab≤2，即2ab≤1，故ab故选：ABD．（多选）14．已知a，b为正实数，且ab+2a+b＝6，则（）A．ab的最大值为2 B．2a+b的最小值为4 C．a+b的最小值为3 D．1a+1+【解答】解：因为6＝ab+2a+b≥ab+22ab，当且仅当2a＝b解得ab≤2，即ab≤2，故ab的最大值为2，由6＝ab+2a+b得b=6−2a所以2a+b＝2a+6−2aa+1=2（a+1）+8a+1−4≥22(a+1)⋅8a+1a+b＝a+8a+1−2=a+1+8a+1−3≥42−3，当且仅当a+11a+1+1b+2≥21a+1⋅1b+2=21故选：ABD．（多选）15．已知正数a，b满足a²+b²＝1，则（）A．a+b的最大值是2 B．ab的最大值是12C．a﹣b的最小值是﹣1 D．ab−2的最小值为【解答】解：对于A：正数a，b满足a²+b²＝1，所以（a+b）2≤2（a2+b2），整理得a+b≤2，当且仅当a＝b时等号成立，故A对于B：由于a2+b2≥2ab，所以ab≤12，当且仅当a＝b时等号成立，故对于C：设点P（cosθ，sinθ），令a＝cosθ，b＝sinθ（0＜θ＜π2），则y＝a﹣b＝cosθ﹣sinθ因为0＜θ＜π2，所以π4＜θ+π对于D：设直线的方程为y﹣2＝kx，利用圆心（0，0）到直线的kx﹣y+2＝0的距离d=21+k2所以ab−2的最小值为−33故选：ABD．（多选）16．设正实数a、b满足a+b＝1，则（）A．ab有最大值12 B．1a+2bC．a2+b2有最小值12 D．a+【解答】解：因为正实数a、b满足a+b＝1．对于A选项，由基本不等式可得ab≤a+b2=1对于B选项，由基本不等式可得1a+2b=1当且仅当a=b=12时，等号成立，对于C选项，a2当且仅当a=b=12时，等号成立，对于D选项，∵(a+b当且仅当a=b=12时，等号成立，故选：ACD．三．填空题（共11小题）17．设a，b＞0，a+b＝5，则a+1+b+3的最大值为32【解答】解：由题意，（a+1+b+3）2≤（1+1）（a+1+∴a+1+b+3的最大值为3故答案为：32．18．若a＞0，b＞0，a+b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是①，③，⑤（写出所有正确命题的编号）．①ab≤1；②a+③a2+b2≥2；④a3+b3≥3；⑤1a【解答】解：对于命题①ab≤1：由2=a+b≥2ab⇒ab≤1，命题对于命题②a+b≤2：令a＝1，对于命题③a2+b2≥2：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝4﹣2ab≥2，命题③正确；对于命题④a3+b3≥3：令a＝1，b＝1时候不成立，所以命题④错误；对于命题⑤1a+1b≥2所以答案为①，③，⑤．19．设a+b＝2，b＞0，则当a＝﹣2时，12|a|【解答】解：法一：∵a+b＝2，b＞0，∴12|a|+|a|设f（a）=12|a|+利用导数研究其单调性得，当a＜0时，f（a）=−1f′（a）=12a2−2(a−2)2=−(3a−2)(a+2)2a故函数在（﹣∞，﹣2）上是减函数，在（﹣2，0）上是增函数，∴当a＝﹣2时，12|a|+|a|同样地，当0＜a＜2时，得到当a=23时，12|a|综合，则当a＝﹣2时，12|a|法二：因为a+b＝2，b＞0，要取得最小值，则a＜0，则12|a|≥a当且仅当b4|a|=|a|b，a＜0时取等号，此时因为a+b＝2，所以a＝﹣2，b＝4，故答案为：﹣2．20．已知正实数a，b满足lg(a+b)=lg2ba+lgab，则1【解答】解：因为lg(a+b)=lg2b则有a+b＝2，所以1=1当且仅当a+b=2b4a=所以12a+1故答案为：1+521．对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+b2﹣c＝0且使|2a+b|最大时，1a+2【解答】解：∵4a2﹣2ab+b2﹣c＝0，∴c由柯西不等式得，[(a−b4)2+(3b4)2][22+(23)2故当|2a+b|最大时，有a−b∴a=12b，c∴1当b＝﹣2时，取得最小值为﹣1．故答案为：﹣122．对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+4b2﹣c＝0且使|2a+b|最大时，3a−4【解答】解：∵4a2﹣2ab+4b2﹣c＝0，∴c由柯西不等式得，[(a−b4)2+1516b2][故当|2a+b|最大时，有a−b∴a=∴3a当b=1故答案为：﹣223．已知a＞0，b＞0，则1a+ab2+【解答】解：法一：∵a＞0，b＞0，∴1a+ab2+b≥2当且仅当1a=ab2且b=2∴1a+ab法二：∵a＞0，b＞0，∴1a+ab2+b当且仅当1a=ab2=∴1a+ab故答案为：22．24．已知a＞0，b＞0，c＞2且a+b＝1，则3acb+【解答】解：3acb+cab+6c−2=c因为a+b＝1，所以（a+b）2＝1，所以3acb+cab+6c−2=c•3a2+(a+b)2ab+6当且仅当a=13，b=2故填：24．25．函数f（x）=1sinx+8cosx【解答】解：f′(x)=−cosx由f′（x）＝0可得cosx＝2sinx即tanx=1又因为0＜x＜1根据导数与单调性的关系可知，当tanx=12时，函数取得最小值，此时sinx=15故f（x）min＝55．故答案为：55．26．已知正实数x，y满足4x2﹣2xy+y2＝1，则2x+y的取值范围是（1，2]；2x﹣y的取值范围是（﹣1，1）．【解答】解：令t＝2x+y，则y＝﹣2x+t，t＞0，代入4x2﹣2xy+y