数学高二-江苏省镇江市扬中高级中学2022-2023学年高二下学期第二次阶段测试数学试题（解析版）

江苏省镇江市扬中高级中学2022-2023第二学期高二数学第二次阶段测试姓名一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设i为虚数单位，复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用复数除法运算求出作答.【详解】依题意，所以.故选：B2.已知，则的值是（）A. B. C.或5 D.【答案】C【解析】【分析】根据组合数性质直接求解.【详解】因为，所以或，解得或.故选：C3.如图，在四面体中，，，，分别为，，，的中点，则化简的结果为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据向量的加法和数乘的几何意义，即可得到答案；【详解】．故选：C．4.如果数列的前n项和满足：，那么的值为（）A.18 B.19 C.20 D.21【答案】D【解析】【分析】由即可求得【详解】由题意故选：D5.为提高新农村的教育水平，某地选派4名优秀的教师到甲､乙､丙三地进行为期一年的支教活动，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（）A.18种 B.12种 C.72种 D.36种【答案】D【解析】【分析】先将4名教师分为3组，然后再分别派到甲､乙､丙三地，即可得解.【详解】解：4名教师分为3组，有种方法，然后再分别派到甲､乙､丙三地，共有种方案，所以共有36种选派方案.故选：D.6.点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求导，求出导函数的值域，再根据导数的几何意义即可得解.【详解】，所以点处切线的斜率的取值范围为，即，又，所以角的范围是.故选：C.7.已知椭圆的上顶点为，左､右焦点分别为，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的定义求得，在中，利用余弦定理求得，在中，再次利用余弦定理即可得解.【详解】解：由题意可得，因为，所以，因为为椭圆的上顶点，所以，则，在中，，在中，，即，所以，即椭圆的离心率为.故选：C.8.已知函数，对任意的，都有，当时，，若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，求得，得到为上的奇函数，根据题意求得，进而得到函数在上为减函数，把不等式，转化为，即可求解.【详解】令，则，可得，即，所以为上的奇函数，因为时，，可得，所以在为单调递减函数，且，所以函数在上为单调递减函数，由不等式，可得整理得到，即，可得，解得，所以实数的取值范围为.故选：B.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法中正确的有（）A.随机变量服从正态分布，，则B.随机变量服从，若，，则C.将一组数据的每个数据都乘以一个数，再加上一个数后，这组数据的方差变为原来的倍D.样本相关系数的绝对值越接近于，成对样本数据的线性相关程度越强【答案】ABD【解析】【分析】根据正态分布的对称性计算可得A正确；根据二项分布的均值和方差公式计算可得B正确；根据方差的性质可知C错误；根据样本相关系数的性质可得D正确.【详解】对于A，因为，所以，故A正确；对于B，因为，，所以，解得，故B正确；对于C，将一组数据的每个数据都乘以一个数，再加上一个数后，这组数据的方差变为原来的倍，故C错误；对于D，样本相关系数绝对值越接近于，成对样本数据的线性相关程度越强，故D正确.故选：ABD10.在50件产品中，有47件合格品，3件不合格品，从这50件产品中任意抽取4件，则下列结论正确的有（）A.抽取的4件产品中至少有一件是不合格品的抽法有种B.抽取的4件产品中至少有一件是不合格品的抽法有种C.抽取的4件产品中至少有一件是不合格品的抽法有种D.抽取的4件产品中至多有一件是不合格品的抽法有种【答案】BC【解析】【分析】根据题意可采用直接法，即把三种情况列出表达式相加即可；还可以采用间接法，用50件产品中任意抽取4件的所有可能的抽法减去不合题意的抽法即可.【详解】根据题意可知，抽取的4件产品中至少有一件是不合格品包括以下三种情况：①1件不合格品和3件合格品，共有种；②2件不合格品和2件合格品，共有种；③3件不合格品和1件合格品，共有种；所以至多有一件是不合格品的抽法有种，即B正确；还可以采用正难则反的思想，即间接法，“至少有一件是不合格品”与“全都是合格品”是对立事件，总的抽法共有种，全都是合格品的抽法共有种，所以至多有一件是不合格品的抽法还可以表示成种，即C正确；故选：BC11.若，，则（）A.若，为互斥事件， B.C.若，相互独立， D.若，则，相互独立【答案】AC【解析】【分析】利用互斥事件的定义及性质判断A选项；利用和事件的关系判断B选项；利用相互独立事件的定义及性质判断C选项；利用条件概率公式，求解事件A与B的积事件，根据独立事件关系确定A、B的独立性可判断D.【详解】选项A：若A，B为互斥事件，则，，故A正确；选项B：，故B错误；选项C：若A，B相互独立，，故C正确；选项D：，则A，B不相互独立，故D错误；故选：AC.12.已知直线交轴于点P，圆，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线与交于点C，则（）A.若直线l与圆M相切，则B.当时，四边形的面积为C.直线经过一定点D.已知点，则为定值【答案】ACD【解析】【分析】根据圆心到直线距离等于半径建立等式，解出即可判断A；根据求出，进而求出，根据相切可得四边形面积等于两个全等的直角三角形面积和，根据三角形面积公式即可求出结果；根据相切可知四点共圆，且为直径，求出圆的方程即可得弦所在的直线方程，进而判断C；根据直线过定点及可得，即C在以为直径的圆上，求出圆的方程可发现圆心为点，即可判断D.【详解】解：对于A，若直线l与圆M相切，则圆心到直线的距离，解得，所以A正确；对于B，当时，，，，因为为圆的两条切线，所以，所以四边形的面积，所以B错误；对于C，因为，，且，所以四点共圆，且为直径，所以该圆圆心为，半径为，所以圆的方程为：，因为是该圆和圆的相交弦，所以直线的方程为两圆方程相减，即，化简可得：，所以直线经过定点，所以C正确；对于D，因为，所以，因为在直线上，所以即点C在以为直径的圆上，因为，，所以圆心为，半径为，所以圆的方程为：，圆心为，因为点C在该圆上，所以为定值，所以D正确．故选：ACD三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．13.的展开式中的系数为______.【答案】【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式求解即可【详解】解：的展开式的通项为，令，所以的系数为.故答案为：.14.设是空间中两个不共线的向量，已知，，，且三点共线，则实数______．．【答案】【解析】【分析】利用向量线性运算可得，由三点共线可得，由此可构造方程组求得结果.【详解】，，，三点共线，存在实数，使得，即，，解得：．故答案为：.15.浙大附中高二年级某班元旦活动有唱歌､跳舞､小品､相声､朗诵､游戏六个节目制成一个节目单，其中游戏不安排在第一个，唱歌和跳舞相邻，则不同的节目单顺序有___________种（结果用数字作答）【答案】【解析】【分析】根据唱歌和跳舞相邻和游戏不安排在第一个，先将唱歌和跳舞进行捆绑看作一个与除游戏外的三个进行全排，然后将游戏进行插空即可求解.【详解】先将唱歌和跳舞进行捆绑看作一个与除游戏外的三个进行全排，则有种排法，然后将游戏插入这4个排好的空中（不排第一个），有种，由于唱歌和跳舞位置可以互换，所以不同的节目单顺序有种，故答案为：.16.已知F1，F2，分别为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N两点．若，则C的离心率为____．【答案】【解析】【分析】根据二倍角公式求出，再求出离心率即可.【详解】易知MN关于x轴对称，令，，∴，，∴，∴．，，，∴，∴．故答案为:.四､解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17.溺水、校园欺凌、食品卫生、消防安全、道路交通等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视．学校安全工作事关学生的健康成长，关系到千万个家庭的幸福和安宁，关系到整个社会的和谐稳定．为了普及安全教育，某市准备组织一次安全知识竞赛．某学校为了选拔学生参赛，按性别采用分层抽样的方法抽取200名学生进行安全知识测试，根据200名同学的测试成绩得到如下表格：性别了解安全知识的程度得分不超过85分的人数得分超过85分的人数男生20100女生3050（1）现从得分超过85分的学生中根据性别采用分层随机抽样抽取6名学生进行安全知识培训，再从这6名学生中随机抽取3名学生去市里参加竞赛，求这3名学生中有至少一名女生的概率；（2）根据小概率值的独立性检验，能否推断该校男生和女生在了解安全知识的程度与性别有关？附：参考公式，其中．下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值a0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）（2）我们认为性别与了解安全知识的程度有关【解析】【分析】（1）根据分层抽样性质求出得分超过85分的学生中男生和女生人数，利用对立事件概率公式及古典概型概率公式求3名学生中有至少一名女生的概率；（2）根据列联表求，将所得值与临界值比较大小，确定是否接受假设.【小问1详解】200名学生中得分超过85分人数为150人，其中男生人数为100人，女生人数为50人，因此按性别进行分层抽样得：样本中男生人数为：人，样本中女生人数为：人，设这3名学生中有至少一名女生为事件，则；【小问2详解】根据列联表可：，根据小概率值的独立性检验，我们认为性别与了解安全知识的程度有关，此推断犯错误的概率不大于0.001．18.已知数列，，且满足，.（1）证明：数列是常数列，并求的通项公式；（2）设，求数列前项的和.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）由递推公式可得，再结合，即可得证，从而求出的通项公式；（2）利用分组求和法求出，从而得到，利用裂项相消法计算可得.【小问1详解】证明：因为，所以，因为，所以，所以数列为常数列，且．【小问2详解】由（1）及题设得，，所以，所以.19.已知函数.（1）求在点处函数的切线方程；（2）若对任意，都有成立，求正数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出斜率，即可求解；（2）设，利用导数求得函数的单调性与最小值，结合题意得出不等式，即可求解.【小问1详解】因为，所以所以，所以切线的方程为；【小问2详解】设，则，令，即，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，，由对任意，都有成立，所以，解得，所以实数的取值范围是.20.甲、乙两队同学利用课余时间进行篮球比赛，规定每一局比赛中获胜方记为2分，失败方记为0分，没有平局.谁先获得8分就获胜，比赛结束.假设每局比赛甲队获胜的概率为.（1）求比赛结束时恰好打了6局的概率；（2）若现在是甲队以的比分领先，记表示结束比赛所需打的局数，求的分布列和数学期望.【答案】（1）（2）分布列见解析，数学期望为【解析】【分析】（1）分类讨论打完六局后甲胜与乙胜两种情况，利用独立事件的概率乘法公式即可得解；（2）根据题意，分析接下去的对局数量，从而得到的可能取值，再利用独立事件的概率乘法公式求得各取值的概率，由此求得的分布列和数学期望.【小问1详解】设恰好打了六局甲队获胜的概率为，恰好打了6局乙队获胜的概率为，因为甲队打六局比赛获得胜利，等价于前五局甲三胜两负，第六局甲胜，所以其概率为；同理：乙队打六局比赛获得胜利的概率为；所以，所以比赛结束时恰好打了六局的概率为.【小问2详解】因为甲队以的比分领先，所以甲队目前的战绩两胜一负，所以接下去的比赛局数最少的情况是甲队取得两胜结束比赛，局数最多的情况是接下来的前三局甲队一胜两负，必须进行第四局才能结束比赛，所以的可能取值为2，3，4，则，，，所以随机变量X的分布列为：X234P所以，即X的数学期望为.21.已知过点的直线与抛物线交于不同的两点M，N，过点M的直线交C于另一点Q，直线MQ斜率存在且过点，抛物线C的焦点为F，的面积为1．（1）求抛物线C的方程．（2）问：直线QN是否过定点？若过定点，请求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】（1）（2）直线QN过定点．【解析】【分析】（1）由的面积为1，即可求得抛物线方程；（2）首先设直线的方程，与抛物线方程联立，并且利用坐标关系，表示直线的方程，代入，整理为，再写出直线的方程，两个方程比较后，即可求得定点坐标.【小问1详解】由题可知，由，解得，所以抛物