江苏省百校联考2023届高三下学期4月第三次考试数学试题(含答案)

江苏省百校联考高三年级第三次考试

数学试卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.

1.已知复数z满足(l+2i)(z—l)=—2+i,则忖=()

A.72B.2C.百D.3

2.设集合”=｛刀1e'T〉1｝,N=｛X,则A/DN=()

A.(0,1)B.(l,2)C.(O,+e)D.(2,+oo)

3.已知｛a“｝是公差不为0的等差数列，论,｝是等比数列，且6=4=1,。2=4，4=々，设%=4+2,则

数列｛q,｝的前10项和为()

A.567B.568C.1078D.1079

4.设.ABC的外接圆的圆心为。，半径为2,若A8+AC=2AO,且|。4|=,。卜则向量刚在向量3C

上的投影为()

A.3B.-3C.6D.-V3

5.某学习小组8名同学在一次物理测验中的得分(单位：分)如下：83,84,86,87,88,90,93,96.这8

名同学成绩的第60百分位数是〃.若在该小组中随机选取2名同学，则这2名同学的得分均小于〃的概率为

()

31539

A.-B.—C.—D.—

7281414

6.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑

堵''指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面是矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥，

“鳖席”指四个面都是直角三角形的三棱锥.现有一如图所示的“堑堵”ABC-AgG，其中AC_L3C,若

胴=43=4,则“阳马”8-体积的最大()

H

A.—B.—C.16D.32

33

7.若tan（%+。）----------,0G,则x/^sin（28+?）+Zees?（—8）=（）

321

A.----B.--------C.—D.0

1055

8.已知函数〃x）=sinG+一一一1,则直线y=2x-2与/（X）的图象的所有交点的横坐标之和为

x—1

（）

A.2B.lC.4D.0

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错

选的得0分.

9.已知一组数据X，/，,%3构成等差数列，且公差不为0.若去掉数据与，则（）

A.平均数不变B.中位数不变C.方差变小D.方差变大

10.设函数/（司=28皿（。¥+0）（0>0,0<0<»），若/（x）=f，/（彳）=一/（万一元），且/（x）

71

的最小正周期大于一，则（）

2

A.69=3

B./（x）在区间（0彳）上单调递增

Cj（x）是偶函数

Dj（x）的图象向左平移立个单位长度后得到函数g（x）=2sin3x的图象

6

11.已知抛物线=的焦点为为c上一占，下列说法正确的是（）

A.抛物线C的准线方程为y=~—

16

B.战>=%-1与C相切

C.若M（0,4）,则|PM|的最小值为26

D.在M（3,5）,则的周长的最小值为II

12.若函数/（x）是定义域为（0,+8）的单调函数，且对任意的XG（O,+e）,都有〃/（x）-log2X）=6,且

方程|/（X）—4|=2X3_9X2+12X—5+f在区间（0.2让有两个不同解，则实粒/的取值可能为（）

A.OB.lC.2D.3

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

13.已知定义在R上的函数〃尢）为奇函数，且满足〃l+x）=〃3+x）.当04工<1时，/（x）=x3-x,则

*+〃6)=

/、6

14.已知〃>0,卜+0的展开式中所存项的系数和为64,则展开式中的常数项为________.（用数字作

Ix）

答）

15.设左eR,直线4,立+y-Z=O,/直线/2：%一6+2%-3=0,记/”乙分别过定点AS《与的交点为

c,则忸q的最大值为.

16.小王自主创业开了一家礼品店，平常需要用彩绳对礼品盒做一个捆扎（要求扎紧绳子不能松动），其中一

种长方体的礼品盒一般都是采用“十字捆扎”（如图1所示），后来他又学习了一种新的彩绳捆扎方法“对角捆

扎”（如图2所示），并认为“对角捆扎”比一般的“十字捆扎”包装更节省彩绳.设长方体礼品盒的长、宽、高分别

为苍y,z,贝ij“十字捆扎”所需绳长为；若采用“对角捆扎”，则所需绳长的最小值为.

（注：长方体礼品盒的高小于长、宽，结果用含％y,z的式子表示）

ffll图2

四.解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字

说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

设各项均为正数的数列｛4｝,记｛为｝的前〃项和为S,,,q=；,S“T+S”=34「

（1）求｛4｝的通项公式；

,1，、

（2）设么=（〃+[）“一,求数列圾｝的前〃项和却

18.（本小题满分12分）

从①2a—b=2cosB；®s=^-[a2+b2-c2）；③百sin（A+8）=l+2sin2g这三个条件中任选一个，

补充在下列问题中，并作答.

记,ABC的内角A,6,C的对边分别为a,。,c…ABC的面积为S,已知.

（1）求C的值；

（2）若。=4,点。在边AB上，CO为的平分线，88的面积为26，求4的值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

19.（本小题满分12分）

如图，在三棱锥A—BCD中，/ACE=9（），平面ACDJ•平面ABC,AC==4,OC=2,AO=2.

（1）证明：ADJ_平面5CO.

TT

（2）设点E在线段AB上，直线。石与直线8C所成的角为一，求平面OCE与平面ACO所成的锐二面角

4

的余弦值.

20.（本小题满分12分）

某学校为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，学生小明、小红打算

报名参加大赛.赛前，小明、小红分别进行了为期一周的封闭强化训练，下率记录了两人在封闭强化训练期间

每天加工模具成功的次数，其中小明第7天的成功次数&忘了记录，但知道36＜。＜60,aeZ.

第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天

序号X1234567

小明成功次数162020253036a

小红成功次数16222526323535

（1）求这7天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率；

（2）根据小明这7天内前6天的成功次数，求其成功次数y关于序号x的线性回归方程，并估计小明第七天

成功次数。的值.

参考公式：回归方程亍=廉+&中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为

〉2（王一可（%一了）^X.ty-rixy

b=-^；------------=q-------------,a=y-bx.

£（%-叶fx；一位2

/=1i=]

参考数据：1X16+2X20+3X20+4X25+5X30+6X36=582;12+22+32+42+52+62=91.

21.（本小题满分12分）

已知椭圆C的焦点为冗（一1,0）和F2（1,0）,且椭圆C经过点MH,|j.

(1)求椭圆C的方程.

(2)过点6(1,0)的直线/与椭圆C交于P,Q两点，则在x轴上是否存在定点N,使得NP-NQ的值为定

值？若存在，求出点N的坐标和该定值；若不存在，请说明理由.

22.(本小题满分12分)

已知函数/(x)=a(x-3)ev-^x3+x2,其中aeR.

(1)若“=工，判断/(x)的单调性.

e

(2)设有且只有两个不同的极值点看,当♦

(i)求。的取值范围；

49

(ii)当Q>—］e时，设％<工2，证明：J(X)<•

参考答案

1-8ACCACBDA

9ABD10AC11BCD12BC

3_____________________

13.-14.1515.416.2x+2y+4z,J(2x+2z)2+(2y+2z)2

o

S+s3a2

17.［详解］(1)由1I,，两式相找得4用+q=3(4用+4)(。用_4)(“22),

电+S,i=3a“(〃Z2),

aaa

„>0-'-„+x-n=*N2),

1

当〃=1时，S2+S］=3az?，且％=q，

「.9a；—3a2—2=0,得。2=§(%=—§<。舍去)，,

211

/.-ci,=-----=一,

*’333

,数列｛《,｝为等差数列，公差为:，

一

b-----------

(2)由(1)及题意可得"/n1nn+ly-

，北=4+打+d++b„

=3=①

I〃+1）〃+1

JT

18.【答案】（1）C=-；（2）4.

3

【详解】（1）选①2a—〃=2ccos3,

〃2**_序

222

则由余弦定理可得2a-b=2c・巴汇——，整理可得a+b-c=abf

2ac

可得8$。='+"一行.因为Ce（O,万）,所以C=g.

2ab23

选②5=¥（/+〃一。2）.

22222

-r汨1+b-c）V3（a+b-c）rr-

可倚一absinC=—------------，即sinC=—-----------=GcosC♦所以tanC=V3-

24lab

因为Ce（O,乃），可得C=g.

选③目sin（A+6）=l+2sin2—.

可得6sinC=2—cosC.可得2sin（c+—=2,可得sin（C+—=1.

因为Ce（O,万），C+所以C+£=£,可得C=g.

6<66J623

（2）在A3c中，SA3C=S,AC。+S8C£）•可得

-BCCD-sin/BCD+-CACD-sinZACD^-CACB-sin/4cB，可得

222

-axCD+CD^yfia®

4

又SCDB=；axCD=2-\/3.②

由①②可得/-2a-8=0,解得。=4或a=—2（舍去），

所以a的值为4.

19.【答案】（1）见详解：（2）叵.

7

【详解】（1）证明：在..ACD中，因为AC=4,DC=2,AO=2jj,

所以AC2=4)2+cr>2,所以AO_LCD.因为/ACB=9()，所以3C_LAC.

因为平面ACD±平面ABC,平面ACDn平面ABC=AC,BCu平面ABC,

所以平面ACO.因为AZ）u平面AS,所以ADJ.BC.

又A。_LCD,BCnCD=C,BC,CDu平面BCD,所以ADJ_平面BCD.

（2）以C为坐标原点，C4所在直线为X轴，。所在直线为y轴，过C垂直于平面ABC的直

线为z轴、建立空间直角坐标系、

由题意得A(4,(),0),8(0,4,0),C((),0,0),石卜

所以A3=(-4,4,()),C8=(0,4,0),CO=(1,0,@.

设点E的坐标为(x,y,z),AE=AAB[Ae[0,l]),

则AE=(T4,44,0)=(x—4,y,z).

所以％=4—4/1,y=42,z=0,

所以点E的坐标为（4-42,440）,

所以DE=（3—4/l,4；l,—g）.

JI

因为直线。E与直线8C所成的角为一,

4

DECB____________|162|___________—也

解得/!=',

时第4,（3一的；（4行+卜可2，

2

所以点E的坐标为（2,2,0）,则CE=（2,2,0）..

设平面CDE的法向量为4=（X1,y,zJ,

翼:MfcJ二2s可丽=（小疯力

又平面ACD的一个法向量为%=（°，1，0）

727

所以COS(4,〃2

1,J3+3+1

所以平面OCE与平面AC£)所成的锐二面角的余弦值为叵.

7

1727

20.【答案】(1)—(2)y——x+ll;38.

257

【详解】(1)因为36KaK60,且awZ.所以。的取值共有25种情况.

又当小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时，在+。2»・

即16+20+20+25+30+36+aN16+22+25+26+32+35+35,得a244.

所以小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时，。的取值共有17情况.

17

所以这7天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率为一.

(2)由题设可知Z%%=1x16+2x20+3x20+4x25+5x30+6x36=582,

-1+2+3+4+5+67_16+20+20+25+30+3649

x-----------------------------------=—,y=------------------------------------------------二-

6262

749

582—6xx—/cn-7-7

Kci'iA_22_-Z—父京一艺—11

所以y关于序号X的线性回旧方程为y=yx+ll.

估计小明第7天成功次数a的值为38.

r2V2<11A135

21.【答案】(1)亍+]_=1,(2)存在点使得NP-NQ为定值一彳“

【详解】(1)设椭圆。的方程为=

a2a2-l

将点(1,5

代入椭圆方程,

得(/-4)(4/-1)=0,解得(舍去)，/=4,

22

所以椭圆C的方程为土+乙=1.

43

(2)当直线/的斜率不为0时，设直线/的方程为％=冲+1,设定点N(r,O).

x=my+1,

联立方程组《

3X2+4/=12/

消掉x可得(3〃?2+4)9+6冲一9=0.

设(孙％)，

一，口6m9

可得y+%=一々1，丁跖=一々2;，

3m+43m+4

所以NP-NQ=(X]+=(%i+1-。(叼2+1-r)+»1%

2

=(m+l)y1y2+m(l-r)(^1+y2)+(l-r)

-9/、-6m\2(6/-15)/w-—9,/

=(m2+1—z—+—z—+(z1-Z)春--------+(1-/)

3川+4'73m2+4''3/+4''

2711

要使上式为定值，则6-15=-一，解得f=—,

48

g(11\2135

此时NP・NQ=—3