圆锥曲线专题

圆锥曲线专题一．解答题（共30小题）1．（2022秋•天山区校级期末）已知椭圆的长轴长为，且点P（2，1）在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程．（2）设O为坐标原点，过点（t，0）（t＞0）的直线l（斜率不为0）交椭圆C于不同的两点A，B（异于点P），直线PA，PB分别与直线x＝﹣t交于M，N两点，MN的中点为Q，是否存在实数t，使直线PQ的斜率为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．2．（2022秋•广州期末）已知椭圆，斜率为的直线l1与椭圆T只有一个公共点．（1）求椭圆T的标准方程；（2）过椭圆右焦点F的直线与椭圆T相交于A，B两点，点C在直线l2：x＝4上，且BC∥x轴，求直线AC在x轴上的截距．3．（2022秋•仁寿县期末）椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的离心率是，点M（，1）是椭圆E上一点，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A，B两点．（1）求椭圆E的方程；（2）求△AOB面积的最大值；（3）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使恒成立？存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2023秋•湖北期末）已知椭圆的标准方程：．F1、F2为左右焦点，过右焦点F2的直线与椭圆交于A，B两点，A，B中点为D，过点F2的直线MF2与AB垂直，且与直线l：x＝4交于点M，求证：O，D，M三点共线．5．（2022秋•海安市期末）已知双曲线C过点，且C的渐近线方程为．（1）求C的方程；（2）设A为C的右顶点，过点的直线与圆O：x2+y2＝3交于点M，N，直线AM，AN与C的另一交点分别为D，E，求证：直线DE过定点．6．（2022秋•滨海新区校级期末）已知椭圆（a＞b＞0）的左顶点为A1，右焦点为F2，过F2作垂直于x轴的直线交该椭圆于M，N两点，直线A1M的斜率为．（1）求椭圆的离心率；（2）椭圆右顶点为A2，P为椭圆上除左右顶点外的任意一点，求证：为定值，并求出这个定值；（3）若△A1MN的外接圆在M处的切线与椭圆交另一点于D，且△F2MD的面积为，求椭圆的方程．7．（2022秋•西城区期末）已知椭圆C：＝1的焦点在x轴上，且离心率为．（Ⅰ）求实数t的值；（Ⅱ）若过点P（m，n）可作两条互相垂直的直线l1，l2，且l1，l2均与椭圆C相切．证明：动点P组成的集合是一个圆．8．（2022秋•游仙区校级期末）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点为F1，过原点O的直线与椭圆C交于P，Q两点，若|PF1|＝3|QF1|，且cos∠PF1Q＝﹣．（1）求椭圆C的离心率；（2）椭圆C的上顶点D（0，2），不过D的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，若∠AMD＝2∠ABD，试问直线l是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．9．（2022秋•惠州期末）已知双曲线的右焦点为F（2，0），O为坐标原点，双曲线C的两条渐近线的夹角为．（1）求双曲线C的方程；（2）过点F作直线l交C于P，Q两点，在x轴上是否存在定点M，使为定值？若存在，求出定点M的坐标及这个定值；若不存在，说明理由．10．（2022秋•宿城区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（，0），直线l：x＝，动点P满足到点A的距离与它到直线l的距离之比为，记M的轨迹为C．（1）求C的方程；（2）过点M且与C相切的直线交椭圆E：+＝1于A，B两点，射线MO交椭圆E于点N，试问△ABN的面积是否为定值？请说明理由．11．（2022秋•沙坪坝区校级期末）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M与两定点Q，P的距离之比，λ是一个常数，那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ上．已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x2+y2＝4，定点分别为椭圆C：的右焦点F与右顶点A，且椭圆C的离心率为e＝．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过右焦点F斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C相交于B，D（点B在x轴上方），点S，T是椭圆C上异于B，D的两点，SF平分∠BSD，TF平分∠BTD．（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）将点S、F、T看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT外接圆的面积为，求直线l的方程．12．（2022秋•泰兴市校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知A1，A2为抛物线C：y2＝2x上两点．且点A1，A2分别在第一、四象限．直线A1A2与x轴正半轴交于点A3，与y负半轴交于点A4．（1）若∠A1OA2＞90°，求点A3横坐标的取值范围；（2）记△A1OA2的重心为G，直线A1A2，A3G的斜率分别为k1，k2，且k2＝2k1．若|A1A2|＝λ|A3A4|，证明：λ为定值．13．（2022秋•沙坪坝区校级月考）与椭圆有公共焦点的双曲线C过点，过点E（2，0）作直线l交双曲线的右支于A，B两点，连接AO并延长交双曲线左支于点P（O为坐标原点）．（1）求双曲线C的方程；（2）求△PAB的面积的最小值．14．（2022秋•金山区期末）已知椭圆Γ：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2．（1）以F2为圆心的圆经过椭圆的左焦点F1和上顶点B，求椭圆Γ的离心率；（2）已知a＝5，b＝4，设点P是椭圆Γ上一点，且位于x轴的上方，若△PF1F2是等腰三角形，求点P的坐标；（3）已知a＝2，b＝，过点F2且倾斜角为的直线与椭圆Γ在x轴上方的交点记作A，若动直线l也过点F2且与椭圆Γ交于M、N两点（均不同于A），是否存在定直线l0：x＝x0，使得动直线l与l0的交点C满足直线AM、AC、AN的斜率总是成等差数列？若存在，求常数x0的值；若不存在，请说明理由．15．（2022秋•长宁区期末）已知抛物线Γ：y2＝4x的焦点为F，准线为l．（1）若F为双曲线C：﹣2y2＝1（a＞0）的一个焦点，求双曲线C的离心率e；（2）设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在Γ上，若＝，求直线EP的方程；（3）经过点F且斜率为k（k≠0）的直线l′与Γ相交于A、B两点，O为坐标原点，直线OA、OB分别与l相交于点M、N．试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由．16．（2022秋•南通期中）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的焦距为2，过点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l交椭圆C于点P，Q，直线AP，AQ分别交y轴于点M，N，且，求证：直线l过定点．17．（2022秋•道里区校级期中）已知动点P与平面上两定点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率的积为定值．（1）求动点P的轨迹方程C；（2）设直线l：y＝kx+1与曲线C交于M，N两点，判断是否存在k使得△OMN面积取得最大值，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．18．（2021秋•西湖区校级期末）已知椭圆＝1（a＞b＞0）的离心率为，过焦点且垂直于长轴的弦长等于1．（1）求椭圆的方程；（2）直线l：y＝kx+b交椭圆于A，B两点，且AB被直线x﹣2y＝0平分．①若△AOB的面积等于1（O是坐标原点），求l的方程；②椭圆的左右焦点分别是F1，F2，△ABF1，△ABF2的重心分别是C，D，当原点O落在以CD为直径的圆外部时，求△AOB面积的取值范围．19．（2022秋•黑龙江期中）已知F1，F2分别是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，P是C上的动点，C的离心率是，且△PF1F2的面积的最大值是．（1）求C的方程；（2）过F1作两条相互垂直的直线l1，l2，直线l1交C于A，B两点，直线l2交C于D，E两点，求证：为定值．20．（2022秋•江宁区期中）已知双曲线与椭圆的离心率互为倒数，且双曲线的右焦点到C的一条渐近线的距离为．（1）求双曲线C的方程；（2）直线y＝2x+m与双曲线C交于A，B两点，点M在双曲线C上，且，求λ的取值范围．21．（2022秋•顺庆区校级期中）已知动点M（x，y）到原点O（0，0）的距离与它到点H（﹣3，0）的距离之比为，记动点M的轨迹为曲线Ω．（1）求曲线Ω的方程；（2）直线x﹣y+m＝0与曲线Ω交于E，F两点，求的取值范围（O为坐标原点）；（3）点P是直线l：x+y+2＝0上一动点，过点P作曲线Ω的两条切线，切点分别为A、B．试问直线AB是否恒过定点，若是，求出这个定点；若否，请说明理由．22．（2022秋•通州区期中）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：＝1与椭圆C2：＝1，A，B分别为C1的左、右顶点．点P在双曲线C1上，且位于第一象限．（1）直线OP与椭圆C2相交于第一象限内的点M，设直线PA，PB，MA，MB的斜率分别为k1，k2，k3，k4，求k1+k2+k3+k4的值；（2）直线AP与椭圆C2相交于点N（异于点A），求AP⋅AN的取值范围．23．（2022秋•如东县期中）在一张纸上有一个圆C：＝4，定点，折叠纸片使圆C上某一点S1好与点S重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ，设折痕PQ与直线S1C的交点为T．（1）求证：||TC|﹣|TS||为定值，并求出点T的轨迹C′方程；（2）设A（﹣1，0），M为曲线C′上一点，N为圆x2+y2＝1上一点（M，N均不在x轴上）．直线AM，AN的斜率分别记为k1，k2，且k2＝﹣，求证：直线MN过定点，并求出此定点的坐标．24．（2022秋•衢州期末）已知椭圆C：的长轴长为4，离心率为，其左、右顶点分别为A、B，右焦点为F．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，过右焦点F作不与x轴重合的直线交椭圆于C、D两点，直线AD和BC相交于点M，求证：点M在定直线l上；（3）若直线AC与（2）中的定直线l相交于点N，在x轴上是否存在点P，使得．若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．25．（2022秋•西湖区校级期中）已知三角形△ABC的两顶点坐标A（﹣1，0），B（1，0），sinA（1﹣2cosB）+sinB（1﹣2cosA）＝0．（1）求动点C的轨迹E的方程；（2）不垂直于x轴的动直线l与轨迹E相交于M，N两点，定点P（4，0），若直线MP，NP关于x轴对称，求三角形PMN面积的取值范围．26．（2022秋•浦东新区期末）已知F1、F2分别为椭圆C1：＝1的左、右焦点，直线l1交椭圆C1于A、B两点．（1）求焦点F1、F2的坐标与椭圆C1的离心率e1的值；（2）若直线l1过点F2且与圆x2+y2＝1相切，求弦长|AB|的值；（3）若双曲线C2与椭圆共焦点，离心率为e2，满足e2＝2e1，过点F2作斜率为k（k≠0）的直线l2交C2的渐近线于C、D两点，过C、D的中点M分别作两条渐近线的平行线交C2于P、Q两点，证明：直线PQ平行于l2．27．（2022秋•普陀区期末）在xoy坐标平面内，已知椭圆Γ：＝1的左、右焦点分别为F1、F2，直线y＝k1x（k1≠0）与Γ相交于A、B两点．（1）记d为A到直线2x+9＝0的距离，当k1变化时，求证：为定值；（2）当∠AF2B＝120°时，求|AF2|⋅|BF2|的值；（3）过B作BM⊥x轴，垂足为M，OM的中点为N，延长AN交Γ于另一点P，记直线PB的斜率为k2，当k1取何值时，|k1﹣k2|有最小值？并求出此最小值．28．（2022秋•广州期中）已知椭圆，的离心率相同．P（x0，y0）在椭圆E1上，A（x1，y1）、B（x2，y2）在椭圆E2上．（1）若，求点Q的轨迹方程；（2）设E1的右顶点和上顶点分别为A1、B1，直线A1C、B1D分别是椭圆E2的切线，C、D为切点，直线A1C、B1D的斜率分别是k1、k2，求的值；（3）设直线PA、PB分别与椭圆E2相交于E、F两点，且，若M是AB中点，求证：P、O、M三点共线（O为坐标原点）．29．（2022秋•滨海新区校级期中）设椭圆的右顶点为A，离心率为，且以坐标原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线x＝﹣2上两点M，N关于x轴对称，直线AM与椭圆C相交于点B（B异于点A），直线BN与x轴相交于点D，若△AMD的面积为，求直线AM的方程；（3）P是y轴正半轴上的一点，过椭圆C的右焦点F和点P的直线l与椭圆C交于G，H两点，求的取值范围．30．（2022秋•杨浦区校级期中）如图，O为坐标原点，椭圆C1：＝1（a⟩b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为e1；双曲线C2：＝1的左、右焦点分别为F3、F4，离心率为e2，已知e1e2＝，且|F2F4|＝﹣1．过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，直线OM与C₂交于P、Q两点．（1）求C1、C2的方程；（2）若四边形APBO为平行四边形，求直线AB的方程；（3）求四边形APBQ面积的最小值．

圆锥曲线专题参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2022秋•天山区校级期末）已知椭圆的长轴长为，且点P（2，1）在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程．（2）设O为坐标原点，过点（t，0）（t＞0）的直线l（斜率不为0）交椭圆C于不同的两点A，B（异于点P），直线PA，PB分别与直线x＝﹣t交于M，N两点，MN的中点为Q，是否存在实数t，使直线PQ的斜率为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）+＝1；（2）t＝4．【解答】解：（1）因为椭圆的长轴长为4，所以2a＝4，得a＝2，所以椭圆为+＝1，因为椭圆过点P（2，1），所以+＝1，得b2＝2，所以椭圆方程为+＝1；（2）由题意设直线l为x＝my+t，A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（m2+4）y2+2mty+t2﹣8＝0，Δ＝4m2t2﹣4（m2+4）（t2﹣8）＞0，得2m2﹣t2+8＞0，则y1+y2＝，y1y2＝，因为kPA＝，所以直线AP为y﹣1＝（x﹣2），当x＝﹣t时，y＝1+（﹣t﹣2）＝1﹣，所以M（﹣t，1﹣），因为kPB＝，所以直线BP为y﹣1＝（x﹣2），当x＝﹣t时，y＝1+（﹣t﹣2）＝1﹣，所以N（﹣t，1﹣），因为MN的中点为Q，所以Q（﹣t，1﹣﹣），所以kPQ＝＝＝＝＝＝，若kPQ为定值，则kPQ与m无关，所以，解得t＝4，所以当t＝4时，直线PQ的斜率为定值．2．（2022秋•广州期末）已知椭圆，斜率为的直线l1与椭圆T只有一个公共点．（1）求椭圆T的标准方程；（2）过椭圆右焦点F的直线与椭圆T相交于A，B两点，点C在直线l2：x＝4上，且BC∥x轴，求直线AC在x轴上的截距．【答案】（1）+＝1．（2）．【解答】解：（1）由题意可得直线l1的方程为y﹣＝﹣（x﹣1），化为x+2y﹣4＝0，联立，化为（a2+4b2）y2﹣16b2+16b2﹣a2b2＝0，∵直线l1与椭圆T只有一个公共点P，∴Δ＝（﹣16b2）2﹣4（a2+4b2）（16b2﹣a2b2）＝0，化为a2+4b2＝16，又+＝1，联立解得a2＝4，b2＝3，∴椭圆T的标准方程为+＝1．（2）由（1）可得c＝＝1，右焦点F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设y1＞y2，∵点C在直线l2：x＝4上，且BC∥x轴，∴C（4，y2），设直线AB的方程为my＝x﹣1，联立，化为（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，Δ＞0，∴y1y2＝，y1＝，y2＝，直线AC的方程为y﹣y2＝（x﹣4），令y＝0，解得x＝＝，又y1﹣y2＝﹣，4y1﹣my1y2﹣y2＝4×﹣m×﹣＝﹣，∴x＝＝＝，即为直线AC在x轴上的截距．3．（2022秋•仁寿县期末）椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的离心率是，点M（，1）是椭圆E上一点，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A，B两点．（1）求椭圆E的方程；（2）求△AOB面积的最大值；（3）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使恒成立？存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）+＝1；（2）；（3）存在点Q（0，2）．【解答】解：（1）根据题意，得，解得a2＝4，b2＝2，c2＝2，椭圆C的方程为+＝1；（2）依题意，设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l为y＝kx+1，联立，消去y，得（1+2k2）x2+4kx﹣2＝0，Δ＞0恒成立，x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，所以S△AOB＝|x1﹣x2|＝＝＝，令t＝，t＞1，S△AOB＝•＝•≤，当且仅当t＝1，即k＝0时取得等号，综上可知，△AOB面积的最大值为；（3）结论：存在与点P不同的定点Q（0，2），使得恒成立．理由如下：当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C、D两点，如果存在定点Q满足条件，则有＝1，即|QC|＝|QD|，∴Q点在直线y轴上，可设Q（0，y0），当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M、N两点，如果存在定点Q满足条件，则＝，即＝，解得y0＝1或y0＝2，∴若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只能是（0，2）；当直线l不平行于x轴且不垂直与x轴时，可设直线l的方程为y＝kx+1，联立，消去y并整理得：（1+2k2）x2+4kx﹣2＝0，∵Δ＝（4k）2+8（1+2k2）＞0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，又点B关于y轴对称的点B′的坐标为（﹣x2，y2），又kAQ＝＝＝k﹣，kQB′＝＝＝﹣k+，kAQ﹣kQB′＝2k﹣＝0∴kAQ＝kQB′则Q、A、B′三点共线，∴＝＝＝；故存在与点P不同的定点Q（0，2），使得恒成立．4．（2023秋•湖北期末）已知椭圆的标准方程：．F1、F2为左右焦点，过右焦点F2的直线与椭圆交于A，B两点，A，B中点为D，过点F2的直线MF2与AB垂直，且与直线l：x＝4交于点M，求证：O，D，M三点共线．【答案】证明过程见详解．【解答】证明：由椭圆的标准方程：可得F1（﹣1，0），F2（1，0），当直线AB的斜率为0时，则AB的中点D（0，0），与O点重合，这时过F2与AB垂直的直线与x＝4平行，没有交点，所以直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x＝my+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），所以D（，），因为，作差可得＝﹣，所以＝﹣•＝﹣m，即kOD＝﹣m，由题意直线F2M的方程为x＝﹣y+1，令x＝4，可得yM＝﹣3m，即M（4，﹣3m），所以kOM＝＝kOD，直线OM，OD又共用O，可证得：O，D，M三点共线．5．（2022秋•海安市期末）已知双曲线C过点，且C的渐近线方程为．（1）求C的方程；（2）设A为C的右顶点，过点的直线与圆O：x2+y2＝3交于点M，N，直线AM，AN与C的另一交点分别为D，E，求证：直线DE过定点．【答案】（1）；（2）（0，0）．【解答】解：（1）由题意可知，双曲线C的渐近线方程为，当焦点在x轴时，可得，即a＝b，设双曲线C的方程为﹣＝1，∵C过，∴，解得，∴C的方程为；当焦点在y轴时，可得，即b＝a，设双曲线C的方程为＝1，∵C过，∴，无解，综上所述，C的方程为．（2）证明：设直线MN方程为，M（x1，y1），N（x2，y2），，∴，∴＝，设直线DE方程为x＝my+t，D（x3，y3），E（x4，y4），，，，，∵直线DE不过，∴，∴，∴，∴t＝0，∴直线DE为：x＝my恒过定点（0，0）．6．（2022秋•滨海新区校级期末）已知椭圆（a＞b＞0）的左顶点为A1，右焦点为F2，过F2作垂直于x轴的直线交该椭圆于M，N两点，直线A1M的斜率为．（1）求椭圆的离心率；（2）椭圆右顶点为A2，P为椭圆上除左右顶点外的任意一点，求证：为定值，并求出这个定值；（3）若△A1MN的外接圆在M处的切线与椭圆交另一点于D，且△F2MD的面积为，求椭圆的方程．【答案】（1）．（2）见证明过程.＝﹣为定值．（3）椭圆的方程为+＝1．【解答】解：（1）F2（c，0），把x＝c代入椭圆方程可得+＝1，解得y＝±，取M（c，），则＝＝，b2＝a2﹣c2，化为：a＝2c，∴e＝＝．（2）证明：由（1）可得e＝＝＝，解得＝．设P（x0，y0），则+＝1，∴＝﹣，则＝•＝＝﹣＝﹣为定值．（3）由（1）可得椭圆的方程为+＝1，化为3x2+4y2＝12c2．设△A1MN的外接圆的圆心G（t，0），则（t+a）2＝+（c﹣t）2，解得t＝﹣，可得圆心G（﹣，0），半径r＝t+a＝c，∴圆的方程为：+y2＝，M（c，c），设过点M的圆的切线方程为y﹣c＝k（x﹣c），即kx﹣y+c﹣kc＝0，则＝c，化为（4k+3）2＝0，解得k＝﹣，∴过点M的圆的切线方程为3x+4y﹣9c＝0，代入椭圆方程可得：7x2﹣18cx+11c2＝0，∴c+xD＝c，解得xD＝c，yD＝c，∴|MD|＝＝c，点F2到直线MD的距离d＝＝，∴△F2MD的面积S＝d|MD|＝××＝，解得c＝，∴椭圆的方程为+＝1．7．（2022秋•西城区期末）已知椭圆C：＝1的焦点在x轴上，且离心率为．（Ⅰ）求实数t的值；（Ⅱ）若过点P（m，n）可作两条互相垂直的直线l1，l2，且l1，l2均与椭圆C相切．证明：动点P组成的集合是一个圆．【答案】（Ⅰ）t＝3；（Ⅱ）证明过程见解析．【解答】解：（Ⅰ）由已知得t+1＞6﹣t＞0，解得，且a2＝t+1，b2＝6﹣t，故，故e＝＝，解得t＝3；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知椭圆方程为，当一条切线的斜率存在且不为0时，设其方程为y＝kx+d，（k≠0），代入椭圆的标准方程化简后得：（3+4k2）x2+8kdx+4d2﹣12＝0，因为是切线，故Δ＝（8kd）2﹣4（3+4k2）（4d2﹣12）＝0，化简得4k2﹣d2+3＝0①，设该切线过点P（m，n），故n＝km+d，得d＝n﹣km，代入①式化简得4k2﹣n2+2kmn﹣k2m2+3＝0②，再将代入上式整理得4﹣k2n2﹣2kmn﹣m2+3k2＝0③，②+③得7（1+k2）＝（1+k2）（m2+n2），故m2+n2＝7④，当k＝0或不存在时，两切线只能是x＝±2，且，它们的交点为（±2，），显然满足方程④，故动点P组成的集合是以原点为圆心，半径为的圆．8．（2022秋•游仙区校级期末）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点为F1，过原点O的直线与椭圆C交于P，Q两点，若|PF1|＝3|QF1|，且cos∠PF1Q＝﹣．（1）求椭圆C的离心率；（2）椭圆C的上顶点D（0，2），不过D的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，若∠AMD＝2∠ABD，试问直线l是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】（1）椭圆C离心率；（2）直线l恒过定点，定点坐标为，理由见解析．【解答】解：（1）设椭圆C的右焦点为F2，连接PF2，QF2，根据椭圆的对称性可知|QF1|＝|PF2|，四边形PF1QF2为平行四边形．又|PF1|＝3|QF1|，所以|PF1|＝3|PF2|，|PF1|+|PF2|＝2a，所以，，在四边形PF1QF2中，，所以，在△PF1F2，根据余弦定理得，即，所以a2＝2c2．所以椭圆C心率；（2）直线l恒过定点，定点坐标为．理由如下：椭圆C上顶点为D（0，2），则b＝2，所以a2＝b2+c2＝4+c2，又由（1）知2c2＝a2，解得a2＝8，所以椭圆C的标准方程为：．在△ABD中，∠AMD＝2∠ABD，∠AMD＝∠ABD+∠BDM，所以∠ABD＝∠BDM，从而|DM|＝|BM|，又M为线段AB的中点，即，所以，因此∠ADB＝90°，从而，根据题意可知直线l的斜率一定存在，设它的方程为y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y，整理得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣8＝0①，Δ＝（4km）2﹣4（2m2﹣8）（2k2+1）＞0，根据韦达定理可得，，于是＝，所以，整理得（m﹣2）（3m+2）＝0，解得m＝2或．又直线l不经过点（0，2），所以m＝2舍去，于是直线l的方程为恒过定点，该点在椭圆C内，满足关于x的方程①有两个不相等的解，所以直线l恒过定点，定点坐标为．9．（2022秋•惠州期末）已知双曲线的右焦点为F（2，0），O为坐标原点，双曲线C的两条渐近线的夹角为．（1）求双曲线C的方程；（2）过点F作直线l交C于P，Q两点，在x轴上是否存在定点M，使为定值？若存在，求出定点M的坐标及这个定值；若不存在，说明理由．【答案】（1）﹣y2＝1．（2）在x轴上存在定点M（，0），使为定值﹣．【解答】解：（1）由题意可得：c＝2＝，＝tan＝，解得a＝，b＝1，∴双曲线C的方程为﹣y2＝1．（2）过点F作直线l交C于P，Q两点，假设在x轴上存在定点M（m，0），使为定值．①直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为ty＝x﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，化为：（t2﹣3）y2+4ty+1＝0，Δ＞0，∴y1+y2＝﹣，y1y2＝，∴＝（x1﹣m，y1）•（x2﹣m，y2）＝（x1﹣m）•（x2﹣m）+y1y2＝（ty1+2﹣m）•（ty2+2﹣m）+y1y2＝（t2+1）y1y2+（2t﹣tm）（y1+y2）+（2﹣m）2＝（t2+1）•﹣（2t﹣tm）+（2﹣m）2＝+（2﹣m）2＝+（2﹣m）2，令＝3，解得m＝，此时＝4m﹣7+（2﹣m）2＝﹣．②直线l的斜率不为0时，不妨设P（﹣，0），Q（，0），此时＝（﹣﹣，0）•（﹣，0）＝﹣3＝﹣．综上可得：在x轴上存在定点M（，0），使为定值﹣．10．（2022秋•宿城区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（，0），直线l：x＝，动点P满足到点A的距离与它到直线l的距离之比为，记M的轨迹为C．（1）求C的方程；（2）过点M且与C相切的直线交椭圆E：+＝1于A，B两点，射线MO交椭圆E于点N，试问△ABN的面积是否为定值？请说明理由．【答案】（1）；（2）△ABN的面积为定值，理由见解析．【解答】解：（1）设M（x，y），根据题意，其中d1表示M到直线l的距离，整理得：，曲线C的方程为：；（2）△ABN的面积为定值，理由如下：设M（x0，y0），①当直线斜率不存在时，过M直线方程为x＝x0＝±2，不妨令x0＝2，则M（2，0），此时，，，由题可得N（﹣4，0），故；②当直线斜率存在时，设过M直线方程为y＝kx+m，该直线与题意C相切，所以，消去y，整理得（1+4k2）x2+8km+4m2﹣4＝0，所以Δ＝（8km）2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＝16（4k2+1﹣m2）＝0，所以，4k2+1＝m2①，所以，，所以，则直线MO的方程为：，联立，（1+4k2）x2＝64k2，，所以，由题意可得，M，N位于y轴两侧，故xN＝﹣2x0，S△ABN＝3S△AOB，设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y＝kx+m代入椭圆E的方程，可得（1+4k2）x2+8km+4m2﹣16＝0，由Δ＞0，可得m2＜4+16k2②，则有，，所以，将①代入，由直线y＝kx+m与y轴交于（0，m），则△AOB的面积为，故．综上可知，△ABN面积为定值．11．（2022秋•沙坪坝区校级期末）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M与两定点Q，P的距离之比，λ是一个常数，那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ上．已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x2+y2＝4，定点分别为椭圆C：的右焦点F与右顶点A，且椭圆C的离心率为e＝．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过右焦点F斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C相交于B，D（点B在x轴上方），点S，T是椭圆C上异于B，D的两点，SF平分∠BSD，TF平分∠BTD．（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）将点S、F、T看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT外接圆的面积为，求直线l的方程．【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）．【解答】解：（1）设M（x，y），由题意（常数），整理得，故，又，解得，．∴b2＝a2﹣c2＝6，椭圆C的方程为．（2）（ⅰ）由，又，∴，（或由角平分线定理得）令，则，设D（x0，y0），则有，又直线l的斜率k＞0，则，，代入3x2+4y2﹣24＝0，得，即，∵λ＞0，∴．（ⅱ）由（ⅰ）知，，由阿波罗尼斯圆定义知，S，T，F在以B，D为定点得阿波罗尼斯圆上，设该圆圆心为C1，半径为r，与直线l的另一个交点为N，则有，即，解得．又，故，∴，又，∴，解得，，∴，∴直线l的方程为．12．（2022秋•泰兴市校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知A1，A2为抛物线C：y2＝2x上两点．且点A1，A2分别在第一、四象限．直线A1A2与x轴正半轴交于点A3，与y负半轴交于点A4．（1）若∠A1OA2＞90°，求点A3横坐标的取值范围；（2）记△A1OA2的重心为G，直线A1A2，A3G的斜率分别为k1，k2，且k2＝2k1．若|A1A2|＝λ|A3A4|，证明：λ为定值．【答案】（1）（0，2）．（2）见证明过程．【解答】解：（1）如图所示，设A1（，y1），A2（，y2），设直线A1A2的方程为my+t＝x，A3（t，0），代入抛物线C：y2＝2x，可得y2﹣2my﹣2t＝0，∴y1y2＝﹣2t，∵∠A1OA2＞90°，∴•＝×+y1y2＝﹣2t＜0，解得0＜t＜2．∴点A3横坐标的取值范围是（0，2）．（2）证明：如图所示，设A1（，y1），A2（，y2），设直线A1A2的方程为my+t＝x，A3（t，0），A4＝（0，﹣），把x＝my+t，代入抛物线C：y2＝2x，可得y2﹣2my﹣2t＝0，Δ＝4m2+8t＞0，m2+2t＞0，∴y1+y2＝2m，y1y2＝﹣2t，xG＝＝＝＝，yG＝＝，∴G（，），∴k2＝＝，∵k2＝2k1，∴＝，化为t＝m2．∵|A1A2|＝＝2＝2|m|，|A3A4|＝＝|m|，∴λ＝＝2为定值．13．（2022秋•沙坪坝区校级月考）与椭圆有公共焦点的双曲线C过点，过点E（2，0）作直线l交双曲线的右支于A，B两点，连接AO并延长交双曲线左支于点P（O为坐标原点）．（1）求双曲线C的方程；（2）求△PAB的面积的最小值．【答案】（1）x2﹣＝1．（2）△PAB的面积的最小值为12，此时直线l⊥x轴．【解答】解：（1）由题意设双曲线C的标准方程为：﹣＝1（a，b＞0），则c＝＝2＝，﹣＝1，解得a2＝1，b2＝3，∴双曲线C的标准方程为x2﹣＝1．（2）设直线l的方程为my＝x﹣2，设A（x1，y1），B（x2，y2），把x＝my+2代入双曲线方程可得：（3m2﹣1）y2+12my+9＝0，∵直线l交双曲线的右支于A，B两点，∴3m2﹣1≠0，Δ＞0，＞，或＜﹣，解得﹣＜m＜．y1+y2＝﹣，y1y2＝，∴|AB|＝＝＝，原点O到直线l的距离d＝，∴△PAB的面积S＝d|AB|＝12×，令1+m2＝t∈[1，）．则f（t）＝＝＝∈[1，+∞），当且仅当t＝1，即m＝0时，f（t）取得最小值．∴△PAB的面积的最小值为12，此时直线l⊥x轴．14．（2022秋•金山区期末）已知椭圆Γ：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2．（1）以F2为圆心的圆经过椭圆的左焦点F1和上顶点B，求椭圆Γ的离心率；（2）已知a＝5，b＝4，设点P是椭圆Γ上一点，且位于x轴的上方，若△PF1F2是等腰三角形，求点P的坐标；（3）已知a＝2，b＝，过点F2且倾斜角为的直线与椭圆Γ在x轴上方的交点记作A，若动直线l也过点F2且与椭圆Γ交于M、N两点（均不同于A），是否存在定直线l0：x＝x0，使得动直线l与l0的交点C满足直线AM、AC、AN的斜率总是成等差数列？若存在，求常数x0的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）e＝．（2）点P的坐标为（0，4），（±，）．（3）存在定直线l0：x＝4，使得动直线l与l0的交点C满足直线AM、AC、AN的斜率总是成等差数列．【解答】解：（1）由题意可得：2c＝＝a，∴e＝＝.（2）a＝5，b＝4，椭圆Γ的方程为：+＝1，c＝＝3．点P是椭圆Γ上一点，且位于x轴的上方，若|PF1|＝|PF2|，则P（0，4）．若|F2F1|＝|PF2|，设P（x，y），则＝6，+＝1，x∈（﹣5，5），y∈（0，4），联立解得x＝﹣，y＝，∴P（﹣，）．若|F2F1|＝|PF1|，设P（x，y），根据对称性可得P（，）．综上可得点P的坐标为（0，4），（±，）．（3）a＝2，b＝，椭圆Γ的方程为+＝1，c＝＝1，∴F2（1，0），把x＝1代入椭圆方程可得+＝1，y＞0，解得y＝，∴A（1，）．设直线l的方程为：y＝k（x﹣1），C（x0，k（x0﹣1）），设M（x1，y1），N（x2，y2），联立，化为（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，Δ＞0，∴x1+x2＝，x1x2＝，假设存在定直线l0：x＝x0，使得动直线l与l0的交点C满足直线AM、AC、AN的斜率总是成等差数列，则2kAC＝kAM+kAN，∴2×＝+，y1＝k（x1﹣1），y2＝k（x2﹣1），代入化为：＝+，而+＝＝＝，∴＝，解得x0＝4．因此存在定直线l0：x＝4，使得动直线l与l0的交点C满足直线AM、AC、AN的斜率总是成等差数列．15．（2022秋•长宁区期末）已知抛物线Γ：y2＝4x的焦点为F，准线为l．（1）若F为双曲线C：﹣2y2＝1（a＞0）的一个焦点，求双曲线C的离心率e；（2）设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在Γ上，若＝，求直线EP的方程；（3）经过点F且斜率为k（k≠0）的直线l′与Γ相交于A、B两点，O为坐标原点，直线OA、OB分别与l相交于点M、N．试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由．【答案】（1）e＝．（2）x﹣y+1＝0．（3）以线段MN为直径的圆C过定点（﹣3，0），或（1，0）．【解答】解：由抛物线Γ：y2＝4x，可得焦点F（1，0），准线l：x＝﹣1．（1）∵F为双曲线C：﹣2y2＝1（a＞0）的一个焦点，∴c＝＝1，解得a＝，∴双曲线C的离心率e＝＝．（2）l与x轴的交点为E（﹣1，0），设点P（x，y）（x＞0），∵点P在Γ上，＝，∴，x＞0，解得x＝1，y＝2，∴E（1，2），∴直线EP的方程为：y﹣0＝（x+1），化为：x﹣y+1＝0．（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l′的方程为：y＝k（x﹣1），（k≠0），联立，化为：ky2﹣4y﹣4k＝0，∴y1+y2＝，y1y2＝﹣4，直线OA的方程为：y＝x＝x，可得M（﹣1，﹣），直线OB的方程为：y＝x，可得N（﹣1，﹣），∴线段MN的中点C（﹣1，﹣﹣），﹣﹣＝＝，∴C（﹣1，）．其半径r2＝×＝×＝+4．∴以线段MN为直径的圆C方程为：（x+1）2+＝+4，化为（x+1）2+y2﹣y＝0，令y＝0，则x＝﹣3，或1．∴以线段MN为直径的圆C过定点（﹣3，0），或（1，0）．16．（2022秋•南通期中）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的焦距为2，过点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l交椭圆C于点P，Q，直线AP，AQ分别交y轴于点M，N，且，求证：直线l过定点．【答案】（1）；（2）证明过程见解析．【解答】解：（1）由题意得F1（﹣1，0），F2（1，0），c＝1，又椭圆过点，故＝4，故a＝2，b＝，故椭圆的标准方程为：．（2）证明：由＞0得M，N在x轴的同侧，直线l必有斜率，设l：x＝ky+m，（k≠0），代入椭圆方程整理后得（3k2+4）y2+6kmy+3m2﹣12＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则Δ＝（6km）2﹣4（3k2+4）（3m2﹣12）＞0，即3k2＞m2﹣4①有解即可，y1+y2＝，y1y2＝，直线AP的方程为：＝（x﹣1），令x＝0得yM＝，同理可知yN＝，则＝•＝，整理得（4﹣12k）y1y2+（9k﹣6m）（y1+y2）+18m﹣9＝0，将韦达定理代入上式整理后得12m2﹣27k2+144k+72m﹣84＝0，即4（m+3）2﹣（3k﹣8）2＝0，解得或，经验证两式都能保证①式有解，故直线方程为或，故直线过定点（1，）或（﹣7，）．17．（2022秋•道里区校级期中）已知动点P与平面上两定点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率的积为定值．（1）求动点P的轨迹方程C；（2）设直线l：y＝kx+1与曲线C交于M，N两点，判断是否存在k使得△OMN面积取得最大值，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【答案】（1）（x≠±2）；（2）y＝±x+1．【解答】解：（1）设动点P的坐标是（x，y），由题意得：kPAkPB＝﹣，∴，整理得（x≠±2），故P点的轨迹方程是（x≠±2）．（2）设直线l与曲线C的交点M（x1，y1），N（x2，y2），由，整理得（1+4k2）x2+8kx＝0∴x1＝，x2＝0，∴S△MON＝＝×||＝＝≤＝1，∴当且仅当4|k|＝，即k＝±时，等号成立，∴直线l的方程是y＝±x+1．18．（2021秋•西湖区校级期末）已知椭圆＝1（a＞b＞0）的离心率为，过焦点且垂直于长轴的弦长等于1．（1）求椭圆的方程；（2）直线l：y＝kx+b交椭圆于A，B两点，且AB被直线x﹣2y＝0平分．①若△AOB的面积等于1（O是坐标原点），求l的方程；②椭圆的左右焦点分别是F1，F2，△ABF1，△ABF2的重心分别是C，D，当原点O落在以CD为直径的圆外部时，求△AOB面积的取值范围．【答案】（1）；（2）①；②（0，1]．【解答】解：（1）设椭圆的半焦距为c，因为椭圆的离心率，过焦点且垂直于长轴的弦长等于1，则，结合a2＝b2+c2，所以a2＝4，b2＝1，所以椭圆方程：；（2）①令A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点E（x0，y0），所以，，两式相减得：（x1+x2）（x1﹣x2）＝﹣4（y1+y2）（y1﹣y2），其中x1+x2＝2x0，y1+y2＝2y0，所以直线AB的斜率，因为AB被直线x﹣2y＝0平分，所以AB的中点坐标E（x0，y0）在直线x﹣2y＝0上，即x0＝2y0，所以，所以直线l的方程为，与椭圆方程联立，x2﹣2bx+2b2﹣2＝0，所以Δ＝4b2﹣8b2+8＝8﹣4b2＞0，所以b2＜2，所以x1+x2＝2b，，所以，O到直线l的距离为d，则，所以△ABO的面积为，所以b2（2﹣b2）＝1，解得b2＝1，b＝±1，所以直线l的方程：；②因为x1+x2＝2b，所以，因为△ABF1，△ABF2的重心分别是C，D，所以，，，，所以，，又因为O在CD为直径的圆外，所以，所以，所以4b2﹣3+b2＞0，所以，所以b2的取值范围为，又因为，所以当b2＝1时，△OAB的面积最大，最大值为1，且S△OAB＞0，所以△OAB面积的取值范围为（0，1]．19．（2022秋•黑龙江期中）已知F1，F2分别是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，P是C上的动点，C的离心率是，且△PF1F2的面积的最大值是．（1）求C的方程；（2）过F1作两条相互垂直的直线l1，l2，直线l1交C于A，B两点，直线l2交C于D，E两点，求证：为定值．【答案】（1）；（2）为定值，证明见解析．【解答】解：（1）由题意可知，椭圆的离心率，△PF1F2的面积的最大值是，由a2＝b2+c2，所以a＝2，，c＝1，所以椭圆C：；（2）当直线l1，l2的斜率存在且都不为0，设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设直线l1的方程为y＝k（x+1），则直线l2的方程为：，联立，消去y，整理得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，由F1在椭圆C的内部，所以Δ＞0恒成立，所以，，所以，将k换成，得，所以，当直线l1，l2中一条直线斜率为0，一条直线的斜率不存在时，不妨设直线l1的斜率为0，则|AB|＝2a＝4，，所以，综上所述，为定值.20．（2022秋•江宁区期中）已知双曲线与椭圆的离心率互为倒数，且双曲线的右焦点到C的一条渐近线的距离为．（1）求双曲线C的方程；（2）直线y＝2x+m与双曲线C交于A，B两点，点M在双曲线C上，且，求λ的取值范围．【答案】（1）；（2）（﹣∞，﹣3）∪（﹣1，0）．【解答】解：（1）由椭圆的离心率，所以双曲线C的离心率，则c＝2a，由双曲线右焦点（c，0）到一条渐近线ay﹣bx＝0的距离为，所以，由c2＝a2+b2，则a＝1，c＝2，所以双曲线C的方程：；（2）A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），联立，消去y，整理得x2+4mx+m2+3＝0，所以Δ＝16m2﹣4（m2+3）＝12（m2﹣1）＞0，所以m2＞1，所以x1+x2＝﹣4m，，因为，所以，因为M在双曲线上，所以，即，所以，即λ2﹣4λ+3+8m2λ＝0，所以，当λ＝0，显然不成立，当λ＞0时，λ2﹣4λ+3＝﹣8λm2＜﹣8λ，解得﹣3＜λ＜﹣1，所以不满足题意，当λ＜0时，λ2﹣4λ+3＝﹣8λm2＞﹣8λ，解得λ＜﹣3或λ＞﹣1，所以λ＜﹣3或﹣1＜λ＜0，所以λ的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（﹣1，0）．亦可以，λ2﹣4λ+3+8m2λ＝0，则4λ（1﹣2m2）＝3+λ2，λ≠0，所以，所以，所以λ（λ+1）（λ+3）＜0，解得λ＜﹣3或﹣1＜λ＜0，所以λ的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（﹣1，0）．21．（2022秋•顺庆区校级期中）已知动点M（x，y）到原点O（0，0）的距离与它到点H（﹣3，0）的距离之比为，记动点M的轨迹为曲线Ω．（1）求曲线Ω的方程；（2）直线x﹣y+m＝0与曲线Ω交于E，F两点，求的取值范围（O为坐标原点）；（3）点P是直线l：x+y+2＝0上一动点，过点P作曲线Ω的两条切线，切点分别为A、B．试问直线AB是否恒过定点，若是，求出这个定点；若否，请说明理由．【答案】（1）（x﹣1）2+y2＝4；（2）；（3），理由见解析．【解答】解：（1）由已知，化简得x2+y2﹣2x﹣3＝0，化为（x﹣1）2+y2＝4，所以曲线Ω的方程为：（x﹣1）2+y2＝4；（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），联立直线与圆的方程，，消去y，得2x2+（2m﹣2）x+m2﹣3＝0，所以x1+x2＝1﹣m，，则，所以，因为直线x﹣y+m＝0与曲线Ω相交，所以圆心（1，0）到直线x﹣y+m＝0的距离小于半径，即，解得，所以，所以，，所以的取值范围；（3）直线AB恒过定点．理由如下：设N（1，0），则PA2＝PN2﹣AN2＝（a﹣1）2+（a+2）2﹣4＝2a2+2a+1，设以点P为圆心，PA为半径的圆为圆P，则圆P的方程为：（x﹣a）2+（y+a+2）2＝2a2+2a+1，化简得：x2+y2﹣2ax+2（a+2）y+2a＝0，联立圆P、圆N两方程，消去x2+y2，得（a﹣1）x﹣（a+2）y﹣a﹣3＝0，所以直线AB的方程为（a﹣1）x﹣（a+2）y﹣a﹣3＝0，整理得a（x﹣y﹣1）﹣（x+2y+3）＝0，令，解得，所以直线AB经过的定点为．22．（2022秋•通州区期中）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：＝1与椭圆C2：＝1，A，B分别为C1的左、右顶点．点P在双曲线C1上，且位于第一象限．（1）直线OP与椭圆C2相交于第一象限内的点M，设直线PA，PB，MA，MB的斜率分别为k1，k2，k3，k4，求k1+k2+k3+k4的值；（2）直线AP与椭圆C2相交于点N（异于点A），求AP⋅AN的取值范围．【答案】（1）0．（2）（16，+∞）．【解答】解：（1）A（﹣2，0），B（2，0），设P（x1，y1），M（x2，y2），则＝，即x2y1﹣x1y2＝0．由﹣＝1，化为：﹣4＝2，由+＝1，化为﹣4＝﹣2．∴k1+k2+k3+k4＝+++＝+＝﹣＝＝0．（2）设N（x3，y3），设直线AP的斜率为k，则直线AP的方程为y＝k（x+2），k∈（0，）．联立，化为：（1﹣2k2）x2﹣8k2x﹣8k2﹣4＝0，∴﹣2x1＝，解得x1＝，∴|AP|＝|x1+2|＝•．联立，化为：（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣4＝0，∴﹣2x3＝，解得x3＝，∴|AN|＝|x3+2|＝•．∴|AP|⋅|AN|＝（1+k2）••＝，令1+k2＝t∈（1，），∴k2＝t﹣1，∴＝＝∈（16，+∞），∴|AP|⋅|AN|∈（16，+∞）．23．（2022秋•如东县期中）在一张纸上有一个圆C：＝4，定点，折叠纸片使圆C上某一点S1好与点S重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ，设折痕PQ与直线S1C的交点为T．（1）求证：||TC|﹣|TS||为定值，并求出点T的轨迹C′方程；（2）设A（﹣1，0），M为曲线C′上一点，N为圆x2+y2＝1上一点（M，N均不在x轴上）．直线AM，AN的斜率分别记为k1，k2，且k2＝﹣，求证：直线MN过定点，并求出此定点的坐标．【答案】（1）||TC|﹣|TS||＝2，点T的轨迹C′的方程：；（2）直线MN过定点T（1，0），证明见解析．【解答】解：（1）证明：由题意得|TS|＝|TS1|，所以，即T的轨迹是以C，S为焦点，实轴长为2的双曲线，即点T的轨迹C′的方程：；（2）证明：由已知得直线AM的方程：y＝k1（x+1），直线AN的方程：y＝k2（x+1），联立直线方程与双曲线方程，消去y，整理可得，由韦达定理得，所以，即，所以，联立直线方程与圆方程，消去y，整理得，由韦达定理得，所以，即，因为，即，所以，若直线MN所过定点，则由对称性得定点在x轴上，设定点T（t，0），由三点共线得kMT＝kNT，即，，解得t＝1，所以直线MN过定点T（1，0）．24．（2022秋•衢州期末）已知椭圆C：的长轴长为4，离心率为，其左、右顶点分别为A、B，右焦点为F．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，过右焦点F作不与x轴重合的直线交椭圆于C、D两点，直线AD和BC相交于点M，求证：点M在定直线l上；（3）若直线AC与（2）中的定直线l相交于点N，在x轴上是否存在点P，使得．若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）+＝1．（2）见证明过程．（3）在x轴上存在点P（1，0）或（7，0），使得．【解答】解：（1）由题意可得2a＝4，＝，a2＝b2+c2，解得a＝2，b2＝3，∴椭圆C的方程为+＝1．（2）证明：c＝＝1，F（1，0），设C（x1，y1），D（x2，y2），不妨设y1＞y2，设直线方程为my＝x﹣1，联立，化为（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，Δ＞0，y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，y1＝，y2＝，直线AD的方程为y＝（x+2），直线BC的方程为y＝（x﹣2），消去y可得＝，又3y1+y2＝，my1y2+3y1＝﹣﹣＝，∴＝，解得x＝4，因此点M在定直线l：x＝4上．（3）由（2）可得M（4，），直线AC的方程为y＝（x+2），把x＝4代入解得y＝，即N（4，），假设在x轴上存在点P（t，0），使得，则（4﹣t）2+＝0，由点C在椭圆上，∴+＝1，可得＝﹣，∴（4﹣t）2﹣12×＝0，解得t＝1或7，∴在x轴上存在点P（1，0）或（7，0），使得．25．（2022秋•西湖区校级期中）已知三角形△ABC的两顶点坐标A（﹣1，0），B（1，0），sinA（1﹣2cosB）+sinB（1﹣2cosA）＝0．（1）求动点C的轨迹E的方程；（2）不垂直于x轴的动直线l与轨迹E相交于M，N两点，定点P（4，0），若直线MP，NP关于x轴对称，求三角形PMN面积的取值范围．【答案】（1）+＝1（y≠0）．（2）S△PMN∈（0，）．【解答】解：（1）由sinA（1﹣2cosB）+sinB（1﹣2cosA）＝0，化为sinA+sinB＝2sinAcosB+2sinBcosA，∴sinA+sinB＝2sin（A+B）＝2sinC，∴a+b＝2c＝4＞2＝|AB|，∴动点C的轨迹E是以A，B为焦点的椭圆，且去掉椭圆与x轴的交点，设椭圆的标准方程为+＝1，（a＞b＞0），则2a＝4，c＝1，b2＝a2﹣c2，解得a＝2，b2＝3，∴动点C的轨迹E的方程为+＝1（y≠0）．（2）直线MN的斜率不为0，设直线MN的方程为x＝my+t，M（x1，y1），N（x2，y2），把x＝my+t代入椭圆方程可得：（3m2+4）y2+6mty+3t2﹣12＝0，Δ＝36m2t2﹣4（3m2+4）（3t2﹣12）＞0，化为t2＜3m2+4．∴y1+y2＝﹣，y1y2＝，∵直线MP，NP关于x轴对称，∴kPM+kPN＝0，∴+＝0，∴y1（my2+t﹣4）+y2（my1+t﹣4）＝0，∴2my1y2+（t﹣4）（y1+y2）＝0，∴2m×+（t﹣4）×（﹣）＝0，化为：t＝1，可得直线MN经过定点B（1，0）．∴S△PMN＝×|BP|×|y2﹣y1|＝＝＝18，由Δ＞0，可得m2＞0，令m2+1＝u＞1，则f（u）＝＝＝∈（0，），∴S△PMN∈（0，）．26．（2022秋•浦东新区期末）已知F1、F2分别为椭圆C1：＝1的左、右焦点，直线l1交椭圆C1于A、B两点．（1）求焦点F1、F2的坐标与椭圆C1的离心率e1的值；（2）若直线l1过点F2且与圆x2+y2＝1相切，求弦长|AB|的值；（3）若双曲线C2与椭圆共焦点，离心率为e2，满足e2＝2e1，过点F2作斜率为k（k≠0）的直线l2交C2的渐近线于C、D两点，过C、D的中点M分别作两条渐近线的平行线交C2于P、Q两点，证明：直线PQ平行于l2．【答案】（1）焦点F1（﹣，0），F2（，0），椭圆C1的离心率e1＝．（2）|AB|＝2．（3）见证明过程．【解答】解：（1）由椭圆C1：＝1，解得c＝＝，∴焦点F1（﹣，0），F2（，0），椭圆C1的离心率e1＝．（2）设直线l1的方程为y＝k（x﹣），A（x1，y1），B（x2，y2），∵直线l1与圆x2+y2＝1相切，∴＝1，解得k＝±．k＝时，联立，化为：3x2﹣4x+2＝0，x1+x2＝，x1x2＝，∴弦长|AB|＝＝＝2；k＝﹣时，根据对称性，可得|AB|＝2．（3）证明：设双曲线C2的标准方程为﹣＝1，则a2+b2＝3，e2＝2e1＝＝，解得a＝1，b2＝2，∴双曲线C2的标准方程为x2﹣＝1．∴双曲线C2的渐近线方程为y＝±x．直线l2的方程为y＝k（x﹣），联立，解得C（，）．联立，解得D（，﹣）．∴线段CD的中点M（，）．直线MQ的方程为：y﹣＝﹣（x﹣）与x2﹣＝1联立解得Q（，），同理可得P（，），∴kPQ＝k，∴直线PQ平行于l2．27．（2022秋•普陀区期末）在xoy坐标平面内，已知椭圆Γ：＝1的左、右焦点分别为F1、F2，直线y＝k1x（k1≠0）与Γ相交于A、B两点．（1）记d为A到直线2x+9＝0的距离，当k1变化时，求证：为定值；（2）当∠AF2B＝120°时，求|AF2|⋅|BF2|的值；（3）过B作BM⊥x轴，垂足