椭球面的几何特征与测量计算

第五章地球椭球及椭球面上的计算应用大地测量学

山东科技大学地科学院测绘系

1可编辑版第一节地球椭球及其定位

应用大地测量学测量的外业工作主要是在地球表面进行的，或者说主要是对地球表面进行观测的，由于地球表面不是一个规则的数学曲面，在其上面无法进行严密的测量计算。因此，需要寻求一个大小和形状最接近于地球的规则形体——地球椭球，在其表面完成测量计算工作。用椭球来表示地球必须解决2个问题：一是椭球参数的选择；二是确定椭球与地球的相关位置，即椭球的定位。2可编辑版第一节地球椭球及其定位

应用大地测量学一、椭球的几何参数及其关系3可编辑版第一节地球椭球及其定位

应用大地测量学一、椭球的几何参数及其关系第一偏心率第二偏心率：

扁率椭球长半径a，短半径b

4可编辑版第一节地球椭球及其定位

应用大地测量学一、椭球的几何参数及其关系kpaCOBCKuu1980国家大地坐标系WGS-84a637824563781406378137b6356863.018776356755.288166356752.3142e20.006693421622970.006694384999590.00669437999013e′20.00673852544680.006739501819470.00673949674227f1:298.31:298.2571:298.257223563几种椭球几何参数

5可编辑版第一节地球椭球及其定位

应用大地测量学二、垂线偏差及其基本公式垂线偏差——地面一点上，铅垂线方向和相应的椭球面法线方向之间的夹角。垂线偏差µ的分量——子午圈分量ξ和卯酉圈分量ηξ=ψ-Bη=(λ-L)cosψA=α-(λ-L)sinψ=α-η·tanψ

6可编辑版第一节地球椭球及其定位

应用大地测量学三、椭球的定位椭球定位——将一定参数的椭球与大地体的相关位置固定下来，确定测量计算基准面的具体位置和大地测量起算数据。椭球定位通过大地原点的天文观测实现。对于大地原点： B0=ψ0-ξ0 L0=λ0-η0·secψ0 A0=α0-η0·tanψ0 H0=H0常+ζ0初期定位时，ξ0，η0，ζ0未知，可取为0。根据大地测量和天文测量数据，在条件下，求出原点的ξ0，η0，ζ0值。7可编辑版第二节椭球面上法截线曲率半径

应用大地测量学基本概念法截面——包含曲面一点法线的平面。法截线——法截面与曲面的截线。子午圈——包含短轴的平面与椭球面的交线。卯酉圈——与椭球面上一点子午圈相垂直的法截线，为该点的卯酉圈。平行圈——垂直于短轴的平面与椭球面的交线。8可编辑版第二节椭球面上法截线曲率半径

应用大地测量学一、平行圈半径r与卯酉圈曲率半径N的关系9可编辑版第二节椭球面上法截线曲率半径

应用大地测量学一、平行圈半径r与卯酉圈曲率半径N的关系10可编辑版第二节椭球面上法截线曲率半径

应用大地测量学二、子午圈曲率半径M表M、N随B变化的规律

BNM说明B=0°N0=aM0=a(1-e2)在赤道上，N为赤道半径a，M小于赤道半径a0°<B<90°a<N<ca(1-e2)<M<c此间N、M均随B的增大而增大B=90°在极点，卯酉圈变为子午圈11可编辑版第二节椭球面上法截线曲率半径

应用大地测量学三、任意方向法截线曲率半径RA12可编辑版第二节椭球面上法截线曲率半径

应用大地测量学三、任意方向法截线曲率半径RA13可编辑版第二节椭球面上法截线曲率半径

应用大地测量学四、平均曲率半径五、曲率半径的数值计算公式14可编辑版第三节椭球面上弧长计算

应用大地测量学一、子午圈弧长公式（用于高斯投影计算，椭球面上大地问题解算）

1、计算B=0到B的子午圈弧长X由M=dX/dB得：

将

代入上式，从0到B积分，可得X。可知，X是B的函数。15可编辑版第三节椭球面上弧长计算

应用大地测量学一、子午圈弧长公式（用于高斯投影计算，椭球面上大地问题解算）

1、计算B=0到B的子午圈弧长X由M=dX/dB得：

将

代入上式，从0到B积分，可得X。可知，X是B的函数。16可编辑版第三节椭球面上弧长计算

应用大地测量学一、子午圈弧长公式（用于高斯投影计算，椭球面上大地问题解算）

2、计算已知纬度B1和B2之间的子午圈弧长△X（1）分别计算0到B1和0到B2之间的子午圈弧长X1和X2，然后求△X=X2-X1；（2）用上述积分式求B1～B2之间的子午圈弧长△X。17可编辑版第三节椭球面上弧长计算

应用大地测量学二、平行圈弧长平行圈是一个半径等于r=N·COSB的圆，纬度B处经度L1～L2之间的平行圈弧长

18可编辑版第四节地面观测值归算至椭球面

应用大地测量学一、相对法截线设Q1和Q2两点既不在同一平行圈上，也不在同一子午圈上，它们的法线Q1n1和Q2n2不相交。法截线Q1m1Q2和Q2m2Q1称为两点间的相对法截线。19可编辑版第四节地面观测值归算至椭球面

应用大地测量学一、相对法截线正反法截线之间的夹角△：令Bm=45°，A=45°，不同距离S求得的△值为：

S

△

100km

0.042″

60km

0.015″

30km

0.004″在长距离的测量中，对向观测所得3个内角不能组成闭合三角形，需在两点间选择一条单一曲线——大地线。20可编辑版第四节地面观测值归算至椭球面

应用大地测量学二、大地线及其几何特征1、大地线——曲面上两点间的最短曲线。（或：大地线是曲面上的一条曲线，该曲线上每一点处的密切平面都包含曲面在该点的法线。2、大地线几何特征大地线与相对法截线间的夹角为δ=△/3。大地线与相对法截线间的长度之差甚微，600km时二者之差仅为0.007mm。两点位于同一条子午圈上或赤道上，则大地线与子午圈、赤道重合。21可编辑版第四节地面观测值归算至椭球面

应用大地测量学二、大地线及其几何特征22可编辑版第四节地面观测值归算至椭球面

应用大地测量学三、大地线微分方程和克莱劳方程

大地线的解析特性——表述dB、dL、dA与dS的关系：

大地线的三个微分方程：23可编辑版第四节地面观测值归算至椭球面

应用大地测量学三、大地线微分方程和克莱劳方程

大地线的解析特性——表述dB、dL、dA与dS的关系：

大地线的克莱劳方程

：r·sinA=常数对于椭球面上一大地线而言，每点处平行圈半径与该点处大地线方位角正弦的乘积是一个常数。24可编辑版第四节地面观测值归算至椭球面

应用大地测量学四、地面观测方向归算至椭球面

1、垂线偏差改正δ1将地面测站点铅垂线为基准的观测方向换算成椭球面上以法线为准的观测方向，其改正数δ1为：δ1=-（ξsinA-ηcosA）tanα例：A=0°，tanα=0.01，ξ=η=5″，则δ1=0.05″。垂线偏差改正数的大小主要取决于测站点的垂线偏差和观测方向的天顶距（或没垂直角）。仅在国家一、二等三角测量计算中，才规定加入此项改正。

25可编辑版第四节地面观测值归算至椭球面

应用大地测量学四、地面观测方向归算至椭球面

2、标高差改正δ2因照准点B高出椭球面某一高度H2，使得在A点照准B点的法截线Ab′与Ab之间有一夹角δ2。B2照准点的大地纬度；A1测站点至照准点的大地方位角；H2照准点高出椭球面的高程；M1测站点子午圈曲率半径。例：A1=45°，B2=45°，H2=2000m，δ1=0.1″局部地区的控制测量一般不必考虑此项改正。

26可编辑版第四节地面观测值归算至椭球面

应用大地测量学四、地面观测方向归算至椭球面

3、截面差改正δ3将椭球面上法截线方向换算为大地线方向所加的为截面差改正数δ3。例：A1=45°，Bm=45°，S=30kmδ3=0.001″截面差改正主要与测站点至照准点间的距离有关。只有在国家一等三角测量计算中，才进行改正。

27可编辑版第四节地面观测值归算至椭球面

应用大地测量学五、地面观测距离归算至椭球面

设A、B两点的大地高分别为H1为H2，h=H2-H1，d为空间直线长。由三角形AOB按余弦公式可得：

弦长弧长28可编辑版第四节地面观测值归算至椭球面

应用大地测量学六、椭球面上的三角形解算

目的——将方向观测值和起算边长归算到椭球面上后，在椭球面上解算未知边长。方法一：按球面三角形解算公式：方法二：将球面三角形改化为对应边相等的平面三角形，按平面三角公式解算三角形求得球面边长。球面三角形球面角超ε=（A0+B0+C0）-180°=△/R2·ρ″，△为三角形面积。

A1=A0-ε/3，B1=B0-ε/3，C1=C0-ε/3。29可编辑版第五节椭球面上大地问题解算

应用大地测量学一、概述（一）解算内容大地问题正解——已知P1点大地坐标（B1，L1）、P1P2大地线长S和大地方位角A1，推求P2点大地坐标（B2，L2）和大地方位角A2。大地问题反解——已知P1P2两点的大地坐标（B1，L1）、（B2，L2）反算P1P2的大地线长S和大地方位角A1、A2。30可编辑版第五节椭球面上大地问题解算

应用大地测量学一、概述（二）解算方法1、按解算的距离分为短距离（<400km)、中距离（400～1000km)和长距离（1000～2000km)的解算。2、直接解法和间接解法直接解法——直接解求点B、A和相邻起算点的大地经差。间接解法——先求大地经差、纬差和大地方位角差，再加入到已知点的相应大地数据中。主要用于短距离大地问题的解算。

31可编辑版第五节椭球面上大地问题解算

应用大地测量学一、概述（二）解算方法3、高斯平均引数大地问题解算公式（间接解法，适用于短距离）。基本思路：a、按照平均引数展开的台劳级数把大地线两端点的经差、纬差和方位角差各表示为大地线长S的幂级数；b、利用大地线微分方程推求幂级数中各阶导数，最终得到大地问题解算公式。32可编辑版第五节椭球面上大地问题解算

应用大地测量学二、高斯平均引数公式（一）按平均引数展开的台劳级数平均引数xm为xo、xa的中点，将f(xa)、f(xo)都以xm为出发点展为台劳级数。33可编辑版第五节椭球面上大地问题解算

应用大地测量学二、高斯平均引数公式（二）高斯平均引数正解公式推求步骤：1、经差l、纬差b、方位角差a是S的函数，故可以将其展为S的台劳级数（按平均引数在S/2处展为S的幂级数）。2、引入大地线两端点的平均纬度和平均方位角，将dL/dS以Bm、Am按台劳级数展开。3、根据大地线微分方程求