高数课件同济版上下册

第一节

多元函数一、多元函数的概念二、多元函数的极限三、多元函数的连续性（1）邻域设P0

(x0

,y0

)是xoy平面上的一个点，

是某一正数，与点P0

(x0

,y0

)距离小于

的点P(x,y)的全体，称为点P0

的

邻域，记为U

(P0

,

)，0U

(

P0

,

)

P

|

PP0

|

2020y

)

.(

x

x

)

(

y

(

x,

y)

|一、多元函数的概念

P（2）区域E

P则称E

为开集.设

E是平面上的一个点集，

P是平面上的一个点．如果存在点

P

的某一邻域

U

(

P

)

E

，则称

P

为

E

的内点.

E

的内点属于

E

.如果点集E

的点都是内点，21x

y2

4}E

{(

x,

y)1

例如，即为开集．如果点P

的任一个邻域内既有属于E

的点，也有不属于E

的点（点P

本身可以属于E

，也可以不属于E

），则称P

为E

的边界点．E

PE

的边界点的全体称为E

的边界．设D

是开集．如果对于D

内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于D

，则称开集D

是连通的．连通的开集称为区域或开区域．例如，{(x,y)|

1

x2

y2

4}.xyo开区域连同它的边界一起称为闭区域.例如，{(x,y)|

1

x2

y2

4}.xyo{(

x,

y)

|

x

y

0}无界开区域．xyo对于点集

E

如果存在正数

K

，使一切点P

E

与某一定点

A

间的距离

AP

不超过

K，即

AP

K对一切P

E

成立，则称E为有界点集，否则称为无界点集．

例如，{(

x,

y)

|

1

x2

y2

4}有界闭区域；（3）聚点设E

是平面上的一个点集，P

是平面上的一个点，如果点P

的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集E，则称P

为E

的聚点.说明：内点一定是聚点；

边界点可能是聚点；例{(

x,

y)

|

0

x2

y2

1}(0,0)既是边界点也是聚点．点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．例如,

{(

x,

y)

|

0

x2

y2

1}(0,0)是聚点但不属于集合．例如,

{(

x,

y)

|

x2

y2

1}边界上的点都是聚点也都属于集合．（4）n维空间设n

为取定的一个自然数，我们称n

元数组

(x1

,x2

,,xn

)的全体为n维空间，而每个n元数组(x1

,x2

,,xn

)称为n

维空间中的一个点，数

xi

称为该点的第i

个坐标.说明：n维空间的记号为Rn

;n维空间中两点间距离公式Q(

y1

,

y2

,,

yn

),2

221

1

2

2

n

n|

PQ

|

(

y

x

)

(

y

x

)

(

y

x

)

.

n0

0

,

P

RU

(

P

,

)

P

|

PP

|特殊地当n

1,2,3

时，便为数轴、平面、空间两点间的距离．n维空间中邻域、区域等概念内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．邻域：设两点为P(x1

,x2

,,xn

),（5）二元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数．当n

2时，n元函数统称为多元函数.多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念.设有平面点集DR2、实数集R,如果按某种对应法则f,使对于D中的每一点P(x,y),总有唯一确定的实数zR和它对应，则称f是定义在D上的二元函数，记作f:

DR,

P(x,y)

z习惯上，也将二元函数简写为：.z=f(x,y)(x,y)D例

求的定义域．x

y2arcsin(3

x2

y2

)f

(

x,

y)

解

x

y2

0

3

x2

y2

1

x

y22

x2

y2

4

y2

4,

x

y2

}.所求定义域为D

{(x,y)|

2

x2（6）

二元函数z

f

(

x,

y)的图形设函数z

f

(

x,

y)的定义域为D

，对于任意取定的P(

x,

y)

D，对应的函数值为z

f

(x,y)，这样，以x

为横坐标、y

为纵坐标、z

为竖坐标在空间就确定一点M

(x,y,z)，当x取遍D

上一切点时，得一个空间点集{(x,y,z)|

z

f

(x,y),(x,y)

D}，这个点集称为二元函数的图形.（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面.而函数的定义域D则是该曲面在xoy面上的投影xyzo图形如右图.例如,

x2

y2

z2

a2例如,

z

sin

xy左图球面.D

{(

x,

y)

x2

y2

a2

}.a2a2单值分支:

z

x2

y2z

x2

y2

.二、多元函数的极限定义3设D是区域或几个区域的并，z=f(x,y）是定义在D上二元函数,P0(x0,y0)是D的内点或边界点，A是一个常数,如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于D中适合不等式

2020(

y

y

)0

|

PP

|

(

x

x

)0的一切点P(x,y),都有成立，|

f

(

x

,

y

)

A

|

则称A为函数

z=f(x,y)

当x

x0

,y

y0时的极限，记作lim

f

(

x,

y)

Ay

y0x

x0（或

f

(

x,

y)

A(

0)这里

|

PP0

|）.说明：x

x0y

y0（4）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．(1)点P0是D的内点或边界点，意思即是：函数

f(x,y)在P0处可以有定义也可以无定义，但在P0的任意去心邻域内都存在着无数个使f(x,y)有定义的点.如课本P51例7定义中P

P0

的方式是任意的；二元函数的极限也叫二重极限

lim

f

(

x,

y);然后夹逼性xx0y

y0（5）证明

lim

f

(x,

y)

A

时，可适当放大|f(x,y)-A|,证1

0x2

y2例1

求证lim(

x2

y2

)sinx0y0

01x2

y2(

x2

y2

)sin1x2

y2

x2

y2

sin

x2

y2

0,

,当

0

(

x

0)2

(

y

0)2

时，

0

1x2

y2(

x2

y2

)sin原结论成立．x0y0例2

求证lim

xy

ln(x2

y2

)

0证明：由于0

|

xy

ln(x2

y2

)

|

1

|

(x2

y2

)ln(x2

y2

)

|2当x0, y0时，x2+y2

0x0y0所以，lim(x2

y2

)ln(x2

y2

)

0x0y0由夹逼性可知，lim

xy

ln(x2

y2

)

0.2

2sin(

x2

y)x

y例3

求极限

limx0y0解sin(

x2

y)x2

y2limx0y02

,2

2sin(

x2

y)

x2

yx

y

x

y

limx0y0x

y2sin(

x2

y)其中limx0y0usin

ulimu0

1,x2x2

y

y21

2

x

0,x02

0.limx

y2sin(

x2

y)x0y0u

x2

y不存在．26例4

证明limx3

y

yy0x0

x证

取6

2limy

kx3

,x3

y

yy0x0

xx3

kx3

limx0ykx

32

,kx6

k

2

x6

1

k其值随k的不同而变化，故极限不存在．2

不存在.6limx3

y

yy0x0

x62

图形,x3

yx

y观察z

播放令P(x,y)沿y

kx

趋向于P0

(x0

,y0

)，若极限值与k

有关，则可断言极限不存在；找两种不同趋近方式，使lim

f

(

x,

y)存在，x

x0y

y0但两者不相等，此时也可断言f

(x,y)在点P0

(x0

,y0

)处极限不存在．确定极限不存在的方法：定义

2

设n

元函数

f

(

P

)

的定义域为点集D,

P0

是其聚点，如果对于任意给定的正数

，总

存

在

正

数

，

使

得

对

于

适

合

不

等

式0

|

PP0

|

的

一

切

点

P

D

，

都

有P

P0|

f

(P

)

A

|

成立，则称A为n元函数f

(P

)当P

P0

时的极限，记为lim

f

(

P

)

A.利用点函数的形式有n元函数的极限四、多元函数的连续性定义5设函数f(x,y)在区域D内有定义，P0(x0,y0)是D的内点或边界点，且P0D.如果f(x,y)

当P(x,y)

P0(x0,

y0)时极限存在,

且等于f(x,y)在点P0(x0

,

y0)的函数值，即lim

f

(

x,

y)

f(x0

,

y0)y

y0x

x0称函数f(x,y)在点P0(x0

,y0)处连续.用-语言来描述：0，0，当P(x,

y)U(P0,)时，有|f(x,

y)-f(x0

,

y0)|<

如果函数

f(x,y)

在点

P0(x0

,

y0)

处不连续,

而在

P0(x0

,

y0)

的任意去心邻域内都存在使函数f(x

,

y)有定义的点,

则P0(x0

,y0)

称为函数

f(x

,

y)的间断点.例5

讨论函数0,, (

x,

y)

(0,0)(

x,

y)

(0,0)2

y2x

x3

y3f

(

x,

y)

在(0,0)处的连续性．解取x

cos

,y

sinf

(

x,

y)

f

(0,0)

(sin3

cos3

)

2f

(

x,

y)

f

(0,0)

2

lim

f

(

x,

y)

f

(0,0),(

x

,

y

)(

0,0)故函数在(0,0)处连续.2

0,

,当

0

y2

时x2例6

讨论函数0,22,

x2

y2

0x2

y2

0x

yxyf

(

x,

y)

在(0,0)的连续性．解

取y

kxxyx2

y2limx0y02

2

2kx2

limykxx0

x2k

k

x

1

k其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．闭区域上连续函数的性质最大值和最小值定理(参见课本P54)在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．介值定理(参见课本P54)在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．（3）一致连续性定理在有界闭区域D上的多元连续函数必定在D上一致连续．多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．例７xyxy

1

1

.求

limx0y0解xy

1

1)xy

1

1y0x0

xy(原式

lim

lim1xy

1

1x0y0

1

.P

P0P

P0数，且

P0

是

f

(

P

)

的定义域的内点，则

f

(

P

)

在点

P0

处连续，于是

lim

f

(

P

)

f

(

P0

).一般地，求

lim

f

(

P

)

时，如果

f

(

P

)

是初等函2例8—9

见课本P55

例15，18四、小结多元函数的定义多元函数极限的概念（注意趋近方式的任意性）多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质若点(x,y)沿着无数多条平面曲线趋向于点(x0

,y0

)时，函数f

(x,y)都趋向于A，能否断定

lim

f

(

x,

y)

A？(

x

,

y

)(

x0

,

y0

)思考题思考题解答例不能.x3

y2f

(

x,

y)

(

x2

y4

)2

,(

x,

y)

(0,0)取y

kx,x3

k

2

x2(

x2

k

4

x4

)2f

(

x,

kx)

x0

0但是lim

f

(x,y)不存在.(

x

,

y

)(0,0)2原因为若取x

y

,22y6

y2(

y4

y4

)f

(

y

,

y)

.4

1y一、填空题:1、若

f

(

x,

y)

x

2

y

2

xy

tan

x

,则

f

(tx,

ty)=

.2

xyx

2

y

22、若f

(x,y),则

f(2,3)

;xf

(1,

y

)

.

y

2x

2x

yy3、若

f

( )

(

y

0),则

f

(

x)

.xy4、若

f

(

x

y, )

x

2

y

2

,则f

(x,y).4

x

y

2函数z

ln(1

x

2的定义域是

y

2

).练习题6、函数z

x

y

的定义域是

.x7、函数z

arcsin

y

的定义域是

.y

2

2

x8、函数z

的间断点是

.y

2

2

x二、求下列各极限:xy1、lim

2

y0x0xy

4

；xx0y02、lim

sin

xy

；(

x

2

y

2

)

x

2

y

21

cos(

x

2

y

2

)3、limx0y0.三、证明：lim

y

2x

2xyx0y0

0.x

y四、证明极限limx0y0xy

1

1不存在.12一、

1、

t

2

f

(

x,

y)； 2、

13

,f

(

x,

y)；3、x

1

y1

x

2

1

y；

4、

x

2

；5、(x,y)0

x

2

y2

1,y2

4

x；6、(

x,

y)

x

0,

y

0,

x

2

y；7、(

x,

y)

x

0,

x

y

x

(x,y)x

0,x

y

x；8、