微积分课件一阶微分方程

习题课一阶微分方程—

基本要求：了解微分方程的基本概念:微分方程的定义、阶、解、通解、积分曲线、特解、初始条件、初值问题；会判断变量可分离方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程；掌握变量可分离方程和一阶线性方程的解法，会解齐次方程和伯努利方程；1基本概念微分方程

凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程．微分方程的阶

微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程阶．微分方程的解

代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解．二

要点提示通解

如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解．特解

确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解．初始条件

用来确定任意常数的条件.初值问题

求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题．解法形如

g(

y)dy

=

f

(

x)dx

g(

y)dy

=

f

(

x)dx分离变量法2一阶微分方程的解法可分离变量的微分方程f

(

)xdxdy

=

y(2) 齐次方程

形如解法xu

=

y作变量代换dx形如

dy

+

P(

x)

y

=

Q(

x)(3)

一阶线性微分方程方程称为齐次的．方程称为非齐次的.当Q(x)”0,当Q(x)”0,齐次方程的通解为y

=Ce

.

（分离变量法）-

P

(

x

)dx解法非齐次微分方程的通解为y

=

e-

P

(

x

)dx

[

Q(

x)e

P

(

x

)dxdx

+

C

]（常数变易法）(5) 伯努利(Bernoulli)方程dx形如

dy

+

P(

x)

y

=

Q(

x)

yn

(n

„

0,1)当n

=0,1时，方程为线性微分方程.当n

„0,1时，方程为非线性微分方程.解法需经过变量代换化为线性微分方程．令z

=y1-n

,y1-n

=

z=e-(1-n)P(x)dx(Q(x)(1-n)e(1-n)P(x)dxdx+c).三问题与思考(2)y¢+

sin

x

+

y

=

sin

x

-

y2

2是可分离变量方程.问题1. 判断正误：(1)(y¢)2

=x

-y

是二阶微分方程.正确错sina

+

sin

b

=

2sina

+

b

cosa

-

b2

22

2sina

-

sin

b

=

2

cos

a

+

b

sin

a

-

bcosa

+

cos

b

=

2

cos

a

+

b

cos

a

-

b2

2cosa

-

cos

b

=

-2

sin

a

+

b

sin

a

-

b2

2C.3cos

x(3)x

(1

+

ln

y

-

ln

x

)dx

-

ydy

=

0y

=

-

2

cos2

x

+是齐次方程.(4)y¢-y

tan

x

=sin

2

x的通解为正确正确问题1. 判断正误：(1)tan

x

dy

-

y

=

5四

典型题目例1 求解下列一阶微分方程：dx

y-(2)(1

+

e

x

)xdy

+(

x

-

y)dx

=

0y¢=

(4

x

+

y

+

1)2cos

ydx

+

(

x

-

2

cos

y)

sin

ydy

=

0y¢=

(

y2

+

x3

)

/

2

xy(1)

tan

x

dy

-

y

=

5dx解

方法1看作一阶线性微分方程利用通解公式，得y

=

5

cot

x变形y¢-cot

xy

=ecot

xdx

5cot

x

e-cot

xdxdx

+C

=

sin

x

(

5

cot

x

csc

xdx

+

C

)=

sin

x

(-csc

x

+

C

)=

C

sin

x

-

5方法2看作可分离变量方程分离变量：

dy=

cot

xdxy

+

5两边积分，得ln

y

+

5

=

ln

sin

x

+

ln

C即y

=C

sin

x

-5注 解题前要注意观察分析，选择最简方法-

y(2)

(1

+

e

x

)xdy

+(

x

-

y)dx

=

0解原方程化为y-

y

dy= -

1

1

+

ex

dx

xx令

u

=

y

,y

=

ux,

y

=

u

+

xu

.代入方程得(

)xdudx-u1

+

e+

u

=

u

-

1dx

1

+

eu=

-

u

dux

u

+

e即积分得

x

(u

+

eu

)=

Cyx将u

=

y代回，得所求通解y

+xe

x=

C令u

=4

x

+y

+1,则dy

=du

-4dx

dxduu2

+

4即2=dx

解得arctan

u

=2

x

+C回代，得4

x

+y

+1

=2

tan

(2

x

+C

)或y

=2

tan

(2

x

+C

)-4

x

-1(3)

y¢=

(4x

+

y

+1)2利用线性变换u

=4

x

+y

+1,可将方程变为可分离变量方程(4)

cos

ydx

+

(

x

-

2

cos

y)

sin

ydy

=

0dy变形

dx

+

tan

y x

=

2

sin

y关于x的一阶线性微分方程x

=

e-

tan

ydy

2sin

yetan

ydydy

+

C

即

x

=

-2

cos

y

ln

cos

y

+

C

cos

y(5)

y¢=

(

y2

+

x3

)

/

2xy1x22x

2y-1变形

y¢-

y

=令

z

=

y2

,则原方程变为xz¢-

1

z

=

x2由通解公式得

x2z