管理运筹学基础PPT完整全套教学课件

《管理运筹学基础》教学标准0绪论0.1运筹学简史0.2运筹学的性质与特点0.3运筹学的主要内容0.4运筹学的方法论0.5运筹学的发展趋势0.6运筹学与管理运筹学0.7管理运筹学的应用0.1运筹学简史（1）经典故事

田忌赛马

丁渭建皇宫

二战反潜炸弹深度

船只编队紧急撤离0.1运筹学简史（2）学科发展历史苏联：康托洛维奇1939年《生产组织与管理中的数学方法》1960年《最佳资源利用的经济计算》中国：钱学森、许国志、华罗庚1956年，运用学1957年，运筹学

0.2运筹学的性质与特点运筹学：使用数学工具，通过定量分析、系统优化和有关理论进行科学决策的学科。0.2运筹学的性质与特点特点：（1）引进数学研究方法（2）系统性（3）注重实际应用（4）跨学科性（5）理论和应用相互促进发展0.3运筹学的主要内容（1）规划论（2）网络分析（3）排队论（4）对策论（5）决策论（6）存储论（7）可靠性理论（8）模型论（9）投入产出分析0.4运筹学的方法论提出问题建立模型求解模型解的检验解的控制解的实施0.5运筹学的发展趋势（1）理论研究系统化发展（2）向新的研究领域发展（3）分散融入其他学科（4）按学科分支发展（5）建模分析（6）计算机应用0.6运筹学与管理运筹学管理运筹学：以运筹学为基础，对经济系统量化分析，求解最优方案，进行科学决策。学习路径：定性分析

定量分析整理信息建立模型0.7管理运筹学的应用（1）市场营销（2）生产计划（3）库存管理（4）运输问题（5）财政与会计（6）人力资源管理（7）设备维修（8）工程最优化设计（9）计算器和讯息系统（10）城市管理

作业

1、下列著作中，有哪些内容体现了运筹学的思想？（1）《孙子兵法》（2）《陶朱公经商十八法》2、列举生活中符合运筹学思想的现象。线性规划及单纯形法LinearProgramming第一章Chapter1线性规划

(LinearProgramming)LP的数学模型图解法单纯形法单纯形法的进一步讨论－人工变量法LP模型的应用本章主要内容：1.规划问题生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，这就是规划问题。线性规划通常解决下列两类问题：（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标（2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多、利润最大.）1.1

LP的数学模型例1.1如图所示，如何截取x使铁皮所围成的容积最大？xa例1.2某厂生产两种产品，下表给出了单位产品所需资源及单位产品利润问：应如何安排生产计划，才能使总利润最大？解：1.决策变量：设产品I、II的产量分别为x1、x22.目标函数：设总利润为z，则有：

maxz=2x1+x23.约束条件：

5x2≤156x1+2x2≤24x1+x2≤5

x1，x2≥0例1.3已知资料如下表所示，问如何安排生产才能使利润最大？或如何考虑利润大，产品好销。

设备产品AB

C

D利润（元）

Ⅰ21402

Ⅱ22043

有效台时1281612解：1.决策变量：设产品I、II的产量分别为x1、x22.目标函数：设总利润为z，则有：maxz=2x1+3x23.约束条件：

x1≥0,x2≥0

2x1+2x2≤12x1+2x2≤84x1≤164x2≤12例1.4

某厂生产三种药物，这些药物可以从四种不同的原料中提取。下表给出了单位原料可提取的药物量解：要求：生产A种药物至少160单位；B种药物恰好200单位，C种药物不超过180单位，且使原料总成本最小。1.决策变量：设四种原料的使用量分别为：x1、x2、x3

、x42.目标函数：设总成本为zmin

z=5x1+6x2+7x3+8x43.约束条件：

x1+2x2+x3+x4≥1602x1+4x3+2x4

＝2003x1

＋x2+x3+2x4

≤180

x1、x2

、x3

、x4≥0

例1.5

某航运局现有船只种类、数量以及计划期内各条航线的货运量、货运成本如下表所示：航线号船队类型编队形式货运成本（千元／队）货运量（千吨）拖轮A型驳船B型驳船1112—362521—4362023224724041—42720船只种类船只数拖轮30A型驳船34B型驳船52航线号合同货运量12002400问：应如何编队，才能既完成合同任务，又使总货运成本为最小？

解：设：xj为第j号类型船队的队数（j=1，2，3，4），

z为总货运成本则：

minz=36x1+36x2+72x3+27x4

x1+x2+2x3+x4≤302x1+2x3≤344x2+4x3+4x4≤5225x1+20x2

＝20040x3+20x4＝400xj≥0（j=1,2,3,4）2.线性规划的数学模型由三个要素构成决策变量Decisionvariables目标函数Objectivefunction约束条件Constraints其特征是：（1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最大值或最小值；（2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式。

怎样辨别一个模型是线性规划模型？

3.建模条件(1)

优化条件：问题所要达到的目标能用线型函数描述，且能够用极值（max或min）来表示；(2)

限定条件：达到目标受到一定的限制，且这些限制能够用决策变量的线性等式或线性不等式表示；(3)

选择条件：有多种可选择的方案供决策者选择，以便找出最优方案。4.建模步骤(1)

确定决策变量：即需要我们作出决策或选择的量。一般情况下，题目问什么就设什么为决策变量；(2)

找出所有限定条件：即决策变量受到的所有的约束；(3)

写出目标函数：即问题所要达到的目标，并明确是max还是min。目标函数：约束条件：5.线性规划数学模型的一般形式简写为：向量形式：其中：矩阵形式：其中：6.线性规划问题的标准形式(1)特点：a)目标函数求最大值（有时求最小值）b)约束条件都为等式方程，且右端常数项bi都大于或等于零c)决策变量xj为非负。（2）如何化标准形式

目标函数的转换

如果是求极小值即，则可将目标函数乘以(-1)，可化为求极大值问题。也就是：令，可得到上式。即

若存在取值无约束的变量，可令其中：

变量的变换

约束方程的转换：由不等式转换为等式。称为松弛变量称为剩余变量

常量bi＜0

的变换:约束方程两边乘以（－1）例1.6将下列线性规划问题化为标准形式用替换，且解:（１）因为x3无符号要求，即x3取正值也可取负值，标准型中要求变量非负，所以(2)第一个约束条件是“≤”号，在“≤”左端加入松驰变量x4，x4≥0,化为等式；(3)第二个约束条件是“≥”号，在“≥”左端减去剩余变量x5，x5≥0；(4)第3个约束方程右端常数项为-5，方程两边同乘以(-1),将右端常数项化为正数；(5)目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z′=-z,得到maxz′=-z，即当z达到最小值时z′达到最大值，反之亦然;标准形式如下：

例1.7将下列线性规划问题化为标准形式为无约束（无非负限制）

解:用替换,且将第3个约束方程两边乘以（－1）将极小值问题反号，变为求极大值标准形式如下：引入变量'

例1.8将线性规划问题化为标准型解：

例1.9将线性规划问题化为标准型解：Minf=-3x1

+5x2+8x3

-7x4s.t.2x1

-3x2+5x3+6x4

≤284x1

+2x2+3x3-9x4

≥396x2+2x3+3x4≤-58

x1,x3,x4

≥0；x2无约束

Maxz=3x1–5x2’+5x2”–8x3+7x4s.t.2x1–3x2’+3x2”+5x3+6x4+x5=284x1+2x2’-2x2”+3x3-9x4-x6=39-6x2’+6x2”-2x3-3x4-x7

=58

x1,x2’,x2”,x3,x4,x5,x6,x7

≥0

7.线性规划问题的解线性规划问题求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。

可行解：满足约束条件②、③的解为可行解。所有可行解的集合为可行域。

最优解：使目标函数达到最大值的可行解。

基：设A为约束条件②的m×n阶系数矩阵(m<n)，其秩为m，B是矩阵A中m阶满秩子矩阵（∣B∣≠0），称B是规划问题的一个基。设：称B中每个列向量Pj(j=12…

…m)

为基向量。与基向量Pj

对应的变量xj

为基变量。除基变量以外的变量为非基变量。

基解：某一确定的基B，令非基变量等于零，由约束条件方程②解出基变量，称这组解为基解。在基解中变量取非0值的个数不大于方程数m，基解的总数不超过

基可行解：满足变量非负约束条件的基本解，简称基可行解。可行基：对应于基可行解的基称为可行基。非可行解可行解基解基可行解例1.10

求线性规划问题的所有基矩阵。解:约束方程的系数矩阵为2×5矩阵r(A)=2，2阶子矩阵有10个，其中基矩阵只有9个，即线性规划问题的求解方法一般有两种方法图解法单纯形法两个变量、直角坐标三个变量、立体坐标适用于任意变量、但必需将一般形式变成标准形式下面我们分析一下简单的情况——

只有两个决策变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线性规划基本原理和几何意义等优点。1.2图解法

解题步骤4将最优解代入目标函数，求出最优值。1在直角平面坐标系中画出所有的约束等式，并找出所有约束条件的公共部分，称为可行域，可行域中的点称为可行解。2标出目标函数值增加或者减小的方向。3若求最大（小）值，则令目标函数等值线沿（逆）目标函数值增加的方向平行移动，找与可行域最后相交的点，该点就是最优解。maxZ=2X1+X2

X1+1.9X2≥3.8X1-1.9X2≤3.8s.t.X1+1.9X2≤10.2X1-1.9X2≥-3.8X1，X2≥0例1.11用图解法求解线性规划问题x1x2oX1-1.9X2=3.8(≤)X1+1.9X2=3.8(≥)X1-1.9X2=-3.8(≥)X1+1.9X2=10.2(≤)4=2X1+X2

20=2X1+X2

17.2=2X1+X2

11=2X1+X2

Lo：0=2X1+X2

（7.6，2）DmaxZminZ此点是唯一最优解，且最优目标函数值

maxZ=17.2可行域maxZ=2X1+X2maxZ=3X1+5.7X2x1x2oX1-1.9X2=3.8(≤)X1+1.9X2=3.8(≥)X1-1.9X2=-3.8(≥)X1+1.9X2=10.2(≤)（7.6，2）DL0：0=3X1+5.7X2

maxZ（3.8，4）34.2=3X1+5.7X2

蓝色线段上的所有点都是最优解这种情形为有无穷多最优解，但是最优目标函数值maxZ=34.2是唯一的。可行域minZ=5X1+4X2x1x2oX1-1.9X2=3.8(≤)X1+1.9X2=3.8(≥)X1+1.9X2=10.2(≤)DL0：0=5X1+4X2

maxZminZ8=5X1+4X2

43=5X1+4X2

（0，2）可行域此点是唯一最优解246x1x2246无界解(无最优解)maxZ=x1+2x2例1.6x1+x2=4(≥)x1+3x2=6(≥)3x1+x2=6(≥)maxZminZx1x2O10203040102030405050无可行解(即无最优解)maxZ=3x1+4x2例1.7

由图解法得到的几种情况

根据以上例题，进一步分析讨论可知线性规划的可行域和最优解有以下几种可能的情况：

1.可行域为封闭的有界区域

(a)有唯一的最优解；(b)有无穷多个最优解；

2.可行域为封闭的无界区域

(c)有唯一的最优解；(d)有无穷多个最优解；

(e)目标函数无界(即虽有可行解，但在可行域中，目标函数可以无限增大或无限减少)，因而没有有限最优解。

3.可行域为空集

(f)没有可行解，原问题无最优解

由图解法得到的启示(1)线性规划问题解的情况：唯一最优解；无穷多最优解；无界解；无可行解(3)最优解一定是在凸集的某个顶点(2)线性规划问题的可行域是凸集（凸多边形）(4)解题思路是，先找出凸集的任一顶点，计算其目标函数值，再与周围顶点的目标函数值比较，如不是最大，继续比较，直到找出最大为止。

学习要点：

1.通过图解法了解线性规划有几种解的形式（唯一最优解；无穷多最优解；无界解；无可行解）

2.作图的关键有三点：

(1)可行解区域要画正确

(2)目标函数增加的方向不能画错

(3)目标函数的直线怎样平行移动

连接几何形体中任意两点的线段仍完全在该几何形体之中。有限个凸集的交集仍然是凸集。凸集：如果集合C中任意两个点X1、X2，其连线上的所有点也都是集合C中的点，称C为凸集。凸集凸集不是凸集顶点

顶点：如果凸集C中不存在任何两个不同的点X1，X2，使X成为这两个点连线上的一个点定理1：若线性规划问题存在可行解，则该问题的可行域是凸集。定理2：线性规划问题的基可行解X对应可行域(凸集)的顶点。定理3：若问题存在最优解，一定存在一个基可行解是最优解。（或在某个顶点取得）单纯形法的思路找出一个初始可行解是否最优转移到另一个基本可行解（找出更大的目标函数值）最优解是否循环核心是：变量迭代结束1.3单纯形法单纯形表

例1.12用单纯形法求下列线性规划的最优解解：1）将问题化为标准型，加入松驰变量x3、x4则标准型为:2）求出线性规划的初始基可行解，列出初始单纯形表。cj3400θicB基bx1x2x3x40x34021100x43013013400检验数

3）进行最优性检验如果表中所有检验数，则表中的基可行解就是问题的最优解，计算停止。否则继续下一步。4）从一个基可行解转换到另一个目标值更大的基可行解，列出新的单纯形表确定换入基的变量。选择，对应的变量xj作为换入变量，当有一个以上检验数大于0时，一般选择最大的一个检验数，即：，其对应的xk作为换入变量。确定换出变量。根据下式计算并选择θ

，选最小的θ对应基变量作为换出变量。 用换入变量xk替换基变量中的换出变量，得到一个新的基。对应新的基可以找出一个新的基可行解，并相应地可以画出一个新的单纯形表。5）重复3）、4）步直到计算结束为止。 cj3400θicB基变量bx1x2x3x40x34021100x430130134000x34x23x14x2换入变量bi/ai2，ai2>04010换出变量将3化为15/311801/301/3101－1/3303005/30－4/3103/5－1/51801－1/52/5400－1－1例1.13

用单纯形法求解解：将数学模型化为标准形式：不难看出x4、x5可作为初始基变量，列单纯形表计算。cj12100θicB基变量bx1x2x3x4x50x4152-32100x5201/31501121000x42x220－x221/3150120753017131/30－90－22560x111017/31/31250128/9-1/92/335/300-98/9-1/9-7/3变成标准型例1.14用单纯形法求解约束方程的系数矩阵为基变量为非基变量I为单位矩阵且线性独立44

学习要点：

1.线性规划解的概念以及3个基本定理

2.熟练掌握线性规划问题的标准化

3.熟练掌握单纯形法的解题思路及求解步骤 前面讨论了在标准型中系数矩阵有单位矩阵，很容易确定一组基可行解。在实际问题中有些模型并不含有单位矩阵，为了得到一组基向量和初基可行解，在约束条件的等式左端加一组虚拟变量，得到一组基变量。这种人为加的变量称为人工变量，构成的可行基称为人工基，用大M法或两阶段法求解，这种用人工变量作桥梁的求解方法称为人工变量法。1.4人工变量法例1.15用大M法解下列线性规划解：首先将数学模型化为标准形式系数矩阵中不存在单位矩阵，无法建立初始单纯形表。故人为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型：其中：M是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值，可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值；再用前面介绍的单纯形法求解该模型，计算结果见下表。cj32-100-M-MCBXBbx1x2x3x4x5x6X7θi-Mx64-431-101040x5101-1201005-Mx712-21000113-2M2+M-1+2M↑-M-Mx63-650-1013/50x58-3300108/3-1x312-21000——5-6M5M↑0-M002x23/5－6/510－1/50——0x531/53/5003/5131/3-1x311/5－2/501－2/50——5↑00002x213010123x131/310015/3-1x319/300102/3000-5-25/3→→→

解的判别：1）唯一最优解判别：最优表中所有非基变量的检验数非零,则线性规划具有唯一最优解。2）多重最优解判别：最优表中存在非基变量的检验数为零,则线则性规划具有多重最优解（或无穷多最优解）。3）无界解判别：某个σk>0且aik≤０（i=1，2,…,m）则线性规划具有无界解。4）无可行解的判断：当用大M单纯形法计算得到最优解并且存在XR>0时，则表明原线性规划无可行解。5）退化解的判别：存在某个基变量为零的基本可行解。单纯形法小结:建立模型个数取值右端项等式或不等式极大或极小新加变量系数两个三个以上xj≥0xj无约束xj≤0

bi

≥0bi<0≤=≥maxZminZxs

xR求解图解法单纯形法单纯形法不处理令xj=

xj′

-xj″

xj′

≥0xj″

≥0令

xj’

=-xj不处理约束条件两端同乘以-1加松弛变量xs加入人工变量xR减去xs加入xR不处理令z′=-ZminZ=－maxz′0-M作业课后习题P27《习题1》：第4题（单纯形法）第7(3)题（大M法）第18题（仅建模）对偶理论LinearProgramming第二章Chapter2对偶理论

(DualityTheory)线性规划的对偶模型对偶性质对偶问题的经济解释－影子价格对偶单纯形法灵敏度分析本章主要内容：

设某工厂生产两种产品甲和乙，生产中需4种设备按A，B，C，D顺序加工，每件产品加工所需的机时数、每件产品的利润值及每种设备的可利用机时数列于下表：表1产品数据表

设备产品ABCD产品利润（元／件）

甲

21402乙

22043设备可利用机时数（时）

1281612问：充分利用设备机时，工厂应生产甲和乙型产品各多少件才能获得最大利润？1.对偶问题的现实来源2.1

LP的对偶模型解：设甲、乙型产品各生产x1及x2件，则数学模型为：反过来问：若厂长决定不生产甲和乙型产品，决定出租机器用于接受外加工，只收加工费，那么４种机器的机时如何定价才是最佳决策？在市场竞争的时代，厂长的最佳决策显然应符合两条：（1）不吃亏原则。即机时定价所赚利润不能低于加工甲、乙型产品所获利润。由此原则，便构成了新规划的不等式约束条件。（2）竞争性原则。即在上述不吃亏原则下，尽量降低机时总收费，以便争取更多用户。设A、B、C、D设备的机时价分别为y1、y2、y3、y4，则新的线性规划数学模型为：把同种问题的两种提法所获得的数学模型用表2表示，将会发现一个有趣的现象。表2原问题与对偶问题对比表A（y1）

B（y2）C（y3）

D（y4）

甲（x1）

21402乙（x2）

220431281612

minωmaxz

2.原问题与对偶问题的对应关系原问题（对偶问题）对偶问题（原问题）（1）对称形式

特点：原问题目标函数求极大值时，所有约束条件为≤号，变量非负;对偶问题目标函数求极小值时，所有约束条件为≥号，变量非负.已知P，写出D例2.1写出线性规划问题的对偶问题解：首先将原问题变形为对称形式(2)非对称型对偶问题

若给出的线性规划不是对称形式，可以先化成对称形式再写对偶问题。也可直接按教材表2.1中的对应关系写出非对称形式的对偶问题。原问题（或对偶问题）对偶问题（或原问题）约束条件右端项目标函数变量的系数目标函数变量的系数约束条件右端项目标函数max目标函数min约束条件m个m个变量≤≥0≥≤0=无约束变量n个n个约束条件≥0≥≤0≤无约束=例2.2写出下列线性规划问题的对偶问题.解：原问题的对偶问题为例2.3分别求解下列2个互为对偶关系的线性规划问题分别用单纯形法求解上述2个规划问题，得到最终单纯形表如下表：XBb原问题的变量原问题的松弛变量x1x2x3x4x5x315/20015/4-15/2x17/21001/4-1/2x23/2010-1/43/2000－1/4－1/2XBb对偶问题的变量对偶问题的剩余变量y1y2y3y4y5y21/4-4/510-1/41/4y31/215/2011/2-3/215/2007/23/2原问题最优表对偶问题最优表原问题与其对偶问题的变量与解的对应关系： 在单纯形表中，原问题的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问题的变量。2.2对偶问题的基本性质性质1对称性定理：对偶问题的对偶是原问题minW=Ybs.t.ATYT≥CTY≥0maxZ=CXTs.t.AXT≤bX≥0性质2

弱对偶原理(弱对偶性)：设和分别是问题(P)和(D)的可行解，则必有推论1:原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数值的下届；反之，对偶问题任意可行解的目标函数值是其原问题目标函数值的上界。推论2:

在一对对偶问题（P）和（D）中，若其中一个问题可行但目标函数无界，则另一个问题无可行解；反之不成立。这也是对偶问题的无界性。推论3：在一对对偶问题（P）和（D）中，若一个可行（如P），而另一个不可行（如D），则该可行的问题目标函数值无界。性质3

最优性定理：如果是原问题的可行解，是其对偶问题的可行解，并且:则是原问题的最优解，是其对偶问题的最优解。性质4强对偶性：若原问题及其对偶问题均具有可行解，则两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等。

还可推出另一结论：若（LP）与（DP）都有可行解，则两者都有最优解，若一个问题无最优解，则另一问题也无最优解。·性质5

互补松弛性定理：设X*和Y*分别是P问题和D问题的可行解，则它们分别是最优解的充要条件是：

其中：Xs、Ys为松弛变量性质5的应用： 该性质给出了已知一个问题最优解求另一个问题最优解的方法，即已知Y＊求X＊或已知X＊求Y＊互补松弛条件由于变量都非负，要使求和式等于零，则必定每一分量为零，因而有下列关系：若Y＊≠0，则Xs必为0；若X＊≠0，则Ys必为0利用上述关系，建立对偶问题（或原问题）的约束线性方程组，方程组的解即为最优解。例2.4

已知线性规划的最优解是X＊=(6,2,0)T,求其对偶问题的最优解Y＊。解：写出原问题的对偶问题，即标准化设对偶问题最优解为Y＊＝(y1，y2),由互补松弛性定理可知，X＊和Y＊满足：即：因为X1≠0，X2≠0，所以对偶问题的第一、二个约束的松弛变量等于零，即y3＝0，y4＝0，带入方程中：解此线性方程组得y1=1,y2=1,从而对偶问题的最优解为：Y＊=(1,1)，最优值w=26。例2.5已知线性规划的对偶问题的最优解为Y＊=(0,-2)，求原问题的最优解。解:对偶问题是标准化设对偶问题最优解为X＊＝(x1，x2，x3)T,由互补松弛性定理可知，X＊和Y＊满足：将Y＊带入由方程可知，y3＝y5＝0，y4＝1。∵y2=-2≠0∴x5＝0又∵y4=1≠0∴x2＝0将x2，x5分别带入原问题约束方程中，得：解方程组得：x1=-5,x3=-1,所以原问题的最优解为X＊=(-5,0,-1)，最优值z=-12原问题与对偶问题解的对应关系小结对应关系原问题最优解无界解无可行解对偶问题最优解(Y,Y)(N,N)————无界解————(Y,Y)无可行解——(Y,Y)无法判断1.影子价格的数学分析：定义：在一对P和D中，若P的某个约束条件的右端项常数bi（第i种资源的拥有量）增加一个单位时，所引起目标函数最优值z*的改变量称为第i种资源的影子价格，其值等于D问题中对偶变量yi*。由对偶问题得基本性质可得：2.3对偶问题的经济影响-影子价格2.影子价格的经济意义1）影子价格是一种边际价格 在其它条件不变的情况下，单位资源数量的变化所引起的目标函数最优值的变化。即对偶变量yi就是第i种资源的影子价格。即：

2）影子价格是一种机会成本 影子价格是在资源最优利用条件下对单位资源的估价，这种估价不是资源实际的市场价格。因此，从另一个角度说，它是一种机会成本。若第i种资源的单位市场价格为mi

，则有当yi*>mi

时，企业愿意购进这种资源，单位纯利为yi*－mi

，则有利可图；如果yi*<mi

，则企业有偿转让这种资源，可获单位纯利mi－yi

*

，否则，企业无利可图，甚至亏损。结论：若yi*>mi则购进资源i，可获单位纯利yi*－mi

若yi*<mi则转让资源i，可获单位纯利mi－yi3）影子价格在资源利用中的应用根据对偶理论的互补松弛性定理:Y*Xs=0,YsX*=0表明生产过程中如果某种资源bi未得到充分利用时，该种资源的影子价格为0；若当资源资源的影子价格不为0时，表明该种资源在生产中已耗费完。4）影子价格对单纯形表计算的解释单纯形表中的检验数其中cj表示第j种产品的价格;表示生产该种产品所消耗的各项资源的影子价格的总和,即产品的隐含成本。当产值大于隐含成本时，即，表明生产该项产品有利，可在计划中安排；否则，用这些资源生产别的产品更有利，不在生产中安排该产品。

对偶单纯形法是求解线性规划的另一个基本方法。它是根据对偶原理和单纯形法原理而设计出来的，因此称为对偶单纯形法。不要简单理解为是求解对偶问题的单纯形法。对偶单纯形法原理对偶单纯形法基本思路：

找出一个对偶问题的可行基，保持对偶问题为可行解的条件下，判断XB是否可行（XB为非负），若否，通过变换基解，直到找到原问题基可行解（即XB为非负），这时原问题与对偶问题同时达到可行解，由定理4可得最优解。2.4对偶单纯形法找出一个DP的可行基LP是否可行（XB≥0）保持DP为可行解情况下转移到LP的另一个基本解最优解是否循环结束例2.9用对偶单纯形法求解：解:（1）将模型转化为求最大化问题，约束方程化为等式求出一组基本解，因为对偶问题可行，即全部检验数≤0（求max问题）。cj-9-12-15000bcBxBx1x2x3x4x5x60x4-2-2-1100-100x5-2-3-1010-120x6-1-1-5001-14(-9/-1.-12/-1.

-15/-5)λj-9-12-150000cj-9-12-15000bcBxBx1x2x3x4x5x60x4-9/5-9/5010-1/5-36/50x5-9/5-14/5001-1/5-46/5-15x31/51/5100-1/514/5(-30/-9,-45/-14,-15/-1)-6-9000-342cj-9-12-15000bcBxBx1x2x3x4x5x60x4-9/14001-9/14-1/14-9/7-12x29/14100-5/141/1423/7(-3/-9,-45/-9,-33/-1)-15x31/140101/14-3/1415/7-3/14000-45/14-33/14cj-9-12-15000cBxBx1x2x3x4x5x6b-9x1100-14/911/92-12x20101-102-15x30011/90-2/92000-1/3-3-7/3原问题的最优解为：X*=（2,2,2,0,0,0），Z*=72其对偶问题的最优解为：Y*=（1/3,3,7/3），W*=72

对偶单纯形法应注意的问题：

用对偶单纯形法求解线性规划是一种求解方法，而不是去求对偶问题的最优解

初始表中一定要满足对偶问题可行，也就是说检验数满足最优判别准则

最小比值中的绝对值是使得比值非负，在极小化问题σj≥0，分母aij<0这时必须取绝对值。在极大化问题中，σ

j≤0，分母aij<0，总满足非负，这时绝对值符号不起作用，可以去掉。如在本例中将目标函数写成这里σj≤0在求θk时就可以不带绝对值符号。

对偶单纯形法与普通单纯形法的换基顺序不一样，普通单纯形法是先确定进基变量后确定出基变量，对偶单纯形法是先确定出基变量后确定进基变量；

普通单纯形法的最小比值是其目的是保证下一个原问题的基本解可行，对偶单纯形法的最小比值是其目的是保证下一个对偶问题的基本解可行

对偶单纯形法在确定出基变量时，若不遵循规则，任选一个小于零的bi对应的基变量出基，不影响计算结果，只是迭代次数可能不一样。线性规划问题的标准形式令：2.5灵敏度分析一、价值系数cj的变化分析例1：某企业利用三种资源生产两种产品的最优计划问题归结为下列线性规划问题：（1）确定x2的系数c2的变化范围，使原最优解保持最优；（2）若c2=6，求新的最优计划。cj54000CBXBbx1x2x3x4x50x3250012-55x1351001-14x2

10010-12σj000-1-3最优表如下：σ4=c2－5≤0σ5=5－2c2≤05/2≤c2≤5cj5c2

000CBXBbx1x2x3x4x50x3250012-55x1351001-1c2

x2

10010-12σj000c2-55-2c2最优解X*=（35，10，25，0，0）保持不变。（1）（2）Cj56000CBXBbx1x2x3x4x50x325001[2]-55x1351001-16x2

10010-12σj

0001-70x425/2001/21-5/25x145/210-1/203/26x2

45/2011/20-1/2σj00-1/20-9/2用对偶单纯形法是求解得。x1*=45/2，x2*=45/2，x4*=25/2，x3*=x5*=0，z*=405/2二、右端常数bi的变化分析XB=B－1b例2：对于上例中的线性规划作下列分析：（1）b3在什么范围内变化，原最优基不变？（2）若b3=55，求出新的最优解。cj54000CBXBbx1x2x3x4x50x3250012-55x1351001-14x2

10010-12000-1-3最优基：B=I=（P3，P1，P2）B－1=最优解：X*=（35，10，25，0，0）（1）XB=B－1b===≥0B－1解得40≤b3≤50，即当b3∈[40，50]时，最优基B不变z*=5×（80－b3）+4×（－80+2b3）

=80+3b3=（2）当b3=55时

=x2

x1x50-11/5-3/500σj0-1/52/51020403/5-1/5013051-2/5-1/50050-32-1[-5]x50-1000σj

-101030x2

4100125x152100-25x30x4x3x2x1bXBCB0045Cj最优解：X*=（30，20，0，0，5）三、增加一个变量的分析例3：（续例1）设企业研制了一种新产品，对三种资源的消耗系数列向量以P6表示P6=。问它的价值系数c6符合什么条件才必须安排它的生产？设c6=3，新的最优生产计划是什么？σ6=c6－CBB－1P6=c6－（0，5，4）=c6－5/2=B－1P6==Cj540003CBXBbx1x2x3x4x5x60x3250012-5[1]5x1351001-11/26x2

10010-120σj

000-1-31/23x6250012-515x145/210-1/203/204x2

10010-120σj00-1/2-2-1/20四、增加新的约束条件的分析例4:假设在例1中，还要考虑一个新的资源约束：

4x1+2x2≤150标准化cj540000CBXBbx1x2x3x4x5x60x3250012-505x1351001-104x2

10010-1200x6150420001000-1-30Cj540000CBXBbx1x2x3x4x5x60x3250012-505x1351001-104x210010-1200x6

150420001σj

000-1-300x3250012-505x1351001-104x210010-1200x6

-10000[-2]01σj000-3-300x3150010-515x1301000-11/24x21501002-1/20x4

500010-1/2σj0000-3-1/21.cj和bi同时变化的情况五、其它变化情况的分析例5:在例1中，假定c2由4上升为6，b3增加到55，试问最优解将会发生什么变化？B－1=B－

==代替最优表的b列，并把c2改为6cj56000CBXBbx1x2x3x4x50x3-250012-55x1251001-16x2

30010-12σj0001-7原问题与对偶问题均非可行解，表中第一方程是:x3+2x4－5x5=－25，两边乘以（-1），得－x3－2x4+5x5=25，再引入人工变量x6：－x3－2x4+5x5+x6=25以x6为基变量，增添第6列，应用大M法继续求解。Cj56000-MCBXBbx1x2x3x4x5x6-Mx62500-1-2[5]15x1251001-106x2

30010-120σj

00-M-2M+15M-700x5500-1/5-2/5105x13010-1/53/501/56x2

20012/5-1/50-2/5σj00-7/5-9/50-M+7/5新的最优计划产量为x1*=30，x2*=20，z*=270。－x3－2x4+5x5+x6=252.技术系数aij的变化例6:在例1中，第一种产品的消耗系数改变为

,价值系数不变，求新的最优解。B－1=Cj54000CBXBbx1x2x3x4x50x3252012-55x1351001-14x2

10-1/210-12σj

000-1-3Cj54000CBXBbx1x2x3x4x50x3252012-55x135[1]001-14x2

10-1/210-12σj

000-1-30x3-450010[-3]5x1351001-14x2

27.5010-1/23/2σj000-3-10x51500-1/3015x15010-1/3104x25011/2-1/20σj

00-1/3-30

学习要点：

1.线性规划解的概念以及3个基本定理

2.熟练掌握单纯形法的解题思路及求解步骤

3.熟练掌握对偶问题的转换

4.掌握对偶问题的5个性质

5.熟练掌握对偶单纯形法的解题思路及求解步骤作业P51《习题2》第7、9（1）、12题运输问题第三章Chapter3运输问题

(TransportationProblem)运输规划问题的数学模型表上作业法运输问题的应用本章主要内容：3.1运输规划问题的数学模型例3.1某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1,B2,B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最小？B1B2B3产量A1646200A2655300销量150150200解：产销平衡问题：总产量=总销量＝500

设xij

为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列运输量表：B1B2B3产量A1x11x12x13200A2x21x22x23300销量150150200MinC=6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23s.t.x11+x12+x13=200

x21+x22+x23=300

x11+x21=150

x12+x22=150

x13+x23=200xij≥0(i=1、2；j=1、2、3）运输问题的一般形式：产销平衡A1、A2、…、Am

表示某物资的m个产地；B1、B2、…、Bn

表示某物质的n个销地；ai

表示产地Ai的产量；bj

表示销地Bj

的销量；cij表示把物资从产地Ai运往销地Bj的单位运价。设xij为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列一般运输量问题的模型：定理:

设有m个产地n个销地且产销平衡的运输问题，则基变量数为m+n-1。变化：

1）有时目标函数求最大。如求利润最大或营业额最大等；

2）当某些运输线路上的能力有限制时，在模型中直接加入约束条件（等式或不等式约束)；

3）产销不平衡时，可加入假想的产地（销大于产时）或销地（产大于销时）。表上作业法是一种求解运输问题的特殊方法，其实质是单纯形法。步骤描述方法第一步求初始基行可行解（初始调运方案）最小元素法、元素差额法、第二步求检验数并判断是否得到最优解当非基变量的检验数σij全都非负时得到最优解，若存在检验数σij<0，说明还没有达到最优，转第三步。闭回路法和位势法第三步调整运量，即换基，选一个变量出基，对原运量进行调整得到新的基可行解，转入第二步3.2表上作业法例3.2某运输资料如下表所示：单位销地运价产地产量311310719284741059销量3656问：应如何调运可使总运输费用最小？解：第1步求初始方案方法1：最小元素法

基本思想是就近供应，即从运价最小的地方开始供应（调运），然后次小，直到最后供完为止。B1B2B3B4产量A17A2

4A39销量3656311310192741058341633方法2：Vogel法1）从运价表中分别计算出各行和各列的最小运费和次最小运费的差额，并填入该表的最右列和最下行。B1B2B3B4产量行差额A177A2

41A391销量3656列差额25133113101927410582）再从差值最大的行或列中找出最小运价确定供需关系和供需数量。当产地或销地中有一方数量供应完毕或得到满足时，划去运价表中对应的行或列。重复1)和2)，直到找出初始解为至。B1B2B3B4产量行差额A177A2

41A3

91销量3656列差额25133113101927410585单位销地运价产地产量行差额311310719284741059销量3656列差额71135215××单位销地运价产地产量行差额311310719284741059销量3656列差额7135275×××3×单位销地运价产地产量行差额311310719284741059销量3656列差额113515×××3×631××2该方案的总运费:(1×3)＋(4×6)＋(3×5)＋(2×10)＋(1×8)＋(3×5)＝85元第2步最优解的判别（检验数的求法）

求出一组基可行解后，判断是否为最优解，仍然是用检验数来判断，记xij的检验数为λij由第一章知，求最小值的运输问题的最优判别准则是：所有非基变量的检验数都非负，则运输方案最优求检验数的方法有两种：闭回路法位势法（▲）闭回路的概念为一个闭回路，集合中的变量称为回路的顶点，相邻两个变量的连线为闭回路的边。如下表例下表中闭回路的变量集合是{x11,x12,x42,x43,x23,x25,x35,x31}共有8个顶点，这8个顶点间用水平或垂直线段连接起来，组成一条封闭的回路。B1B2B3B4B5A1X11X12A2X23X25A3X31X35A4X42X43

一条回路中的顶点数一定是偶数，回路遇到顶点必须转90度与另一顶点连接，表3－3中的变量x32及x33不是闭回路的顶点，只是连线的交点。闭回路B1B2B3A1X11X12A2A3X32X33A4X41X43例如变量组不能构成一条闭回路，但A中包含有闭回路

变量组变量数是奇数，显然不是闭回路，也不含有闭回路；用位势法对初始方案进行最优性检验：1）由ij=Cij-（Ui+Vj）计算位势Ui

，Vj

，因对基变量而言有ij=0，即Cij-（Ui+Vj）=0，令U1=02）再由ij=Cij-（Ui+Vj）计算非基变量的检验数ijB1B2B3B4UiA1A2A3Vj3113101927410584363130-1-531029（1）（2）（1）（-1）（10）（12）当存在非基变量的检验数kl≥0，说明现行方案为最优方案，否则目标成本还可以进一步减小。当存在非基变量的检验数kl<0且kl=min{ij}时，令Xkl进基。从表中知可选X24进基。第3步确定换入基的变量第4步确定换出基的变量以进基变量xik为起点的闭回路中，标有负号的最小运量作为调整量θ，θ对应的基变量为出基变量，并打上“×”以示换出作为非基变量。B1B2B3B4UiA1A2A3Vj311310192741058436313(＋)(－)(＋)(－)调整步骤为：在进基变量的闭回路中标有正号的变量加上调整量θ，标有负号的变量减去调整量θ，其余变量不变，得到一组新的基可行解。然后求所有非基变量的检验数重新检验。125当所有非基变量的检验数均非负时，则当前调运方案即为最优方案，如表此时最小总运费：Z=(1×3)＋(4×6)＋(3×5)＋(2×10)＋(1×8)＋(3×5)＝85元B1B2B3B4UiA1A2A3Vj3113101927410585363120-2-531039（0）（2）（2）（1）（12）（9）表上作业法的计算步骤：分析实际问题列出产销平衡表及单位运价表确定初始调运方案（最小元素法或Vogel法）求检验数（位势法）所有检验数≥0找出绝对值最大的负检验数，用闭合回路调整，得到新的调运方案得到最优方案，算出总运价表上作业法计算中的问题：（1）若运输问题的某一基可行解有多个非基变量的检验数为负，在继续迭代时，取它们中任一变量为换入变量均可使目标函数值得到改善，但通常取σij<0中最小者对应的变量为换入变量。（2）无穷多最优解 产销平衡的运输问题必定存最优解。如果非基变量的σij＝0，则该问题有无穷多最优解。⑵退化解：

※表格中一般要有(m+n-1)个数字格。但有时在分配运量时则需要同时划去一行和一列，这时需要补一个0，以保证有(m+n-1)个数字格作为基变量。一般可在划去的行和列的任意空格处加一个0即可。

※利用进基变量的闭回路对解进行调整时，标有负号的最小运量（超过2个最小值）作为调整量θ，选择任意一个最小运量对应的基变量作为出基变量，并打上“×”以示作为非基变量。

销地产地B1B2B3B4产量A116A210A322销量81412141241148310295116(0)(2)(9)(2)(1)(12)81242814如下例中σ11检验数是0，经过调整，可得到另一个最优解。

销地产地B1B2B3B4产量A17A24A39销量36562011443137782106×3×416×06×××在x12、x22、x33、x34中任选一个变量作为基变量，例如选x34例：用最小元素法求初始可行解

求极大值问题目标函数求利润最大或营业额最大等问题。3.3运输问题的应用求解方法： 将极大化问题转化为极小化问题。设极大化问题的运价表为C，用一个较大的数M（M≥max{cij}）去减每一个cij得到矩阵C′，其中C′=（M－cij）≥0,将C′作为极小化问题的运价表，用表上用业法求出最优解。例3.3下列矩阵C是Ai（I=1，2，3）到Bj的吨公里利润,运输部门如何安排运输方案使总利润最大.

销地产地B1B2B3产量A12589A2910710A365412销量8149

销地产地B1B2B3产量A12589A2910710A365412销量8149