圆锥曲线知识点总结

二、圆锥曲线常见题型及解题思路方法。1.求圆锥曲线的标准方程先判断焦点的位置，设出相应圆锥曲线的方程，再根据已知条件和圆锥曲线的性质列方程（组）（如求椭圆方程，就是根据条件和性质列出关于Q、b、C的方程组），求出待定参数。在解方程（组）求Q，b时，要注意考题中经常出现的几种方程的形式，对于复杂的方程（组），常常是观察一一猜想一一验证，得出q，b的值。求椭圆（或双曲线）的离心率或离心率的取值范围求离心率就是根据条件和圆锥曲线的性质，寻找Q、b、Cc之间的等量关系，求出—的值。在椭圆中，有:在双曲线中，有:a在双曲线中，有:、、、b.，一一、

能求出_，也就求得了离a心率。在双曲线中，还要注意渐近线与离心率的关系。求离心率的取值范围就是根据条件和圆锥曲线的性质寻找Q、b、C之间的不等关系。关于不等式的来源，通常是依据已知不等式，同时还要注意圆锥曲线中几个常用的不等关系:①圆锥曲线上点的坐标的范围；②在椭圆中，有ZF1BF2>ZF1PF2，（其中B为短轴的端点，P为椭圆上任一点）a-c<PF<a+c（）=1,2）；③在双曲线中，有|PF|>|AF|i（其中F为焦点P为双曲线上任一点，A是同一支双曲线的顶点）。解这类问题时，要尽可能地结合图形，依据定义，多从几何角度思考问题。如果涉及直线与圆锥曲线位置关系问题，还要联立方程，用坐标法找关系。在圆锥曲线中判断点与圆的位置关系除常规方法外（比较点到圆心的距离与半径的大小）通常用向量法。例如，已知直线与圆锥曲线交于A、B两点，要判断点P与以AB为直径的圆的位置关系，只需确定/人郁的大小，通过计算1\A-PB，确定其符号。证明定点，定值，定直线问题可先取参数的特殊值（或图形的特殊位置），对定点，定值，定直线进行探求，然后证明当参数变化时，结论成立。证明直线过定点，有两种思路：①求出满足条件的动直线方程（只含一个参数［再根据方程求出定点；②先探求定点，再设出要证明的定点的坐标（如设动直线与x轴交于点（m,0）），把坐标表示出来，表示式中，往往会含有x+x,xx1 2 12（或V+V, ），用所求得的结果代入，就可得出坐标为定1 2 12值。证明定点、定值、定直线问题，还可利用圆锥曲线中定点、定值、定直线的性质，将问题进行转化。直线与圆锥曲线的位置关系问题这类问题是平面解析几何中的重点问题，常涉及直线和圆锥曲线交点的判断，弦长，面积，对称，共线等问题处理问题的基本方法有两种：(1)联立方程法：解题步骤是：先设交点TOC\o"1-5"\h\zA(x,y),B(x,y)，再设直线方程，联立直线方程与圆锥曲线1 1 2 2方程构成方程组，消元，求x+x,xx，(或y+y,yy)，1 2 12 1 2 12令A>0(如果直线经过曲线内的点，可以省去这一步)，再根据问题的要求或求距离，或求弦长，或求点的坐标，或求面积等。(2)点差法：设交点为A(x,y),B(x,y)及AB的中点1 1 2 2M(x0,y0)，将A、B两点的坐标代人圆锥曲线方程，作差变形，可得:*y2=f(x,y)，即上=f(x,y)，再由题设条件，求中点x—x 00AB001 2坐标M(x0,y0)，根据问题的条件和要求列式。值得注意的是，用联立方程法，设直线方程时，为简化运算，可采用这种的策略，若直线过x轴上的定点P(a,0)，则直线方程可设为ky=x—a(此直线不包括x轴)，联立方程，消去x，得到关于y的方程，求出y+y,yy备用。有时，还要1 2 12根据y+y,yy，求出x+x,xx。若直线过y轴上的定点1 2 12 1 2 12Q(0,b)，则直线方程可设为y=kx+b(此直线不包括y轴)，联立方程，消去y。对于直线y=kx+m，无特殊交代时，通常注意分两种情况：①直线的斜率存在，消元后，注意A>0；②直线的斜率不存在，即直线为x=t(teR)。在涉及到弦的中点及斜率时，求参数(如直线的斜率k)的取值范围，通常采用点差法。最值问题这类问题是从动态角度研究解析几何中的有关问题，往往涉及求弦长（或距离）、面积、坐标（或截距X向量的模（或数量积）、参数等的最大（小）值。其解法是：设变量，建立目标函数。处理的方法有：（1） 利用基本不等式；（2） 考察函数的单调性；（3） 利用导数法；（4） 利用判别式法。在目标函数的变形上有一定的技巧，关于弦长，面积表达式的变形，常用到移入根号，分离常数，换元等方法，把目标函数转化为双勾函数的形式，或用基本不等式，或利用函数的单调性求最值。求坐标的最值时，可构造一个一元二次方程，利用A>0。求参数的取值范围问题这类问题主要是根据条件建立关于参变量的不等式，或者把所求参数转化关于某个变量的函数，通过解不等式或求函数的值域来求参数的取值范围。具体解法如下：（1） 结合定义利用图形中几何量之间的大小关系。（2） 不等式（组）求解法：利用题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围。不等式的来源常有以下途径：①已知不等式（含基本不等式）；②直线与圆锥曲线相交时，有△〉0；③点与圆锥曲线（以椭圆最为多见）的位置关系；④圆锥曲线（特别是椭圆）上点的坐标的范围。（3） 函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数，用一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。（4） 利用基本不等式：基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思。（5） 结合参数方程，利用三角函数的有界性。圆、椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于：①通过参数。简明地表示曲线上点的坐标；②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题。（6） 构造一个二次方程，利用判别式论0。求动点的轨迹方程求动点的轨迹方程是解析几何中两类基本问题之一，即根据动点所满足的条件，求动点的坐标之间的关系式。最基本的方法是直接法，步骤是：建系设点7条件立式—坐标代换—化简方程T查漏除杂。此外还有定义法（主要是利用圆锥曲线的定义），相关点法，参数法，几何法等。在涉及直线、圆的轨迹问题时，常从几何角度去探求动点满足的关系，选用几何法；如果题目没有直接给出动点所满足的条件，而是给出了与动点相关的点所满足的条件，先设动点坐标为（尤，y），再把相关点的坐标用动点的坐标来表示，根据相关点的条件列式，此即为相关点法；参数法是求轨迹方程常用的方法，合理引入参数（通常是相关点的坐标）列式，消去参数得到关于x,y的方程，要求所列方程的数目要比引入的参数多一个，才能消去所有参数。锥曲线问题中的条件及要求与韦达定理之间的联系举例:解决圆锥曲线问题的基本方法是坐标法，这就需要把问题的条件转化为坐标之间的关系，而把问题的条件和要求用坐标表示，特别是用x+x,xx或y+y,yy来表示，往往又是1 2 12 1 2 12打通问题思路的关键。以下是问题中一些条件的坐标表示：设斜率为k的直线l与圆锥曲线C交于两点A(x,y),B(x,，y联立方程，可求出x+x,xx，以及1 1 2 2 1 2 12（1）弦AB的中点：x+xy+y、弦AB的中点坐标可表示为M（_^^,12）4（2）弦AB的垂直平分线过定点P（a,b）或PA=|PB|:弦AB的垂直平分线方程为：y-y1+y22弦ab的垂直平分线过定点P（a,b），则有:

(3)点M3°,七)与以ab为直径的圆的位置关系,A A判断MA-MB的符号：MAMA-MB〉0nZAMB为锐角n点在圆外n点在圆内。-%)+("_)(MA-n点在圆内。-%)+("_)(MA-MB<0nZAMB为钝角TOC\o"1-5"\h\z其中M4-MB=(x-x)(x-x)+(y-y)(y-y)1 0 2 0 1 0 2 0—x(x+x)+x2+yy—y(y+y)+y20 1 2 0 1 2 0 1 2 0(4)垂直问题：如 MA±MB , 贝|J 有MA-MB=(x一x)(x一x)+(y一y)(y一y)=01 0 2 0 1 0 2 0(5)A、B两点关于直线y=mx+n对称：k-m=-1<y+yx+x,(其中k为直线AB的斜率)_j_W=m■ 2+n〔2 2关于圆锥曲线上两点关于某条直线对称的问题，一般涉及到弦的斜率和中点，所以常采用“点差法”，用点差法处理问题时，对于不同的圆锥曲线，有不同的表示方法：当圆锥曲线分别为椭x2y2一、x2y2圆一+^--1、双曲线—--^--1、抛物线y2=2px时，k的表示式有以下三种形式:TOC\o"1-5"\h\zy—y b2 x+x y—y b2 x+x①k= 2=-一. 2(椭圆)；②k= 2=一. 2.x一x Q2 y+y x一x Q2 y+y1 2 1 2 1 2 1 2(双曲线)；③k=直一y2=2p(抛物线)x一xy+y1 2 1 2

(6)弦长问题:当直线AB:y=kx+b时：AB=』1+k2-x-x=J1+k2•J(x+x)2-4xx当直线AB:x=ky+a时TOC\o"1-5"\h\zAB=J1+k2•y-y=J1+k•/(y+y)2-4yy1 2 V1 2 12三角形的面积：_ 1①S=-AB•d； (d是点到直线AB的距离)2②S=1|MN•x-x|或S=1\MN•y-y,

2' 1 2' 2' 1 2其中M、N为x轴上两定点，|mnI为定长。三点共线问题：遇三点共线问题，常利用斜率相等列方程。设 M(x°,y0)，若 A,M,B共线，则jjy—yy—y八TOC\o"1-5"\h\zk—k= o— o=0MAMBx-xx-x10 2 0利用直线方程将y，y换成x，x(或将x,x换成1 2 1 2 1 2y『y2)，通分后令分子为0，可使所得方程中仅含有x+x,xx(或仅含有1 2 12y+y,yy)。1 2 12(9