置信区间详细定义及计算

关于置信区间详细定义及计算第1页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三2一、置信区间的概念这种形式的估计称为区间估计.前面，我们讨论了参数点估计.它是用样本算得的一个值去估计未知参数.但是点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大.范围通常用区间的形式给出的。较高的可靠程度相信它包含真参数值.也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比

这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的，称为置信概率，置信度或置信水平.

习惯上把置信水平记作

，这里是一个很小的正数，称为显著水平。第2页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三3定义7.6若由总体X的样本X1,X2,…Xn确定的则称为随机区间。两个统计量随机区间与常数区间不同，其长度与在数轴上的位置与样本有关。当一旦获得样本值那么，都是常数。为常数区间。第3页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三4定义7.7若满足设是总体X的一个未知参数，的置信区间.（双侧置信区间）.的置信水平（置信度）为分别称为置信下限和置信上限为显著水平.为置信度，则称区间是若存在随机区间对于给定的第4页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三5置信水平的大小是根据实际需要选定的.根据一个实际样本，，使一个尽可能小的区间由于正态随机变量广泛存在，指标服从正态分布，特别是很多产品的我们重点研究一个正态总体情形由给定的置信水平，我们求出即取置信水平或0.95，0.9等.例如，通常可取显著水平等.数学期望和方差的区间估计。第5页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三6设为总体的样本，分别是样本均值和样本方差。对于任意给定的α，我们的任务是通过样本寻找一它以1－α的概率包含总体X的数学期望μ。个区间，第6页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三7一、数学期望的置信区间设则随机变量1、已知σ2时，μ的置信区间令第7页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三8令这就是说随机区间它以1－α的概率包含总体X的数学期望μ。由定义可知，此区间即为μ的置信区间。第8页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三9这就是说随机区间置信区间也可简记为它以1－α的概率包含总体X的数学期望μ。由定义可知，此区间即为μ的置信区间。其置信度为1－α。置信下限置信上限第9页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三10若取查表得若由一个样本值算得样本均值的观察值则得到一个区间我们称其为置信度为0.95的μ的置信区间。其含义是：若反复抽样多次，每个样本值（n=16)按公式即确定一个区间。第10页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三11确定一个区间。在这么多的区间内包含μ的占0.95,不包含μ的占0.05。本题中属于那些包含μ的区间的可信程度为0.95.或“该区间包含μ”这一事实的可信程度注：μ的置信水平1－α的置信区间不唯一。为0.95.第11页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三12由中心极限定理知，当

n充分大时，无论X服从什么分布，都近似有μ的置信区间是总体的前提下提出的。均可看作EX的置信区间。第12页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三13例1

设总体X~N(μ,0.09)，有一组样本值：

12.6，13.4，12.8，13.2，求参数μ的置信度为0.95的置信区间.解μ的置信区间为

代入样本值算得,[12.706，13.294].得到μ的一个区间估计为注：该区间不一定包含μ.有1－α=0.95，σ0=0.3，n=4,第13页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三14又如，上例中同样给定可以取标准正态分布上α分位点－z0.04

和z0.01,则又有则μ的置信度为0.95的置信区间为与上一个置信区间比较，同样是其区间长度不一样，上例比此例短。第14页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三15置信区间短表示估计的精度高，第一个区间为优（单峰对称的）。可见，像N(0,1)分布那样概率密度的图形是单峰且对称的情况。当n固定时以的区间长度为最短，我们一般选择它。若以L为区间长度，则可见L随

n

的增大而减少（α给定时），有时我们嫌置信度0.95偏低或偏高，也可采用0.99或0.9.对于1－α不同的值，可以得到不同的置信区间。第15页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三16估计在区间内.这里有两个要求:只依赖于样本的界限(构造统计量)可见，对参数作区间估计，就是要设法找出两个一旦有了样本，就把2.估计的精度要尽可能的高.如要求区间长度尽可能短，或能体现该要求的其它准则.1.要求很大的可能被包含在区间内，就是说，概率即要求估计尽量可靠.要尽可能大.可靠度与精度是一对矛盾，条件下尽可能提高精度.一般是在保证可靠度的第16页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三17例2已知某种油漆的干燥时间X（单位:小时）服从正态分布其中μ未知,现在抽取25个样品做试验，得数据后计算得取求μ的置信区间。解所求为第17页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三18例3中随机地抽查了9人，其高度分别为：已知幼儿身高现从5～6岁的幼儿115,120,131,115,109,115,115,105,110cm;第18页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三192、未知σ2时，μ的置信区间当总体X的方差未知时，容易想到用样本方差Ѕ2代替σ2。已知则对给定的α，令查t分布表，可得的值。则μ的置信度为1－α的置信区间为第19页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三20例4

40名旅游者。解本题是在σ2未知的条件下求正态总体参数μ的置信区间。选取统计量为由公式知μ的置信区间为查表则所求μ的置信区间为为了调查某地旅游者的消费额为X，随机访问了得平均消费额为元，样本方差设求该地旅游者的平均消费额μ的置信区间。若σ2＝25μ的置信区间为即第20页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三21例5

用某仪器间接测量温度，重复测量5次得求温度真值的置信度为0.99的置信区间。解设μ为温度的真值，X表示测量值，通常是一个正态随机变量问题是在未知方差的条件下求μ的置信区间。由公式查表则所求μ的置信区间为第21页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三22例6解本题是在σ2未知的条件下求正态总体参数μ的置信区间。由公式知μ的置信区间为查表则所求μ的置信区间为为了估计一批钢索所能承受的平均张力（单位kg/cm2),设钢索所能承受的张力X，分别估计这批钢索所能承受的平均张力的范围与所能承受的平均张力。随机选取了9个样本作试验，即则钢索所能承受的平均张力为6650.9kg/cm2由试验所得数据得第22页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三23三、方差σ2的置信区间下面我们将根据样本找出σ2

的置信区间，这在研究生产的稳定性与精度问题是需要的。已知总体我们利用样本方差对σ2进行估计，由于不知道S2与σ2差多少？容易看出把看成随机变量，又能找到它的概率分布，则问题可以迎刃而解了。的概率分布是难以计算的，而对于给定的第23页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三24即则得到σ2随机区间以的概率包含未知方差σ2，这就是σ2的置信度为1－α的置信区间。第24页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三25例1

某自动车床加工零件，抽查16个测得长度（毫米）怎样估计该车床加工零件长度的方差。解先求σ2的估计值或查表第25页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三26所求σ2的置信度为0.95的置信区间所求标准差σ的置信度为0.95的置信区间由得得第26页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三27例2

为了估计灯泡使用时数（小时）的均值μ和解查表测试了10个灯泡得方差σ2，若已知灯泡的使用时数为X，求μ和σ2的置信区间。由公式知μ的置信区间为μ的置信区间为查表即由公式知σ2的置信区间为σ2的置信区间为第27页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三28例3

电动机由于连续工作时间（小时）过长会烧坏，解查表烧坏前连续工作的时间X，得求μ和σ2的置信区间。今随机地从某种型号的电动机中抽取9台，测试了它们在设由公式知μ的置信区间为即所求σ2的置信度为0.95的置信区间得第28页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三29寻找置信区间的方法,一般是从确定误差限入手.使得称

为与

之间的误差限.，可以找到一个正数

，只要知道的概率分布，确定误差限并不难.我们选取未知参数的某个估计量，根据置信水平由不等式可以解出：这个不等式就是我们所求的置信区间.第29页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三30单正态总体的区间估计被估参数条件统计量置信区间μ已知σ2μ未知σ2σ2未知μ第30页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三31作业P29445681012第31页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三32婴儿体重的估计例4

假定初生婴儿的体重服从正态分布，随机抽取12名婴儿，测得体重为：（单位：克）

3100,2520,3000,3000,3600,3160,

3560,3320,2880,2600,3400,2540

试以95%的置信度估计初生婴儿的平均体重以及方差.解设初生婴儿体重为X

克，则X~N(,2),(1)需估计,而未知2.第32页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三33作为统计量.

有=

，n=

，t0.025(11)=

，即的置信区间。(1)需估计,而未知2.第33页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三34 (2)需估计2,而未知，有20.025(11)=

，20.975(11)=

，第34页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三35例5

解由置信区间的概念，所求μ的0.99的置信区间为在交通工程中需要测定车速（单位km/h),由以往2、现在作了150次观测，试问平均测量值的误差在的经验知道，即测量值为X，测量值的误差在之间。1、至少作多少次观测，才能以0.99的可靠性保证平均之间的概率有多大？由题意要求用平均测量值来估计μ其误差由题意知第35页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三36至少要作86次观测，才能以0.99的可靠性保持平均测量误差在之间。即则钢索所能承受的平均张力为6650.9kg/cm2令第36页，讲稿共39页，2023年5月2日，星期三37例6

设总体