管致中信号与线性系统ban考研考点精讲

第— 绪 （第二 连续时间系统的时域分 （第三 连续信号的正交分 （第四 连续时间系统的频域分析 （第五 连续时间系统的复频域分析 （第六 连续时间系统的系统函数 （第七 离散时间系统的时域分析 （第八 离散时间系统的变换域分析 （第九 线性系统的状态变量分析 （~、教材说信号与线性系统（第四版高等教育出版 管致中主二、辅导课阶段安教材重点、难点、考点精名校考研真题及典型题的分类解课程内容的整体串讲及模拟试题分三、教材内第—章绪论第二章连续时间系统的时域分析第三章连续信号的正交分解第四章连续时间系统的频域分析第五章连续时间系统的复频域分析第六章连续时间系统的系统函数第七章离散时间系统的时域分析第八章离散时间系统的变换域分析第九章线性系统的状态变量分析１第一 绪【本章知识要点—、信信号的分信号的简单处（１）相加、相（２）延（３）尺度变二、系统系统的描系统的分（１）线性非线性系（２）时不变时变系（３）连续时间离散时间系（４）因果非因果系~、信信号的分①信②信

确定信号随机信连续信号离散信ａ能量信号：Ｅ＜!，０，Ｅ＝ｌｉｍ∫

ｆ（ｔ）２③信

－功率信号：Ｐ＜!，Ｅ→０，Ｐ＝ｌｉｍ ｆ（ｔ）２④信

→!２ａ周期信号：连续：ｆ（ｔ）＝ｆ（ｔ＋离散：ｆ（ｋ）＝ｆ（ｋ＋ｍＮ）（ｍ＝０，±１，±２，…能量信号（脉冲信号

（功率信号非周期信号：可能 功率信号（εｔ）非能量／非功率信号（ｔεｔ）２周期信号的判别及周期的确定例：１．ｆ（ｔ）＝ａｓｉｎｔ－ （依据）周期信号的傅里叶级数展开 ｆ（ｔ）＝

＋∑（ａ

Ωｔ＋ｂ

ｔ）

Ω＝２ ２ｎＴ若找出各角频率的最大公约数Ω则Ｔ＝ＴΩ若无法确定Ω则ｆ（ｔ）为非周期信号 因为ω１＝１ω２＝３的最大公约数为Ω＝故Ｔ＝Ω

＝２）２．ｆ（ｔ）＝ａｓｉｎ（５ｔ＋ｂｃｏｓ（６＋ｃｓｉｎ（） 由于

＝２

＝５７０

＝５

＝４＝７０

＝０７的最大公约数为Ω＝故Ｔ＝Ω

＝１４０（３．ｆ（ｔ）＝ａｓｉｎ（３ｔ）＋ｂｃｏｓ（ ①π≈３，该信号为周期信②π…，该信号为非周期信号能量信号与功率信号的判别 １．ｆ（ｔ）＝ｅ－εｔ），α０．２．ｆ（ｔ）＝Ａｃｏｓ（ω０ｔ２．信号的简单处 都是针对时间“ｔ”而变换①相加：ｆ（ｔ）＝ｆ１（ｔ）ｆ２（②相乘：ｆ（ｔ）＝ｆ１（ｔ）·ｆ２（③时移：ｆ（ｔ）→ｆ（ｔ－ｔ④尺度变换：ｆ（ｔ）→ｆ（ａ＞１：ｆ（ｔ）在ｔ轴压缩到ａ０＜ａ＜１：ｆ（ｔ）在ｔ轴扩展到１ａ⑤反褶（反转）：ｆ（ｔ）→ｆ（－ 已知ｆ（ｔ），求ｆ（－２ｔ－１）３右

反步骤：ｆ（ →ｆ（ｔ－ →ｆ（２ｔ－ →ｆ（－２ｔ－ 已知ｆ（３－２ｔ），求ｆ（步骤：ｆ

左３ｆ（ｔ＋

压２ｆ（２ｔ＋

反转ｆ（－２ｔ＋二、系

右 扩 反系统的描系统的分（１）线性系统和非线性系１°分解 ｒ（ｔ）＝ｒｚｉ（ｔ）＋ｒｚｓ（２°零输入线３°零状态线性判断方法：（１）先判别分解（２）再分别判别零输入响应和零状态响应是否具有线性性质 判断下列系统是否为线性系统４１．ｒ（ｔ）＝ｅ－ｔｘ（０）

∫ｓｉｎｘｅ（ｘ）∫０２．ｒ（ｔ）＝ｅ（ｔ）ｘ（０）

∫ｅ（ｘ）∫０３．ｒ（ｋ）＝（０．５）ｋｘ（０）＋ｅ（ｋ）ｅ（ｋ－ 判断下列方程所描述的系统是否为线性系１．ｄｒ（２．ｄｒ（ｄｒ（３．

＋ｒ（ｔ）＝ｅ（ｔ）＋＋［ｒ（ｔ）］２＝ｅ（ ｄｅ（＋ｔｒ（ｔ）＋５∫ｒ（τｄ ｄｔ＋ｅ（依据：在激励ｋｅ（ｔ）＋ｋｅ（ｔ）作用时，判断系统的响应是否ｋ１ｒ１（ｔ）＋ｋ２ｒ２（（２）时不变系统和时变系若ｅ（ｔ）→ｒｚｓ（则ｅ（ｔ－ｔ）→ｒｚｓ（ｔ－ｔ判断方法：先经系统再时移＝先时移再经系统 判断下列两个系统是否为时不变系统１．ｒ（ｔ）＝ｃｏｓ［ｅ（ｔ） ２．ｒ（ｔ）＝ｅ（ｔ）· 判断下列方程所描述的系统是否为时不变系１．ｄｒ（ｄ２ｒ（

＋３ｒ（ｔ）＝ｅ（ｄ２． ＋ｔｄｔｒ（ｔ）＋ｒ（ｔ）＝２ｅ（３．ｒ（ｋ）＋４ｒ（ｋ－１）＋４ｒ（ｋ－２）＝ｅ（ｋ－４．ｒ（ｋ）＋４ｒ（ｋ－１）＋ｒ（ｋ－１）ｒ（ｋ－２）＝ｅ（ｋ－结论：若系统方程为常系数微分（差分）方程，则系统是时不变的（３）连续时间系统和离散时间系（４）因果系统和非因果系判断方法：响应不可能出现于激励之 ｒ（ｔ）＝２ｅ（ｔ－３）所描述的系统为因果系ｒ（ｔ）＝２ｅ（ｔ）所描述的系统为非因果系 一具有两个初始条件ｘ１（０）、ｘ２（０）的线性时不变系统，其激励为ｅ（ｔ），输出响应为ｒ（ｔ）。已知：（１）当ｅ（ｔ）＝０，ｘ（０）＝５，ｘ（０）＝２时ｒ（ｔ）＝ｅ－ｔ（７ｔ＋５），ｔ＞５ （２）当ｅ（ｔ）＝０，ｘ（０）＝１，ｘ（０）＝４时ｒ（ｔ）＝ｅ－ｔ（５ｔ＋１），ｔ＞ （３）当ｅ（ｔ（３）当ｅ（ｔ），ｘ（０）＝１，ｘ（０）＝１时ｒ（ｔ）＝ｅ－ｔ（ｔ＋１），ｔ＞ ０，ｔ＜３，ｔ＞求：ｅ（ｔ） 时的零状态响应０，ｔ＜６第二 连续时间系统的时域分本章知识要—、线性时不变系统的响

卷积二、奇异函数εｔ），δｔ），δｔ）三、冲激响应ｈ（ｔ）四、卷积积~、线性时不变系统的响１．古典ｄｎ ｄｎ－１ ｄｍ－１ ｄｔｎ＋ａｎ－１ｄｔｎ－１＋…＋ａ１ｄｔ＋ａ０ｒ＝ｂｍｄｔｍ＋ｂｍ－１ｄｔｍ－１＋…＋ｂ１ｄｔ＋ｂ０ｅ（２－ｎ阶线性常系数微分方ｒ（ｔ）＝齐次解特＝自由响应强迫响＝零输入响应零状态响（１）零输入响应ｒｚｉ（①转移算子Ｈ（ ｄ＝ｐ

ｄｔｎ＝则式（２）表示 ｐｎｒ＋ａｐｎ－１ｒ＋…＋ａｐｒ＋ａｒ＝ｂｐｍｅ＋ ｐｍ－１ｅ＋… （ｐｎ＋ａｐｎ－１＋…＋ａｐ＋ａ） （ｂｐｍ＋ ｐｍ－１＋ｂｐ＋ｂ） Ｄ（故

Ｎ（ｒ（ｔ）＝Ｎ（ｐ）ｅ（ｔ）Ｄ（

Ｎ（ １０定义：转移算子Ｈ（ｐ） ＝ １０②ｒｚｉ（ｔ）的求

Ｄ（ ｐｎ＋

ｐｎ－１＋…＋ａｐ＋Ｄ（ｐ）ｒ（ｔ）＝ 齐次方７ Ｄ（ｐ）＝０特征根λ，λ，…，λ（设均为单根）故ｒ（ｔ）＝Ｃｅ＋Ｃｅ２＋…＋Ｃ 其中，，…Ｃｎ由ｎ个初始条件确定说明：λ（ｉ＝１，…，ｎ）称为响应中的自然频例１已知系统的转移算子Ｈ（ｐ） ｐ＋ ，未加激励的初始条件ｒ（０）＝１、ｒ′（０）＝２，ｐ２＋３ｐ＋该系统的零输入响应，并指出自然频率（２）零状态响应ｒｚｓ（Ｄ（ｐ）ｒ（ｔ）＝Ｎ（ｐ）ｅ（对于较复杂的激励ｅ（ｔ），求ｒｚｓ（ｔ）需要求解复杂的非齐次方程，计算量大，不常采用卷积ｒｚｓ（ｔ）主要用卷积积分的方法来求，该部分在后续内容中详细讲解二、奇异函数εｔ），δｔ），δ单位阶跃函数εεｔ）说明

ｔ＞不定 ｔ＝ ｔ＜应用：用εｔ）及εｔ－ｔｉ）表示信号例２：单位冲激函数δ８定义δ（ｔ）＝０，ｔ≠δ（ｔ）＝!ｔ＝∫!∫ δｔ）ｄｔ＝性质：

＝δ∫ｔ∫δτｄｔ＝ε∫!∫ δｔ）ｄｔ＝③δｔ）＝δ－④ｆ（ｔ）δｔ）＝ｆ（０）δｆ（ｔ）δｔ－ｔ０）＝ｆ（ｔ０）δｔ－ｔ０∫!∫ｆ（ｔ）δｔ）ｄｔ＝ｆ（⑤∫!∫ｆ（ｔ）δｔ－ｔ０）ｄｔ＝ｆ（ｔ０

取样⑥δａｔ）＝ａ

δ冲激偶δ性质：①δ－ｔ）＝－δ②ｆ（ｔ）δｔ）＝ｆ（０）δｔ）－ｆ′（０）δ∫!∫ δｔ）ｄｔ＝∫ｔ∫ δ（τｄ＝δ例３（１）ｙ（ｔ）＝ｔｄ［ｅ－ｔεｔ） ∫!∫（２）ｙ２（ｔ）（３）ｙ３（ｔ）

ｅ－ｔ［δｔ）＋δｔ）］∫∫ｔｔ（４＋τ）δ１－τ９∫—∫—（４）ｙ４（ｔ） （

＋τ

三、冲激响应ｈ（１．定２．求（１）一般情况 ｈ（ｎ）（ｔ）＋ａｈ（ｎ－１）（ｔ）＋…＋ａｈ′（ｔ）＋ａｈ（ｔ）＝δｔ）ｈ（０）＝ｈ′（０）＝…＝ｈ（ｎ－１）（０） 则＋ｈ（ｎ－１）（０）＝＋ ｈ（ｎ－２）（０）＝…ｈ′（０）＝ｈ（０） （２）ｈ（ｎ）（ｔ）＋ａｈ（ｎ－１）＋…＋ａｈ′（ｔ）＋ａｈ（ｔ）＝ｂδ）（ｔ）＋ｂδｍ（ｔ）＋…＋ ｂ０δ第一步：先求ｈ（ｎ）（ｔ）＋ａｈ（ｎ－１）（ｔ）＋…＋ａｈ′（ｔ）＋ａｈ（ｔ）＝δｔ）得到ｈ（ ｎ－１ １ ０ 第二步：利用线性时不变系统的齐次性，可加性和微分性质ｍ ｍ－１ １ ０ ｈ（ｔ）＝ｂｈ（）（ｔ）＋ ｈ（ｍ（ｔ）＋…＋ｂｈ′（ｍ ｍ－１ １ ０ 已知系统的微分方程为ｒ″（ｔ）＋３ｒ′（ｔ）＋２ｒ（ｔ）＝ｅ（ｔ）＋４ｅ″（ｔ）－５ｅ（ｔ）求冲激响应ｈ（ｔ）。 特征根λ＝－１＝－２ 设δｔ）单独作用的冲激响应为ｈ（ｔ），则ｈ（ｔ）＝（Ｃｅ－ｔ＋Ｃｅ－２ｔ） 又ｈ（）＝１ｈ（）＝故Ｃ１＋Ｃ２＝∴Ｃ１Ｃ１＋Ｃ２＝–Ｃ１－２Ｃ２＝１∴ｈ（ｔ）＝（ｅ－ｔ－ｅ－２ｔ）εｔ）系统的冲激响应为１ｈ（ｔ）＝ｈ１（ｔ）＋４ｈ″１（ｔ）－５ｈ１（＝δｔ）－３ｔ）＋（８ｅ－２ｔ－ｅ－ｔ）εｔ）＋４ｔ）＋（４ｅ－ｔ－１６ｅ－２ｔ）εｔ）－（５ｅ－ｔ－５ｅ－２ｔ）ε＝δｔ）＋δｔ）－３ｅ－２ｔεｔ）－２ｅ－ｔε练习（１）求系 ｄｒ（ｔ）＋３ｒ（ｔ）＝２ｄｅ（ｔ）的冲激响 （２）求系 ｄｔ３ｒ（ｔ）＋ｄｔ２ｒ（ｔ）＋２ｄｔｒ（ｔ）＋２ｒ（ｔ）＝ｄｔ２ｅ（ｔ）＋２ｅ（ｔ）的冲激响应阶跃响应ε（１）定义（２）求解ｔｔｔεｔ）＝∫δτｄ→εｔ）＝ｔｔｔ

ｈ（τｄ＝∫ｈ（τ 求上题中的εｔ）四、卷积积叠加积

ｅ（ｔ）

!∫ｅ（τδｔ－τ∫

!∫ｅ（τｈ（ｔ－τｄ＝ｒｚｓ（∫＝ｅ（ｔ）δ（ ｅ（ｔ）ｈ（ｔ）＝ｒｚｓ（∫!∫ ｒｚｓ（ｔ）＝ｅ（ｔ）ｈ（ｔ）卷积积分的定

ｅ（τｈ（ｔ－） 卷积积ｆ（ｔ）＝ｆ１（ｔ）ｆ２（ｔ）

!∫ｆ１（τｆ２（ｔ－τ∫卷积积分的物理意!!∫ｒ（ｔ）∫

ｅ（τｈ（ｔ－τ系统的零状态响应等于系统的激励与系统冲激响应的卷积积分卷积积分的性（１）卷积的代数运①交换律ｆ１（ｔ）ｆ２（ｔ）＝ｆ２（ｔ）ｆ１（②分配律ｆ１（ｔ）［ｆ２（ｔ）ｆ３（ｔ）］＝ｆ１（ｔ）ｆ２（ｔ）ｆ１（ｔ）ｆ３（③结合律［ｆ１（ｔ）ｆ２（ｔ）］ｆ３（ｔ）＝ｆ１（ｔ）［ｆ２（ｔ）ｆ３（ｔ）（２）函数与冲激函数的卷ｆ（ｔ）δ（ｔ）＝δｔ）ｆ（ｔ）＝ｆ（ｔ）δ（ｔ－ｔ１）＝ｆ（ｔ－ｔ１

∫δτｆ（ｔ－τｄ＝ｆ（∫ｆ（ｔ－ｔ１）δ（ｔ－ｔ２）＝ｆ（ｔ－ｔ１－ｔ２（３）卷积的微分与积①卷积的微分：若ｆ（ｔ）＝ｆ１（ｔ）ｆ２（ｔ）＝ｆ２（ｔ）ｆ１（ｄｆ（ｔ）＝ｄｆ１（ｔ）ｆ（ｔ）＝ｄｆ２（ｔ）ｆ（ｔ） ②卷积的积分若ｆ（ｔ）＝ｆ１（ｔ）ｆ２（ｔ）＝ｆ２（ｔ）ｆ１（∫∫ ∫∫ ｆ（ｘ）ｄｘ＝

ｔｔ∫ｆ１（ｘ）ｄｘ］ｆ２（ｔ）＝∫

ｆ２（ｘ）ｄｘ］ｆ１（ｆ（ｔ）ε（ｔ）＝ｆ（

∫ｔ∫δτｄ∫ｔ∫

ｆ（τ③卷积的微分与积分 ｆ１（ｔ）ｆ２（ｔ）④函数延时后的卷积若ｆ１（ｔ）ｆ２（ｔ）＝ｆ（ｔ）则ｆ１（ｔ－ｔ１）ｆ２（ｔ－ｔ２）＝ｆ（ｔ－ｔ１－ｔ２）５．卷积积分的计算

ｄｔｆ１（

－!

ｆ２（ｘ）ｄｘ＝［

ｆ１（ｘ） ｆ２（（１）用定义 ①求εｔ）ε（②求ｅ－２ｔεｔ）ｅ－３ｔεｔ）练习：求εｔ）ｅλｔεｔ）（２）图解ｆ（ｔ）＝ｆ１（ｔ）ｆ２（ｔ）步骤①ｆ１（ｔ）→ｆ１（）

!∫ｆ１（τｆ２（ｔ－τ∫反 时②ｆ２（ｔ）→ｆ２（）!

→ｆ２（－ →ｆ２（ｔ－③求

ｆ１（τｆ２（ｔ－τ ｔ＜ ｆ１（ｔ） ，ｆ２（ｔ）＝２（０ｔ３），求ｆ１（ｔ）ｆ２（ｔ） ｔ＞ ①ｔ"－ｆ１（τ·ｆ２（ｔ－τ＝∫!∫故ｆ１（ｔ）ｆ２（ｔ）②－１ｔ１ｆ（ｔ－τ＝ｔ－

ｆ１（τｆ２（ｔ－τｄ＝∫ ｔ－ ∫故ｆ１（ｔ）ｆ２（ｔ） ③１ｔ２

２ｄ＝（２–４

ｔ

∫１∫ｆ１（ｔ）ｆ２（ｔ）

ｔ－τｄ＝２④２ｔ４１ｔ

∫ ｔ－τｄ＝－ｔ２＋∫ｆ１（ｔ）ｆ２（ｔ）

ｔ

２＋⑤ ｆ１（ｔ）ｆ２（ｔ）＝波形ｔ２＋ｔ＋１ １ ｆ１（ｔ）ｆ２（ｔ）＝

１ｔ２ －４＋

＋ ２ｔ４ 其它说明：积分上下限和卷积结果区间的确ττ卷积结果区间一般规律：下 上ｆ１（ ［ ｆ２（ ［ ｆ１（ｔ）ｆ２（ ［Ａ＋ Ｂ＋ 已知ｆ１（ｔ），ｆ２（ｔ）的波形，令ｆ（ｔ）＝ｆ１（ｔ）ｆ２（ｔ），试求ｆ（３）（３）用性质 ①求εｔ－１）ε（ｔ－②已知ｅ（ｔ），ｈ（ｔ），求ｒ（ｔ）＝ｅ（ｔ）ｈ（ｔ）第三 连续信号的正交分【本章知识要点—、周期信号的分 傅里叶级二、非周期信号的分析 傅里叶变换三、周期信号的傅里叶变换四、帕塞瓦尔定~、周期信号的分析———傅里叶级三角傅里叶级

定性质ｆ（ｔ）＝

!＋∑［ａｃｏｓ（

ｔ）＋ｂｓｉｎ（

ｔ） ｎ Ａｃｏｓ（ｎΩ＝０Ａｃｏｓ（ｎΩ ｎ１ Ω＝２π：基波频ＴＴ：周ｎ：谐波频：直流分２２Ｔｔ１∫ｆ（ｔ）ｃｏｓ（ｎｄｔａ０ｔ２Ｔｔ１∫ｔ１１任意一个代表信号的函数可以用２Ｔｔ１∫ｆ（ｔ）ｃｏｓ（ｎｄｔａ０ｔ２Ｔｔ１∫ｔ１１ａｎ

２ｔ１

ｆ（ｔ）ｂｎ＝Ｔ ｆ（ｔ）ｓｉｎ（ｎｔｄｔ（ｎ＝１，２，３…１ 槡ａｎ＝Ａｎ槡ｂｎ＝－Ａｎ

Ａ ｎ＝－ａ ａｎａｎ＝ａ－ｂｎ＝－ｂ－

Ａｎ＝ｎ（幅度频谱φｎ＝φ－ｎ（相位频谱说明：只有函数ｆ（ｔ）满足Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ条件时，ｆ（ｔ）才可以分解为谐波分量 试画出ｆ（ｔ）＝１＋２ｔ－３ｃｏｓ（３－π）＋４ｃｏｓ（５＋π）的单边谱 指数傅里叶级

１

ｊｎｆ（ｔ）

∑Ａｅ·其中

φ

２ｔ１∫Ｔ∫

ｆ（ｔ）ｅ－ｔ

２ｎ ｎＡｎ＝ｎ（双边幅度谱ｎφｎ＝φ－ｎ（双边相位谱例说明：周期信号频谱的特点：离散性、谐波性、收敛性函数的偶、奇性及其与谐波含量的关（１）ｆ（ｔ）为偶函数ｆ（ｔ）＝ｆ（－ａｎ

Ｔ ｆ（ｔ）ｃｏｓ（ｎ１２ｔ１１

包含直流分量，余弦分ｂｎ＝（２）ｆ（ｔ）为奇函数ｆ（ｔ）＝－ｆ（－∫ａｎ＝０ａ０＝∫

包含正弦分ｂΩ２ｔ１ｂΩＴ ｆ（ｔ）ｓｉｎ（ｎｔ）Ｔｔ１（３）ｆ（ｔ）为奇谐函数ｆ（ｔ）＝－ｆ（ｔ＋Ｔ２ｎ为偶数：ａｎ＝ｂｎ＝

只包含奇次谐波分（４）ｆ（ｔ）为偶谐函数ｆ（ｔ）＝ｆ（ｔ＋Ｔ２ｎ为偶数：ａｎ０ｂｎ０ｎ为奇数：ａｎ＝ｂｎ＝０

只包含偶次谐波分 利用信号的奇偶性，判断下图中信号的傅里叶级数所包含的分量 已知周期信号ｆ（ｔ）前四分之一周期的波形，按以下条件绘出整个周期的信号波形：ｆ（ｔ）是的偶函数，其傅里叶级数只有偶次谐波二、非周期信号的分析———傅里叶变１．定Ｆ（ｊω

!∫ｆ（ｔ）ｅ－ｊωｔ∫∫１ ∫

ｆ（ｔ）Ｆ（ｆ（ｔ）

Ｆ（ｊωｅ频谱密度函数Ｆ（ｊω

Ｆ（

ｅ∫!∫说明：非周期信号ｆ（ｔ）傅里叶变换存在的充分条件

ｆ（

ｄｔ＜常用傅里叶变换（１）δｔ）（２）１２πδ（（３）δｔ）（４）εｔ）πδ（ω＋（５）ｅ－ε １（α＞α＋（６）ｅ－αｔε （α＞α２＋（７）ｇ（ｔ）τＳａ（ （８）ｓｇｎ（ （９）ｃｏｓｔπ［δω＋ω０）＋δω－ω０）ｉｎｔｊπ［δω＋ω０）－δω－ω０）傅里叶变换的性（１）线 ａ１ｆ１（ｔ）＋ａ２ｆ２（ｔ）ａ１Ｆ１（ｊω＋ａ２Ｆ２（０（２）延时ｆ（ｔ±ｔ）Ｆ（ｊωｅ±０ｃ（３）移频ｆ（ｔ）ｅωｔＦ［ｊ（ω－ω）ｃ应用：ｆ（ｔ）ｃｏωｔ１Ｆ［ｊ（ω＋ω）］＋Ｆ［ｊ（ω－ω）］ ｆ（ｔ）ｉｎｔｊ１Ｆ［ｊ（ω＋ω）］－Ｆ［ｊ（ω－ω）］ 求该信号的傅里叶变ｆ１（ｔ）＝２（ｔ）ｃｏｓ（（４）尺度变ｆ（ａｔ）

Ｆ（ｊωａ 求ｅ－２ｔεｔ＋１）的傅里叶变（５）奇偶Ｆ（ｊω的奇偶Ｆ（ｊω

∫ｆ（ｔ）ｅ－ｄｔ∫

∫∫ｆ（ｔ）ｃｏｓ（ωｔｄｔ－∫∫

ｆ（ｔ）ｓｉｎ（ωｔ＝Ｒ（ω＋ｊＸ（＝Ｆ（ｊωｅ Ｒ（ω＝Ｒ＝（－Ｘ（ω＝－Ｘ（－

Ｆ（ ＝Ｆ（－φω＝－φ－（６）对称性 若ｆ（ｔ）Ｆ（） 则Ｆ（ｊｔ）２πｆ（－）例１求Ｓａ（ｔ的傅里叶变换例２求１

的傅里叶变例３ ２α的傅里叶变２＋（７）时域微ｄｆ（ｔ）ｊωＦ（ｊωｄｄｎｆ（

（）ｎＦ（例 δｔ）例２求三角函数的频谱密度函（８）时域积

∫ｔｆ（τｄτπＦ（０）δω＋Ｆ（∫ｔ 若Ｆ（０）＝０

∫ｆ（τ∫!

其中Ｆ（０）＝Ｆ（ｊωω

ｆ（ｔ）＝＝ 求ｆ（ｔ）的傅里叶变（９）频域微分（－ｊｔ）ｆ（ ｄＦ（ 求ｔεｔ）的傅里叶变（１０）卷积定频域卷积定理：ｆ（ｔ）ｆ（ １Ｆ（ωＦ（ ２ 例１求下图信号的傅里叶变例２利用频域卷积定理求ｃｏｓ（ωｔ）εｔ）的傅里叶变三、周期信号的傅里叶变 ＴＦ（ｊω＝π∑Ａｎδω－ｎΩΩＴｎ周期信号的频谱函数是一个冲激序列，各个冲激位于各次谐波频率处，各冲激的强度分别等于各次谐波复振幅的π倍。 求δＴ（ｔ）的傅里叶变换 四、帕塞瓦尔定周期信号的功

Ａ １ Ａ∑Ｐ＝ｆ２（ｔ）＝（０ ∑

∑

（ｎ ２ｎ１ ｎ 周期信号的平均功率在各次谐波中分布，其功率等于直流功率与各次谐波功率之和非周期信号的能

∫!∫Ｗ

ｆ２（ｔ）ｄｔ＝

∫Ｆ（）∫ 已知ｆ（ｔ）的频谱函数为Ｆ（ｊω，求下列各值∫!∫（∫!∫

Ｆ（ｊω（

Ｆ（

２第四 连续时间系统的频域分【本章知识要点—、频率响应Ｈ（ｊω及在系统分析中的应用二、调制与解调三、无失真传输条~、频率响应Ｈ（ｊω及在系统分析中的应频率响应Ｈ（（１）定Ｅ（ｊω·Ｈ（ｊω＝Ｒ（）Ｒ（）Ｈ（ｊω

Ｅ（

＝Ｆ［ｈ（ｔ） Ｈ（ｊω

Ｈ（

ｅ（Ｈ（）～ω幅频响φω～ω相频响（２）求解方①已知系统方程ｒ″（ｔ）＋３ｒ′（ｔ）＋２ｒ（ｔ）＝２ｅ′（ｔ）＋３ｅ（②已知系统结２．零状态响 Ｒｚｓ（ｊω＝Ｅ（ｊω·Ｈ（ｊωｒ（ｔ）＝Ｆ－１［Ｒ（ｊω

τ１!ｅ（τ例１某系统的输入ｅ（ｔ）与输出ｒｚｓ（ｔ）的关系为ｒｚｓ（ｔ）（１）求系统的频率响应Ｈ（

π∫!ｔ－（２）证明ｒｚｓ（ｔ）与ｅ（ｔ）的能量相 例２已知Ｈ（ｊω

Ｈ（

ｅ（ω），激励ｅ（ｔ）＝２＋ｎ

ｃｏｓ（ｎｔ）求零状态响应ｒ（ｔ）ｎ例３求ｅ（ｔ）＝ｓｉｎ（２

的信号通过图（ａ）系统后的输出，系统中理想带通滤波器的传输特性图（ｂ）示，其相位特性φω＝０例４如图所示系统，已知ｈ（ｔ）＝ｄ［ｓｉｎ（２ｔ）］，Ｈ（ｊω＝ｅω ｄｔ ｈ（ｔ）＝εｔ），ｈ（ｔ）＝ｓｉｎ（６ｔ） （１）求复合系统的频率响应Ｈ（ｊω和冲激响应ｈ（ｔ）（２）若输入ｅ（ｔ）＝ｓｉｎ（４ｔ）＋ｃｏｓ（ｔ），求系统的零状态响应ｒ（ｔ）二、调制与解调制与解调的概①调制：由待传输的低频电信号（调制信号），去控制另一个高频振荡信号的振幅、频率或初相位等参数之一。ａ０（ｔ）＝Ａ０ｃｏｓ（ωｃｔ＋φ０幅度调制（Ｍ）：用调制信号去控制高频振荡信号的振幅，使振幅不再是常数，而是按调制信号的规律在变化，该调变振幅的过程成为～。频率调制（Ｍ）：调变的是高频振荡信号的频相位调制（Ｍ）：调变的是高频振荡信号的初相另外：脉冲调制：用调制信号去控制一个脉冲序列的脉冲幅度，脉冲宽度或脉冲位置等参数之一。说明：ａ０（ｔ）＝Ａ０ｃｏｓ（ωｃｔ＋ 载ωｃ＝ 载②解调：从已调信号中恢复或取出调制信号的过程，是调制的逆过程抑制载频调幅（①调制ａ（ｔ）＝ｅ（ｔ）ｃｏｓ（ωｃＡ（ｊω＝１Ｅ［ｊ（ω＋ω）］＋Ｅ［ｊ（ω－ω）］ 频谱图频带宽度：ＢＡ＝②解调ｃ（ｔ）＝１ｅ（２ｂ（ｔ）＝ａ（ｔ）ｃｏｓωｔ＝ｅ（ｔ）ｃｏｓ２（ωｔ）＝１［ｅ（ｔ）＋ｅ（ｔ）ｃｏｓ（２ωｔ） Ｂ（ｊω＝１Ａ［ｊ（ω＋ω）］＋１Ａ［ｊ（ω－ω） ＝１Ｅ［ｊ（ω＋２ω）］＋１Ｅ（ｊω＋１Ｅ［ｊ（ω－２ω） 说明：调制解调中的载波必须严格地同频同相，否则无法恢复原信号的频谱结构，从而发生信号失真。振幅调制（ａ（ｔ）＝［Ａ０＋ｅ（ｔ）］ｃｏｓ（ωｔ）＝Ａ０ｃｏｓ（ωｔ）＋ｅ（ｔ）ｃｏｓ（ωＡ（ｊω＝πＡ［δω＋ω）＋δω－ω）］＋１Ｅ［ｊ（ω＋ω）］＋１Ｅ［ｊ（ω－ω） 频带宽度ＢＡ＝

说明：

ｅ（

ｎ若ｅ（ｔ）＝∑Ｅｎｍｃｏｓ（Ωｔ＋φｎ１ ａ（ｔ）＝［Ａ０＋ｅ（ｔ）］ｃｏｓ（ωｎ＝［Ａ０＋∑Ｅｎｍｃｏｓ（Ωｔ＋φｎ）］ｃｏｓ（ω１ｎ＝Ａ０［１＋∑ｍｎｃｏｓ（Ωｔ＋φｎ）］ｃｏｓ（ω１Ａｍ＝Ｅｎｍ：表示调制信号中ｎ次谐波分量对载频幅度控制程度Ａｎ０称为部分调幅系数ｎ令φｎ＝ １ｎＥ（ｊω＝∑Ｅｍ［δω＋Ω）＋δω－Ω）１调幅信号的频ｎＡ（ｊω＝π［δω＋ω）＋δω－ω）］＋ ｎｍ［δω＋ ＋ω）＋δω＋ –ω）２ ２ｎ

２ ｎｍ［δω－２

＋ω）＋δω－Ω－ω） １调幅信号的功率：载频功率Ｐ＝Ａ ２!边频功率Ｐ＝∑ｎ ２ 有一调幅信号为ａ（ｔ）＝Ａ［１＋０．３ｃｏｓ（ω１ｔ）＋０．１ｃｏｓ（ω２ｔ）］ｓｉｎ（ωｃｔ），其中：ω１＝２×５×１０３ｒａｄ／ｓ、２ω＝２×３×１０３ｒａｄ／ｓ、ｃω＝２×４５×１０６ｒａｄ／ｓＡ＝１００Ｖ，试求：（１）部分调幅系数（２）此调幅信号加到１电阻上产生的平均功率、载波功率与边频功率三、无失真传输条ｒ（ｔ）＝Ｋｅ（ｔ－ｔ０无失真传输的条件１．时域：ｈ（ｔ）＝Ｋδｔ－ｔ０）频域：Ｈ（ｊω＝ｅ－０Ｈ（）＝φω＝－第五 连续时间系统的复频域分【本章知识要点—、单边拉普拉斯变换二、常用信号的Ｆ（三、拉普拉斯变换的基本性质四、拉普拉斯反变换五、线性系统的拉普拉斯变换分析法六、双边拉普拉斯变换七、信号流图八、系统模~、单边拉普拉斯变为什么引入拉普拉斯变换!１．定!Ｆ（ｓ）

∫ｆ（ｔ）ｅ－ｓｔｆ（ｔ）＝

∫∫

＋!σ－

Ｆ（ｓ）ｅｓｔｄｓ］ε或ｆ（ｔ）Ｆ（收敛区（收敛域把ｆ（ｔ）ｅ满足绝对可积的σ值的范围称为收敛区通常ｆ（ｔ）是指数阶函数且有分段连续的性单边拉普拉斯变换的收敛区为某条直线的右半边平ｌｉｍ（ｔ）ｅ＝０？，σ＞ σ０：收敛坐（１）单个脉冲信号：收敛区为全平面（２）单位阶跃信ｌｉｍεｔ）ｅ－］＝０？，σ＞（３）指数函数ｌｉｍ［ｅ·ｅ－］＝ｌｉｍｅ（α－ｔ＝０？，σ＞ 二、常用信号的Ｆ（若ｆ（ｔ）的拉普拉斯变换收敛区包括ｊ轴在内，则Ｆ（ｓ）＝Ｆ（ｊω敛区不包括ｊ轴在内，则Ｆ（ｓ）必须由积分式求得。１．δｔ）２．ｅεｔ） ｓ－

ｊωｓ；若ｆ（ｔ）的拉普拉斯变换３．εｔ） ４．ｔｎε ５．ｔｔ）

，ｔ２εｔ） ６．ｓｉｎ（ｔε ｓ２＋７．ｃｏｓ（βｔε ｓ２＋８．ｓｉｎｈ（ｔε ｓ２－９．ｃｏｓｈ（βｔεｔ） １０．δｔ）三、拉普拉斯变换的基本性１．线设ｆ１（ｔ）（ｓ）ｆ２（ｔ）（ｓ）则ａ１ｆ１（ｔ）＋ａ２ｆ２（ｔ）ａ１Ｆ１（ｓ）＋ａ２Ｆ２（ 求δｔ）＋ｅ－２ｔεｔ）的拉普拉斯变尺度变设ｆ（ｔ）Ｆ（ｓ），则ｆ（ １Ｆ（ｓ），（ａ＞ 求ｆ（ｔ）＝ｃｏｓ（２ｔ）εｔ）的拉普拉斯变时间平 设ｆ（ｔ）Ｆ（ｓ），则ｆ（ｔ－ｔ）εｔ－ｔ）Ｆ（ｓ）ｅ－ｓｔ０， 求下图中ｆ（ｔ）的拉普拉斯变频率平０设ｆ（ｔ）Ｆ（ｓ），则ｆ（ｔ）ｅｓ０ｔＦ（ｓ－ｓ０例１已知ｔ

，则ｅ－ｔｔε例２已知ｃｏｓ（２ｔ）ε（ ｓ，则ｅ－２ｔｃｏｓ（２ｔ）εｓ２＋时域微设ｆ（ｔ）Ｆ（ｄｄｆ（ ｄｆ（ （ ｓＦ（ｓ）－ｓｆ（０－）－ｓｆ′（０）－…－ （０ ｄｔｓＦ（ｓ）－ｆ（０－２ｄ２ｆ（２ ｓＦ（ｓ）－ｓｆ（０）－ｆ′（０ｎｄｎｆ（ｎ若ｆ（ｔ）为因果信号，即ｔ＜０时ｆ（ｔ）＝０， ｓＦ（ 求ｆ（ｔ）＝ｄｔ２［ｓｉｎ（ｔ）εｔ）］的拉普拉斯变时域积设ｆ（ｔ）Ｆ（ｓ），

ｔ∫ｆ（τ∫０

∫ Ｆ（∫

０∫ｆ（τ∫ｆ（τ

＋ 求ｆ（ｔ）的拉普拉斯变复频域微设ｆ（ｔ）Ｆ（ｓ），则（－ｔ）ｆ（ ｄＦ（ 求ｔ２ｅ－ｔεｔ）的拉普拉斯变初值定（１）设ｆ（ｔ）及ｆ′（ｔ）存在，并有拉普拉斯变换，ｆ（＋）＝ｍｔ）＝ｉｓＦ（ｓ）（Ｆ（ｓ）：真分式ｔ０ （２）若ｆ（ｔ）在ｔ＝０处有冲激及其导数， ｆ（ ａ＋ａｓ＋…＋ａｓｐ＋Ｆ（ｓ）（Ｆ（ｓ）： 那么ｆ（）＝ｌｉｍｓＦｐ（终值定设ｆ（ｔ）及ｆ′（ｔ）存在，并有拉普拉斯变换，且Ｆ（ｓ）的所有极点都位于ｓ左半平面内（包括在原点处的单极点）则ｆ（!）＝ｌｉｆ（ｔ）＝ｓＦ（ （ｓ＋１）

原函数的初值ｆ（）和终值ｆ（卷积定时域卷积：ｆ１（ｔ）ｆ２（ｔ）Ｆ１（ｓ）·Ｆ２（复频域卷积：ｆ（ｔ）ｆ（ １Ｆ（ｓ）Ｆ（ ２ 应用：ｒｚｓ（ｔ）＝ｅ（ｔ）ｈ（ｔ）Ｒｚｓ（ｓ）＝Ｅ（ｓ）Ｈ（ｓ）四、拉普拉斯反变ｆ（ｔ）＝

＋!σ－

Ｆ（ｓ）ｅｓｔｄｓ］ε∫１．部分分式展开法（Ｆ（ｓ）为有理函数∫２．留数法（围线积分法部分分式展开Ｎ（ｓ） ｂｓｍ＋ｂｓｍ＋…＋ｂｓ＋ｂＦ（ｓ）＝ ＝ｍ １０Ｄ（ ｓｎ＋１０

ｓｎ－１＋…＋ａｓ＋ ｎ：Ｆ（ｓ）表示为多项式与真分式之 （长除法ｍ＜ｎ：Ｆ（ｓ）为真分式，直接用该方法３ｓ３＋２ｓ２－４ｓ＋ 长除法Ｆ（ｓ） ｓ２＋２ｓ＋多项式：其原函数为冲激函数及其各阶导数之和（１）ｍ＜ｎ，Ｄ（ｓ）＝０的根无重根情 Ｆ（ｓ） ＋… ··· ＝ｓ－ ｓ－ ｓ－ ｉ１ｓ－Ｋｉ＝（ｓ－ｓｉ）Ｆ（ｓ）ｓｎｆ（ｔ）＝∑Ｋｉｅｓｉｔεｉ例１求Ｆ（ｓ）例２求Ｆ（ｓ）例３求Ｆ（ｓ）

ｓ＋４ 的原函数ｆ（ｔ）ｓ３＋３ｓ２＋２ｓ 的原函数ｆ（ｔ）ｓ２＋２ｓ＋５ 的原函数ｆ（（ｓ＋１）（ｓ２＋ 求Ｆ（ｓ） ｓ＋ 的原函数ｆ（ｓ２＋１０ｓ＋（２）ｍ＜ｎ，Ｄ（ｓ）＝０的根有重根的情况设Ｄ（ｓ）＝０有ｐ阶重根＝Ｆ（ｓ）＝Ｎ（＝

Ｎ（

Ｋ１（ｐ＋

＋…

＋…

Ｄ（ （ｓ－ｓ） （ｓ－ｓ） （ｓ－ｓ） （ｓ－ｓ） （ｓ－ｓ ｄｐ－ 其中Ｋ１ｋ＝（ｐ－ｋ）！ｄｓｐｋ［（ｓ－ｓ）Ｆ（ｓ）１（ｓ－ｓ）１特例：ｐ＝

ｔｋ－１ｅｓ１ｔε（ｋ－１）

ｓＫ＝（ｓ－ｓ）２Ｆ（ Ｋ＝ｄ［（ｓ－ｓ）２Ｆ（ｓ） ｓ ｓ 求Ｆ（ｓ） 的原函数ｆ（ｓ（ｓ－１）２．留数法（围线积分法 真分∫ｆ（ｔ）＝１∫

＋!σ－

Ｆ（ｓ）ｅｓｔ ｓ＝Ｒ→!？

Ｆ（ｓ）→ｆ（ｔ）＝

Ｆ（ｓ）ｅｓｔｄｓ

ｎ∑ｓ２ ｉ∫左边的积分：平面内沿一不通过被积函数极点的封闭曲线进行等式右边：围线中被积函数各极点上留数之和∫ｔ＞０ ｆ（ｔ）

＋!σ－

ｉＦ（ｓ）ｅｓｔｄｓ＝∑ｉｉｔ＜０ ｆ（ｔ）＝ｎ∴ｆ（ｔ）＝∑ｓεｉ（１）Ｆ（ｓ）为有理函数，在ｓ＝ｓｋ为一阶极点时，其留数为 Ｒｅｓ＝［（ｓ－ｓ）Ｆ（ｓ）ｅｓｔ

ｓ（２）Ｆ（ｓ）为有理函数，在ｓ＝ｓｋ为ｐ阶极点时，其留数为 ｄｐ Ｒｅｓｋ＝（ｐ－１）！［ｄｓｐ－１（ｓ－ｓｋ （１）Ｆ（ｓ） ２４（ｓ＋ｓ（ｓ＋１２）（ｓ＋

Ｆ（ｓ）ｅ

ｓ４ｓ２＋１７ｓ＋（２）Ｆ（ｓ）＝（ｓ＋２）２（ｓ＋结合拉普拉斯变换的基本性质求反变换例１求

１－ｅ－ｓ ）的拉普拉斯反变例２求下列函数的拉普拉斯反变（

ｓ＋（ １＋（３）

１－ｅ－ｓ 五、线性系统的拉普拉斯变换分析１．系统的拉普拉斯变换分析ｅ（ｔ）ｈ（ｔ）＝ｒｚｓ（ｔ）Ｅ（ｓ）·Ｈ（ｓ）＝Ｒｚｓ（系统函数：Ｈ（ｓ）＝Ｒｚｓ（Ｅ（①由微分方程的拉普拉斯变换求②由电路的ｓ域模型求③由ｈ（ｔ）的拉普拉斯变换求微分方程的拉普拉斯变ｒｒ（ｎ）（ｔ）＋ａｒ（ｎ－１）（ｔ）＋…＋ａｒ′（ｔ）＋ａｒ（ｔ）＝ｂｅ（）（ｔ）＋…＋ｂｅ＇（ｔ）＋ｂｅ（ｒ（０），ｒ′（０），…，ｒ（ｎ－１）（０

１ｄ２ｒ（

ｄｒ（

，ｔ例１用拉普拉斯变换法分析 ｄｔ２＋３ｄｔ＋２ｒ（ｔ）＝０，ｒ（０）＝１，ｒ′（０）＝２的响应例２求微分方程ｒ″（ｔ）ｒ′（ｔ）ｒ（ｔ）＝３ｅ（ｔ）的零输入响应和零状态响应，已知ｅ（ｔ）＝ε，ｒ（０）＝１，ｒ′（０）＝２３．电路系统的拉普拉斯变（１）Ｒ、Ｌ、Ｃ元件的ｓ域模电阻②电容③电感（２）Ｓ域ＫＣＬ，∑ｔ）＝０→∑ｓ）＝∑ｔ）＝０→∑ｓ）＝ 已知ｅ（ｔ）为２ｖ直流，设开关Ｓ在ｔ＝０时断开，断开前电路已达稳态，求电压ｕ（ｔ），并指出其中的零输入响应与零状态响应；受迫响应与自然响应；瞬态响应与稳态响应。系统函数Ｈ（Ｒ（ ０Ｈ（ｓ）＝Ｅ（ εｔ）＝∫ｈ（τ０ｈ（ｔ）Ｈ（ Ｒ（ｓ）＝Ｈ（ 例１求微分方程是ｄｒ（

＋２ｒ（ｔ）＝ｄｅ（

＋ｅ（ｔ）的系统，在如下激励信号时的零状态响应（１）ｅ（ｔ）＝ｅ－ｔε（２）ｅ（ｔ）＝ｅ－２ｔε例２电路如下图，激励为ｅ（ｔ），响应为ｉ（ｔ），求冲激响应和阶跃响应例３因果系统，当ｅ１（ｔ）＝εｔ）εｔ）时零状态响应ｒｚｓ１（ｔ）如图示，求当ｅ２（ｔ）＝ｔ［εｔ）εｔ）］时的ｒｚｓ２（ｔ）例４已知ＬＴＩ系统的Ｈ（ｓ）＝ｓ２＋４ｓ＋３，输出ｒ（ｔ）的初始状态ｒ（０）＝１，ｒ′（０）＝２，为全响应ｒ（ｔ）＝０，求输入ｅ（ｔ）六、双边拉普拉斯变１．定Ｆｄ（ｓ）其

!∫ｆ（ｔ）ｅ－ｓｔ∫ｆ（ｔ）＝ｆａ（ｔ）εｔ）＋ｆｂ（ｔ）ε－０!Ｆｄ（ｓ）＝∫ｆ（ｔ）ｅｄｔ＋∫ｆ（ｔ）ｅ０!ｂａ ｂａ ＝Ｆｂ（ｓ）＋Ｆａ（如Ｆａ（ｓ），Ｆｂ（ｓ）同时存在，即二者有公共收敛区，则Ｆｄ（ｓ）存在如Ｆａ（ｓ），Ｆｂ（ｓ）无公共收敛区，则Ｆｄ（ｓ）不存在。２．右边函数：ｆａ（ｔ）εｔ）Ｆａ（ｓ）收敛区为某直线的右半区域左边函数：ｆｂ（ｔ）ε－ｔ）Ｆｂ（ｓ）收敛区为某直线的左半区 ｅαｔε

ｓ－ｅβｔε－ －

ｓ－双边拉普拉斯反变（１）极点的归属：哪些极点由左边函数形成，哪些极点由右边函数形成（２）反变换的方法：部分分式展开法，常用变换对３ｓ２＋６ｓ－ 求对应于不同收敛区时的原函数，已知Ｆｄ（ｓ）＝（ｓ＋１）（ｓ＋３）（ｓ－（１）σ＜－ （２）－３＜σ＜－ （３）σ＞七、信号流信号流图：用线图结构来描述线性方程组变量间的因果关系，便于求得Ｈ（ｓ）常用术（１）结点：表示信号变量的点，兼有加法器的作（２）支路：表示信号变量间因果关系的有向线（３）支路传输值（支路增益）：支路因果变量间的转移函（４）闭环（回路）：信号流通的闭合路（５）自环：仅包含一条支路的闭（６）前向路径：由源结点至汇结点，不包含任何回路的信号流通路径。２．流图的化简规（１）支路串（２）支路并（３）自环消３．梅森公 求信号流图总传输值（总增益１（１）Δ流图行列

Ｈ ∑ＰΔｉΔｉΔ＝１－∑Ｌｉ＋∑ＬｉＬｊ－∑ＬｉＬｊＬｋ＋ ｉ， ｉ，ｊ，式中∑Ｌｉ：所有不同回路的增益之ｉ∑ＬｉＬｊ：所用两两不接触回路的增益乘积之∑ＬｉＬｊｋ：所有三个互不接触回路的增益乘积之（２）Ｐｉ：第ｉ条前向通路的传输Δ：第ｉ条前向通路流图行列式的余因例１求系统函数Ｒ（Ｅ（例２已知系统函数Ｈ（ｓ） （ｓ＋１）（ｓ＋ ，试作直接式，并联式及级联式流图（ｓ＋２）（ｓ２－２ｓ＋八、系统模拟（将流图表示为框图级联模第六 连续时间系统的系统函【本章知识要点—、系统函二、系统函数的表示三、系统函数的极零点分布与时域特性的关系四、系统函数的极零点分布与频率特性的关系五、系统的稳定性~、系统函１．定２．意（１）ｒｚｓ（ｔ）＝ｅ（ｔ）ｈ（ｔ）即Ｈ（ｓ）ｈ（ｔ）（２）当ｅ（ｔ）＝ｅｓｔ∫!∫

Ｈ（ｓ）＝Ｒｚｓ（Ｅ（ｒｚｓ（ｔ）＝ｈ（ｔ）ｅ（ｔ）!

ｈ（τｅｓ（ｔ－可见

＝

ｈ（τｅ－ｓｔ＝Ｈ（ｓ）①系统函数是系统对复指数信号的加权系数，与输入无关，反映系统本身特性②ｈ（ｔ）是对系统的时域描述，而Ｈ（ｓ）是对系统的复频域描述二、系统函数的表示Ｈ（ｓ）Ｈ（ｓ） Ｄ（ ａｎｓ＋ａｎ－１ ＋…＋ａ１ｓ＋

数学表达式：数学表达式：简单，但无法看出系统的特性＝ｍｎ

ｓｍ－１＋…＋ｂｓ＋ 图示法：可表示出系统特

频率特性曲线复轨迹极零频率特性曲Ｈ（ｊω＝Ｈ（ｊωｅ幅频特性：Ｈ（）～相频特性：φω～说明：ｓ＝σ＋ Ｈ（ｊω＝Ｈ（ｓ）σ复轨Ｈ（ｊω＝Ｕ（ω＋ｊＶ（＝Ｈ（ｊωｅ（式中Ｕ（ω＝Ｈ（ｊωｃｏ（Ｖ（ｊω＝Ｈ（ｊωｉｎ（固定σ值，改变ω，可得到幅 相角特性曲线取σ＝，复变量ｓ沿ｊ轴变化，映射到平面中得到的曲线为系统函数的复轨迹极零系统函数一般是一个实系数的有理分式，Ｎ（ｓ） ｂｓｍ＋ｂｓｍ＋…＋ｂｓ＋ｂＨ（ｓ）＝ ＝ｍ ｎ１０Ｄ（ ａｓｎ＋ｎ１０

ｓｎ－１＋…＋ａｓ＋（ｓ－ｚ）（ｓ－ｚ）…（ｓ－ｚ

＝ （ｓ＝ （ｓ－ｐ）（ｓ－ｐ）…（ｓ－ｐ１２ｎｚｉ：系统函数的零ｐｊ：系统函数的极““ｉ ＝ ∏（ｓ－ｐｊｊａＨ＝ａ０ｎ Ｈ（ｓ） ｓ（ｓ＋１）（ｓ＋３）（ｓ－ ，试画出该系统的极零图（ｓ＋２）（ｓ２＋１）（ｓ２＋２ｓ＋三、系统函数Ｈ（ｓ）的极零点分布与时域特性ｈ（ｔ）的关通过讨论极零分布与时域特性的关系，来讨论系统稳定性对极点分布的要求１．ｈ（ｔ）的形若Ｈ（ｓ）＝Ｎ（Ｄ（

为真分式，且具有单阶极点

、

、…、ｐｎｎ则ｈ（ｔ）＝Ｋｅｐ１ｔ＋Ｋｅｐ２ｔ＋…＋Ｋｅｐｎｔ＝∑Ｋ ｋ１结论：①ｈ（ｔ）为一系列指数函数之和，每一指数函数对应于系统函数Ｈ（ｓ）的一个极点②ｈ（ｔ）的形式仅由Ｈ（ｓ）的极点确定２．Ｈ（ｓ）与ｈ（（１）极点在ｓ的左半开平极点在负实轴—阶极

（α＞ｓ＋二阶极 ａｓ＋（ｓ＋α极点不在负实轴—阶极 Ｎ（（ｓ＋α２＋（２）极点在ｊ轴极点在原—阶极点ｓ二阶极点②极点不在原点一阶极点 ｓ２＋（３）极点在ｓ的右半开平极点在正实轴—阶极点 二阶极 ａｓ＋（ｓ－α极点不在正实轴—阶极 Ｎ（（ｓ－α２＋结论（１）极点位置决定了ｈ（ｔ）的大致形（２）左半开平面的极点对应ｈ（ｔ）是衰减 系统稳（３）右半开平面的极点对应ｈ（ｔ）是增长 系统不稳（４）ｊ轴上的极—阶极点应ｈ（ｔ）为等幅的临界稳定高阶极点对应ｈ（ｔ）为增长的不稳定总结论：稳定系统的系统函数的极点只能在ｓ的左半平面内，如果在ｊω轴上有极点，则只能是单阶的，对零点无限制。四、系统函数Ｈ（ｓ）的极零点分布与频率特性Ｈ（ｊω的关Ｈ（ｊω＝Ｈ（ １） ２）… ｍ １） ２）… ｍ分析：若Ｈ（ｓ）＝Ｈ０（ｓ－ｐ）（ｓ－ｐ）…（ｓ－ｐ

ｓ则（ｊ－ｚ１）（ｊ－ｚ２）…（ｊ－Ｈ（ｊω＝Ｈ０（ｊ－ｐ）（ｊ－ｐ）…（ｊ－ｐ Ｂ１Ｂ２…Ｂｍｊ（β＋β＋…＋β－α－α－…－α １＝Ｈ０ＡＡ…１

ｅ１

ｍ１ 极点矢量ｍＨ０∏ ｉ ｅｊ（β∑ 零点矢量ｅｎ∏ｋ

ｉ１ｋ＝Ｈ（

ｅ（Ｈ（ｊωＨ０的系数φω：

：零点矢量模的乘积除以极点矢量模的乘积，再乘◦点矢量的相角和减法极点矢量的相角和１．全通系 Ｈ（ｓ）的零点与极点关于ｊ轴对２．最小相移系 Ｈ（ｓ）的零点位于ｓ的左半平φ（ω＝β（α１α２）对具有相同幅频特性的系统函数而言点位于左半开面的系统画数频特性φω最小五、系统的稳定系统的稳定及其条稳定系统：有界激励产生有界响应的系统，即 ｅ（ｔ）Ｍ，０ｔ!， ｒ（ｔ）Ｍｒｔ!充要条件：!

ｈ（ｔ）ｄ＜０２．罗 霍维茨判前提：Ｈ（ｓ）的极点都位于ｓ的左半开ｂｓｍ＋…＋ｂｓ＋＝Ｈ（ｓ）＝

Ｄ（

ａｓｎ＋…＋ａｓ＋

ｍ＜ Ｄ（ｓ）＝ａｓｎ＋…＋ａｓ Ｄ（ｓ）＝所有的根均在ｓ左半开平面，此多项式为霍维茨多项（１）ａｎ，ａｎ，…ａ，ａ０均为（２）不能缺（３）列罗斯 霍维茨阵列罗 霍维茨阵列行１１２ａｎ－ａｎ－ａｎ－５３ｃｎ－ｃｎ－ｃｎ－５４ｎ＋…………其１ａ

＝ａ

ｎ

＝－１

… １ｄｎ－１＝－

１ｄｎ－３＝－

…

指出：Ｄ（ｓ）为霍维茨多项式的充要条件（１）第一列元素均大于零（Ｄ（ｓ）＝的根都在ｓ的左半开平面（２）如果第一列元素的符号不完全相同，那么变号的次数就是在右半平面根的数目。例１判别多项式Ｄ（ｓ）＝ｓ４＋ｓ３ｓ２＋ｓ是否为霍维茨多项式例２已知Ｈ（ｓ） ，为使系统稳定，常数Ｋ应满足什么条件ｓ３＋３ｓ２＋３ｓ＋１＋例３如图示单环反馈系统，若Ｇ（ｓ） ｓ（ｓ２＋ｓ＋βｓ）＝ｓ＋

，试确定使系统稳定的值范围第七 离散时间系统的时域分【本章知识要点~、离散时间信号及其时域特１．离散时间信号的定义２．常见典型序列及其关系离散时间信号的运算二、离散时间系离散时间系统的描２．离散时间系统响应的求解３．离散时间系统的稳定性离散时间系统的模拟三、取样定~、离散时间信号及其时域特离散时间信号的定（１）仅在一些离散时刻ｋ（ｋ＝０、±１、±２、…）上才有定义的信号，用ｆ（ｋ）表示（２）连续时间信号ｆ（ｔ）经过抽样后所得到的抽样信号，用ｆ（ｋＴ）表示，为抽样周期，简写为ｆ（◦（１）单位函数（或单位序列）δδｋ）

１ｋ＝００ｋ≠（２）单位阶跃序列εεｋ）

１ｋ ０ｋ＜（３）矩形序列（ＧＮ（ｋ） １，０ｋＮ－ 其（４）实指数序ｆ（ｋ）＝ａｋε ａ为实（５）εｋ）与δｋ）的关δｋ）＝εｋ）－εｋ－ εｋ）＝∑ｋ－ｎ）＝∑δｎ ｎｋ 求序列和∑

ｎδｎ） ｎ 离散时间信号的运（１）加法和乘（２）移位、翻转和尺度变①位移ｙ（ｋ）＝ｆ（ｋ－②翻转ｙ（ｋ）＝ｆ（－

ｆ（ｋ）＝ｆ１（ｋ）＋ｆ２（ｋ）ｆ（ｋ）＝ｆ１（ｋ）ｆ２（③尺度变 ｙ（ｋ）＝ｆ（（３）卷积①定②性

!ｆ１（ｋ）ｆ２（ｋ）＝∑ｆ１（ｉ）ｆ２（ｋ－ｉ１°交换 ｆ１（ｋ）ｆ２（ｋ）＝ｆ２（ｋ）ｆ１（２°分配 ｆ１（ｋ）［ｆ２（ｋ）＋ｆ３（ｋ）］＝ｆ１（ｋ）ｆ２（ｋ）＋ｆ１（ｋ）ｆ３（３°结合 ［ｆ１（ｋ）ｆ２（ｋ）］ｆ３（ｋ）＝ｆ１（ｋ）［ｆ２（ｋ）ｆ３（ｋ）③几个常用的卷１０ｆ（ｋ）δ（ｋ）＝ｆ（ ２０ｆ（ｋ）δ（ｋ－ｋ）＝ｆ（ｋ－ｋ ３０εｋ）ε（ｋ）＝（ｋ＋１）ε４εｋ）ａεｋ）４εｋ）ａεｋ）＝１－ａε５０ａｋεｋ）ｂｋεｋ）④卷积的求

ａｋ＋１－ｂｋａ≠ａａ≠ａｋ（ｋ＋１）εｋ）ａ＝!∑１０按定义求（针对无限长序列）ｆ（ｋ）ｆ（ｋ） ｆ（ｉ）ｆ（ｋ－∑ ｉ 求εｋ）ε（ｋ－!２°图解 ｆ（ｋ）＝ｆ１（ｋ）ｆ２（ｋ）＝∑ｆ１（ｉ）ｆ２（ｋ－ｉ步骤ａ．ｆ１（ｋ）→ｆ１（ｂ．ｆ２（ｋ）→ｆ２（!

翻→ｆ２（－

延→ｆ２（ｋ－ｃ．求ｆ（ｉ）ｆ（ｋ－ｉ 已知ｆ１（ｋ） １ｋ＝０、１、２求ｆ（ｋ）＝ｆ１（ｋ）ｆ２（ 其３°不进位乘法（针对两个有限长序列说明：上下限是两个序列上下限之上题：ｆ１（ｋ）＝｛１，１，１｝ｆ２（ｋ）＝｛１，，２，３｝可求出的ｆ１（ｋ）ｆ２（ｋ ｋ４°用性质例１εｋ－３）ε（ｋ＋例２求

εｋ－

１）ｋε３二、离散时间系１．离散时间系统的描 差分方（１）差分：设有序列ｙ（ｋ），则…，ｙ（ｋ＋２），ｙ（ｋ＋１），ｙ（ｋ），ｙ（ｋ－１），ｙ（ｋ－２）…称为ｙ（ｋ）的移位序列。—阶前向差分：Δｋ）＝ｙ（ｋ＋１）－ｙ（ｋ）一阶后向差分：ｙｋ）＝ｙ（ｋ）－ｙ（ｋ－前向差分方程与后向差分方程的关系：Δｙｋ－１）＝ｙｋ）二阶差分：Δ２ｙ（ｋ）＝ΔΔｙｋ））＝Δｙ（ｋ＋１）－ｙ（ｋ））＝ｙ（ｋ＋２）－ｙ（ｋ＋１）－［ｙ（ｋ＋１）－ｙ（ｋ）＝ｙ（ｋ＋２）－２ｙ（ｋ＋１）＋ｙ（ 银行存储户每月定期在银行存款ｅ（ｋ），银行支付月息利率为β，每月利息结算，试计算储户在ｋ个月的本息总额ｙ（ｋ）—般差分方程可以写成以下两种形前向差分方 ｙ（ｋ＋２）＋５ｙ（ｋ＋１）＋６ｙ（ｋ）＝２ｅ（ｋ＋１）＋ｅ（ｋ）ｋ阶数：未知函数变量的最高和最低移位量的差数ｎ＝二阶线性常系数差分方需初始条件：ｙ（０），ｙ（１）数值解ｙ（ｋ＋２）＝－５ｙ（ｋ＋１）－６ｙ（ｋ）＋２ｅ（ｋ＋１）＋ｅ（ｋ）ｅ（ｋ）＝εｋ）（２）＝－５ｙ（１）－６ｙ（０）＋ｙ（３）＝－５ｙ（２）－６ｙ（１）＋后向差分方 ｙ（ｋ）＋５（ｋ－１）＋６ｙ（ｋ－２）＝２ｅ（ｋ－１）＋ｅ（ｋ－２）ｋ需初始条件ｙ（－１）ｙ（－２）离散时间系统响应的求解ｙ（ｋ＋ｎ）＋ａｎ－１ｙ（ｋ＋ｎ－１）＋…＋ａ０ｙ（ｋ）＝ｂｍｅ（ｋ＋ｍ＋ｂｍ－１ｅ（ｋ＋ｍ－１）＋…＋ｂ０ｅ（ 或∑ａｉｙ（ｋ＋ｉ）＝∑ｂｊｅ（ｋ＋ｊ）其中ａｎ＝ｉ ｊｙ（ｋ）＝ｙｚｉ（ｋ）＋ｙｚｓ（（１）零输入响应ｙｚｉ（１°一阶差分方程ｙ（ｋ＋１）＋ａｙ（ｋ）＝ｂｅ（ｋ）齐次方程ｙｚｉ（ｋ＋１）＋ａｙｚｉ（ｋ）＝０ｙｚｉ（ｋ＋１）＝－ａｙｚｉ（ｋ）设ｙｚｉ（０）已知，则ｙｚｉ（１）＝－ａ０ｙｚｉ（ ０ ｙ（２）＝－ａｙ（１）＝（－ａ） ０ ｙ（３）＝（－ａ）３ｙ … 推导：ｙｚ（ｉｋ）＝（－ａ）ｋｙ（ ２°移序算ｓ［ｅ（ｋ）］＝ｅ（ｋ＋ｓ２［ｅ（ｋ）］＝ｅ（ｋ＋…ｓｎ［ｅ（ｋ）］＝ｅ（ｋ＋３°求解ｙｚｉ（

ｅ（ｋ＋１）比ｅ（ｋ）延迟Ｔｙ（ｋ＋ｎ）＋ａｎ－１ｙ（ｋ＋ｎ－１）＋…＋ａ０ｙ（ｋ）＝ （ｓｎ＋ａｎ－ｓｎ－１＋…＋ａ）ｙ（ｋ）＝ 特征方程：ｓｎ＋ ｓｎ－１＋…＋ａ 特征根：ｖ，ｖ，…，ｖｎ（单根∑则ｙ（ｋ）＝Ｃｖｋ＋Ｃｖｋ＋…＋Ｃｖｋ＝ｎＣν ∑ １１ ２２ ｎｎ ｉｉｉ１由初始条件ｙ（０），ｙ（１），…，ｙ（ｎ－１）确定Ｃ，Ｃ，…，例１前向差分方程表示的离散系ｙ（ｋ＋２）－３ｙ（ｋ＋１）＋２ｙ（ｋ）＝ｅ（ｋ＋１）－２ｅ（ｋ），已知ｙｚｉ（０）＝０，ｙｚｉ（１）＝１，求该系统的零输入响应。例２后向差分方程表示的离散系ｙ（ｋ）－３ｙ（ｋ－１）＋２ｙ（ｋ－２）＝ｅ（ｋ－１）－２ｅ（ｋ－已知

（－１）＝１，

（－２）＝４

，求该系统的零输入响应４°系统的稳定ｙｚｉ（ｋ）为系统的自然响ν为实ν＜稳ν＞不稳ν＝临界稳定（单根 上题ｙｚｉｋ）＝－１＋２ｋ， ０→系统不稳（２）零状态响应ｙｚｓ（１°单位函数响应ｈ（①定义

ｙｚｓ（ｋ）＝ｅ（ｋ）ｈ（②求解：（算子法ｙ（ｋ＋ｎ）＋ａｎ－１ｙ（ｋ＋ｎ－１）＋…＋ａ０ｙ（＝ｂｍｅ（ｋ＋ｍ＋ｂｍ－１ｅ（ｋ＋ｍ－１）＋…＋ｂ０ｅ（ （ｓｎ＋ａｓｎ－１＋…＋ａ）ｙ（ｋ）＝（ｂｓｍ＋ ｓｍ－１＋…＋ｂ）ｅ（ 则ｂｓｍ＋ ｓｍ－１＋…＋ｙ（ｋ）＝ ０ｅ（ｋ）＝Ｈ（ｓ）ｅ（ 式（７ｓｎ＋ａｎ－１ｓｎ－１＋…＋Ｈ（ｓ）：离散时间系统的转移算子，是运算符号，作用是ｅ（ｋ）和ｙ（ｋ）作式（７）或（７）的运算ｂｓｍ＋ ｓｍ－１＋…＋ ｍ＜ｎ：Ｈ（ｓ）＝ ０ ｓｎ＋

ｓｎ－１＋…＋ ｓ－ ｓ－

ｓ－

ｓ－

Ａνｋ－１εｋ－ｎ∴ｈ（ｋ）＝ｉ

Ａνｋεｋ－ｉｍ＝ｎ：Ｈ（ｓ） ｓ－

＝１＋ｓ－则ｈ（ｋ）＝δｋ）＋ννｋεｋ－１）＝νε③阶跃响应εｈ（ｋ）与εｋ）的关∵δｋ）＝εｋ）－εｋ－∴ｈ（ｋ）＝εｋ）－εｋ－ ∵εｋ）＝∑ｉ）＝∑ｋ－ｉ ｉ ∴εｋ）＝∑ｉ）＝∑ｋ－ｉ ｉ１例１已知阶跃响应εｋ）＝６［１－０．（２）］εｋ），求单位函数响应例２已知单位函数响应ｈ（ｋ）＝１δｋ）＋［１（３）ｋ－０．５（２）ｋ］εｋ）求阶跃响应 ２°零状态响应ｙｚｓ（!ｙｚｓ（ｋ）＝ｅ（ｋ）ｈ（ｋ）＝∑ｉ）ｈ（ｋ－ｉ例１已知ｙ（ｋ＋２）－５ｙ（ｋ＋１）＋６ｙ（ｋ）＝ｅ（ｋ＋２）－３ｅ（ｋ），求ｈ（例２已知一离散时间系统的转移算子Ｈ（ｓ） ｓ（７ｓ－ 、求ｈ（ｋ）（ｓ－０．５）（ｓ－０．例３已知ｅ（ｋ）＝εｋ）对上题中的Ｈ（ｓ），求ｙｚｓ（!充要条件：ｋ

ｈ（ｋ）由系统特征方程的根的绝对

ν＞１

ν＜１

ν＝来判ν＜稳ν＞不稳ν＝临界稳离散时间系统的模系统表示连离（１）系统输入—输出方微分方差分方（２）框图模三种基本单三种基本单（３）系统函Ｈ（Ｈ（说明：线性时不变（ＬＴＩ）连续系 →线性常系数微分方线性时移不变（）离散系（１）基本运算单１°加法

→线性常系数差分方２°标量乘法３°延时（２）离散系统的框由移序算子Ｓ有：ｙ（ｋ）＝Ｎ（ｓ）ｅ（Ｄ（选中间变量ｑ（ｋ），令ｅ（Ｄ（

＝ｑ（ｋ），则ｙ（ｋ）＝Ｎ（ｓ）ｑ（ 某离散系统的差分方程为ｙ（ｋ＋２）－３ｙ（ｋ＋１）＋２ｙ（ｋ）＝ｅ（ｋ＋１）－２ｅ（ｋ）试画出该系的模拟框图三、取样定问题：取样间隔如何定原信号能否由样本点恢复？若能，如何恢复时域：ｆｓ（ｔ）＝ｆ（ｔ）ｓ（频域：Ｆ（ｊω＝１Ｆ（ωＳ（ 冲激取１°信号的取 ｓ（ｔ）＝δ（ｔ）＝∑δｔ－ｎＴｓ）Ｓ（ｊω＝ωδ（ω＝ω∑δω－ωｎ ｎＴＴｓ：取样周 ωｓ＝Ｔｆ＝

：取样频Ｆ（ｊω＝１Ｆ（ !δω－ｎω）＝１!Ｆ［ｊ（ω－ｎω） ｓ ｎ ２ωｍ：频谱无混叠，可恢复ｆ（

Ｔｓｎω＜２ωｍ：频谱产生混叠，无法恢复ｆ（２°信号的恢当 ２ωｍ时Ｈ（ｊω

Ｔｓ ω＜ ω＞

ωｍ＜

＜

-ｆ（ｔ）＝ｆｓ（ｔ）ｈ（ｔ）!＝∑ｎＴｓ）δｔ－ｎＴｓｎ

∑ｆ（ｎＴ）Ｓ［ω（ｔ－ｎＴ）πｎ 说明： ２ωｍ，３°时域取样定

２ｆｍ，Ｔｓ"ｍ—个频谱在区间（ω，ω）以外为的带限信号ｆ（ｔ），可唯一地由其在均匀间隔Ｔ（Ｔ１）ｍ 的样点值ｆ（ｎＴｓ）确定

ｓ奈奎斯特频率：ωｓ＝２ωｍ或ｆｓ＝１奈奎斯特间隔：Ｔｓ＝ｍ２．脉冲取!ｓ（ｔ）＝ｐＴｓ（ｔ）＝∑ｇ（ｔ－ｎＴｓｎ例１已知ｆ（ｔ）的频谱Ｆ（ｊω

ω＜２ｒａｄ／ ω＞２ｒａｄ／

，对ｆ（ｔ）ｃｏｓ（２ｔ）均匀取样的最大Ｔｓ为例２有限频带信号的最高频率为２００ｚ，若对以下信号进行时域抽样，求ｆｓ（１）ｆ（（２）ｆ（２ｔ）ｆ（（３）ｆ２（第八 离散时间系统的变换域分【本章知识要点—、ｚ变二、常用序列的ｚ变换三、ｚ变换的性质四、逆ｚ变换五、域分系统的零状态响应系统函数Ｈｚ）系统的频率响系统的ｚ域框信号流图及系统模离散系统的稳定性六、域与ｚ域的关~、ｚ变从拉氏变换到ｚ变 取样信号ｆｓ（ｔ）＝ｆ（ｔ）Ｔｔ）＝ｆ（ｔ）δｔ－ｋＴ）＝ｆ（ｋＴ）δｔ－ｋ ｋ!ｆｓ（ｔ）Ｆ（ｓ）＝∑ｆ（ｋＴ）ｋ!令ｚ＝ Ｆ（ｚ）＝∑ｆ（ｋ）ｚ 双边ｚ变ｋ!Ｆ（ｚ）＝∑ｋ）ｚ 单边ｚ变ｋ说明：因果序列单边，双边变换相等收敛!∑ｋ

ｆ（ｋ）ｚｋ＜!（绝对可和条件（１）在部分ｚ平面收１°因果序ｆ（ｋ）＝ａｋεｚ－Ｆ（ｚ） ｚ ｚ－结论：因果序列的收敛区为某个圆的圆外区２°反因果序ｆ（ｋ）＝ｂｋε－ｋ－Ｆ（ｚ）＝－ｚ－

ｚ 结论：反因果序列的收敛区为某个圆的圆内区３°双边序ｆ（ｋ）＝ａｋεｋ）＋ｂｋε－ｋ－Ｆ（ｚ） ｚ－

ａｚ－ ａ

ｚ 说明：

ａ

时Ｆ（ｚ）不存结论：双边序列的收敛区是环状区（２）整个ｚ平面收ｆ（ｋ）为有限长序如：ｆ（ｋ）＝｛１，２，３，２，ｋＦ（ｚ）＝ｚ２＋２ｚ＋３＋２ｚ－１＋ｚ－２０＜ｚ＜结论：有限长序列的收敛区为０ ｚ＜（３）平面均不收如：ｆ（ｋ）

（１２ｋ２ｋ

ｋ＜既满

ｚ＞

＜１，无公共收敛区，ｚ平面均不收敛ｚ２ｚ二、常用序列的ｚ变１．δｋ）２．ε ｚ－３．ａｋε

ｚ＞，ｚ