解三角形题型的解法

解三角形题型的解法一、直角三角形中各元素间的关系:在€ABC中，C=90o,AB=c,AC=b,BC=a.三边之间的关系:a2,b2=c2（勾股定理）(2)锐角之间的关系:A,B=900；(3)边角之间的关系:(3)边角之间的关系:sinA=cosB=—，cosA=sinB=2，tanA=—ccb二、斜三角形中各元素间的关系:在€ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边.(1)三角形内角和：ABC=兀.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等宀暑=丽B=巫C=2R(R为外接圆半径)余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.a2=a2=b2,c2一2bccosA；b2=a2,c2一2accosB；c2=a2,b2一2abcosC.b2+cb2+c2—a2cosA2bca2+c2—b2cosB2aca2+b2—c2cosCaba2+b2—c2二2abcosCc2+b2—a2二2bccosAa2+c2a2+b2—c2二2abcosC三、三角形的面积公式：（1）S=ah=bh=ch（h、h、h分别表示a、b、c的高）；€2a2b2cabc（2）S=absinC=—bcsinA=—acsinB=—€2222四、解三角形：由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.主要类型:两类正弦定理解三角形的问题:第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角.第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.解三角形如果出现多解，要利用三角形内角和定理或三角形边角不等关系来检验.五、三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点.（1）角的变换因为在€ABC中，ABC，兀，所以sin（A+B），sinC；cos（A+B），一cosC；.A+BCA+B.Ctan（A+B），一tanC；sin，cos—，cos，sin-.2222（2）判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.六、求解三角形应用题的一般步骤：（1）分析：分析题意，弄清已知和所求；（2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；（3）求解：正确运用正、余弦定理求解；（4）检验：检验上述所求是否符合实际意义.七、解应用题中的几个角的概念（1）仰角、俯角的概念：在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫做俯角•如图:（2）方向角：相（2）方向角：相45o等.（3）方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角.

【方法讲评】题型一求三角形的角和边使用情景解三角形解题步骤一般利用正弦定理、余弦定理和三角恒等变形来解答.【例1】在€ABC中，已知a=2\.；2，b=2^3，A=45o，求c、B、C.【解析】由亠=亠得鈕0=皿stnAsaiB这个三角形有两组解.--^=处或5=120°・sinAsinC得sinAsinC得匚=•』sttiAijsinC厶/5銅1祁丘e―一-=一:一7T7—=76-72・当—容时©-（屮円巴由才丁云得.宀銅书故B=60\C=75e:r=76+^/2^或5=12O°3C=15°,c=^6-72.【点评】（1）利用正弦定理和余弦定理时，注意使用的数学情景，知道两边和其中一边的对角一般利用正弦定理解答；（2）已知两边和其中一边的对角，一般要讨论，利用三角形内角和定理或三角形边角不等关系定理检验.学科@网【反馈检测1】在【反馈检测1】在€,BC中，角,，B，C的对边分别为a，b，c，且2sinC„sinBaCOsBsinBbcosA（1）求角A的大小;(2)若a=3，sinC=2sinB，求b，c的值.题型二求三角形的面积使用情景解三角形解题步骤利用公式s€2ah€2absinC解答.2a22by3ccosc^【例2】在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且二一TOC\o"1-5"\h\z3acosA求角A的值；兀L若角B=宁,BC边上的中线AM=、门,求AABC的面积.6“宀甸口2占一书cgosCyH2md5-^/5sinCcosC【解析】(1)由正弦定理及.一=，得尸=,心<3sicAcos-J整理得；==?又Hu号尹0,所以=当，又ZAg亦所・20(2)由乙3=—、ZA=—知□二占，66,2尸-TOC\o"1-5"\h\z、肝+—-71A^CAf中，由余弦宦理得：cos二-==一一，求得：b—l?V1所沁磁的面积匚占42沢学书.■JhJm11【点评】求三角形的面积一般利用公式s€ah€absinC解答，注意灵活选用公式.2a2兀【反馈检测2】在AABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b,c,已知c=2，C=-.若AABC的面积等于,.'3,求a,b；若sinC„sin(B_A)=2sin2A,求△ABC的面积.题型三判断三角形的形状使用情景解三角形

解题步骤一般利用正弦定理或余弦定理边化角或角化边.tanAa2【例3】在△ABC中，若一-€，则△ABC的形状是（）tanBb2A.直角三角形A.直角三角形B.等腰或直角三角形C.不能确定D.等腰三角形sinC.不能确定D.等腰三角形sinA【解析】由sinAcQ^B_a.cosBa"co-sJsia5bccsA扩变形得江A变形得江AcosAbjr-■2A=^或2£+四=就二自=刀或/+号=二,所以三角形为等腥或直角三角形故选择5.

2【点评】（1）判断三角形的形状，一般利用正弦定理或余弦定理边化角或角化边.（2）in2A€sin2B得到2A=2B或2A+2B=180。，不要漏了2A+2B=180。.【反馈检测3】已知a,b,c分别是，ABC中角A,B,C的对边acsinA+4sinC=4csinA.（1）求a的值;,b+c=4，判断,ABC的形状,（2）圆O为,ABC的外接圆（,b+c=4，判断,ABC的形状,并说明理由.题型四解三角形的应用使用情景解三角形的应用解题步骤先画图，把条件标记到图形中，然后转化成解三角形的数学问题来解.

【例4】已知甲船正在大海上航行，当它位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即以10海里/小时的速度匀速前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30。，相距10海里C处的乙船，乙船当即决定匀速前往救援，并且与甲船同时到达.（供参考使用：tan41。二3）.2（1）试问乙船航行速度的大小；（2）试问乙船航行的方向（试用方位角表示，如北偏东…度）.【解析】依题意画出A、B、C的方位图，如下在SA昶中，=20=AC=1Q:ZCAB=3QC十盹口二卩呼‘设乙船运动到丘处的距离为蛊海里，则由余弦定:理肥=AC2+AB2-2ACxAB乂gZ.CAB得220乙两船行驶的时间心忆“卜味从而乙船的速度几在'阮扎由正弦定理可得忑昴A320乙两船行驶的时间心忆“卜味从而乙船的速度几在'阮扎由正弦定理可得忑昴A3sinZAC£所GA—xmqZCAB=tanZACB=•••乙船应朝北偏东^°+41°=71°的方向沿直线前往B处救援,速度为需海里妙时.【点评】（1）解三角形的应用题，一般先画图，把条件标记到图形中，然后转化成解三角形的数学问题来解.（2）解三角形的一般规律：必须知道三个几何元素，至少一个为边，对于不知道的边或角可以放到其它三角形中去解.【反馈检测4】在海岸A处，发现北偏西75°的方向，与A距离2海里的B处有一艘走私船，在A处北偏东45°方向，与A距离（爲—1）海里的C处的缉私船奉命以10J3海里/小时的速度追截走私船.此时，走私船正以10海里/小时的速度从B向北偏西30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?

题型五取值范围或最值问题使用情景求变量的取值范围或最值.解题步骤一般先建立三角函数模型，再利用三角函数的图像和性质求函数的取值范围或最值.【例5】在锐角€ABC中，内角A,B,C的对边a,b,c,已知c=2,C二—.(1)若€ABC的面积等于,求a,b；(2)求a+b的取值范围.【解析】⑴由j=+血釦0=羽=4又由余弦走理疋=/+庆一2於閒呂C二/+沪一庞=4麻立方程组求解得“m在锐角5C中，C=-.则启=竺一虫,其中Je(O:-);B=—-Ae(^-).所汰33232由正弦定理得：丄52smC3所以＜?=所以＜?=2J?血M=—sinA.b=2R^^=44sinJ所以\庄+石=—7=sinJ+—^=5tnE=757?二冷（彳如.4+^-£05.,4）=45in（兔+彳）由辰D得卅矢各竿L所以逊丰+&珂fJ]626jj62所以,应亠吐卩71书【点评】本题第2问，利用正弦定理建立三角函数模型后，要注意角A的范围，不能简单地根据“锐,角€ABC”，把角A的范围定为°„A„~2，锐角三角形指的是每一个内角都是锐角，所以要考虑兀A，B，Cw(°迈),才能得到角A的准确范围.

cos^Ab\13【反馈检测5】在€ABC中，三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c，其中c=2，且=_=一cosBa1(1)求证：€ABC是直角三角形；⑵设圆O过A,B,C三点，点P位于劣弧AC上,ZPAB=,，用,的三角函数表示三角形€PAC的面积，并求€PAC面积最大值.参考答案【反馈检测1答案】（1）A=—；（2）b=\：3，c=2\；3.【反馈检测1详细解析】⑴由正弦定理，得竺兰旦=沁竺逻acosAsinB-cosA.sinAcosB2sinC—sinB■■sinBcosAsinB因为sinEH0j整理得2sinCeosA—sinBcosA=sinAcosB艮卩2siaCcosA=sinBcosA十sinAcosB=sin（A-I-B）=5inC因为sinCh0得閃呂A=A=—23（2）由sinC=2sinB®.正弦定理得匚二站由余弦定理，得疣1=b1+c2-2^co5A把0=3,c=2bfcosA=丄代人上式得：9=雲2解得^=4^?亡=2历【反馈检测2答案】（1）a—2，b—2;（2）S—―3—【反馈检测2详细解析】(I)由余弦定理及已知条件得，a2+b2-ab—4，1又因为sc的面积等于朽，所以2absinCY，得ab-4联立方程组a2+b2—ab—4,联立方程组ab-4，解得a—2，b—2-

(II)由题意得sin(B€A)€sin(B-A)，4sinAcosA,即sinBcosA，2sinAcosA,TOC\o"1-5"\h\z兀厂兀4p372、［3当cosA，0时，A，一,B，一,a，,b，2633当cosA„0时，得sinB，2sinA,由正弦定理得b，2a,联立方程组a2+b2联立方程组a2+b2—ab，4,b，2a,解得a，弓,b，牟所以AABC的面积S，2absinc二筈【反馈检测3答案】(1)a，2；(2)等边三角形.学科@网gjr【反馈检测3详细解析】⑴由正弦定理可知，3=——3匸一,则2R2Racsin^1+4sinC=4csiinA0trP十4亡=4ac,2\'c卫0=「一£tY+4c<=>/+4=北O(应一盯二0,可得a二2.〔卩记占〔卩记占U中点为叽血二扫皿”込孕心込叫圆。的半径"攀由正弦公式可叫省，故X=&0\公式可叫省，故X=&0\由余弦定理可知，血cf由上可得=/十厂一又方十心=4,贝故也川占。为等边三角形.【反馈检测4答案】缉私船沿北偏西60。的方向能最快追上走私船【反馈检测4详细解析】由已知条件得，AB，2,AC，暑-1,ZBAC，120。,・•・BC=、：AB2+AC2—2AB•AC•cosZBAC\：；4+4—2、3+2.3-2=*6.在AABC中,在AABC中,AB=BC

sinZACBsinZBAC解得sinZACB，竺ZACB，45°,・•・BC为水平线，设经过时间t小时后，缉私船追上走私船，则在ABCD中,BD，101,CD，10,ZDBC，120°,10tx石BDsin€CBDt飞1sin€BCD===_,CD10苗2・•・€BCD二30,・•.缉私船沿北偏西60的方向能最快追上走私船.【反馈检测5答案】⑴证明略；（2）„=