控制工程基础矩阵相似变换

一、相似矩阵与相似变换的概念定义1

设A,

B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P,使P-1

AP

=

B,则称B是A的相似矩阵,或说矩阵A与B相似.对A进行运算P-1

AP称为对A进行相似变换,可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.1.

等价关系(

)2.

P1

2

1

2A

P P

-1

A P

.-1-1A

A P

=

P3.若A与B相似,则Am与Bm

相似(m为正整数).二、相似矩阵与相似变换的性质A与A本身相似.若A与B相似,则B与A相似.若A与B相似,B与C相似,则A与C相似.反身性对称性传递性证明A与B相似

$可逆阵P,使得P

-1

AP

=B\

B

-

lE

=

P

-1

AP

-

P

-1

(lE

)P=

P

-1

(A

-

lE

)P=

P

-1

A

-

lE

P=

A

-

lE

.(

)4.

P1

1

2

2

1

2-1-1k

P

A1

P

+

k2

P

A

Pk

A

+

k

A P

=-1其中k1

,k

2是任意常数.定理1

若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项式相同,从而A与B的特征值亦相同.推论

若n

阶方阵A与对角阵n

lL

=l1l2相似,则l1

,l2

,,ln即是A的n个特征值.利用对角矩阵计算矩阵多项式若A

=PB

P-1

,则A的多项式j

(

A)

=

a0

An

+

a1

An-1

+

+

an-1

A

+

an

E=

a0

P

Bn

P-1

+

a1

P

Bn-1

P-1

+

+

an-1

PB

P-1

+

anPE

P-1=

P(a0

Bn

+

a1

Bn-1

+

+

an-1

B

+

an

E

)

P-1=

Pj

(B)

P-1

.Ak

=

PB

P-1PB

P-1

PB

P-1PB

P-1

=

P

Bk

P-1

.k个特别地,若可逆矩阵P使P-1

AP

=L为对角矩阵,Ak

=

P

L

k

P-1

,则j

(

A)

=

Pj

(L

)

P-1

.对于对角矩阵L

,有,2lk

lklk1L

k

=

n11j

(l

),j

(l

)j

(L

)

=

j

(l1)利用上述结论可以很方便地计算矩阵A

的多项式j

(A).设f

(l)是矩阵A的特征多项式,则f

(A)=O.定理证明只证明A与对角矩阵相似的情形.若A与对角矩阵相似,则有可逆矩阵P,使P-1

AP

=

L

=

diag(l1

,,ln),其中li

为A的特征值,f

(li

)=0.由A

=PL

P-1

,有=

PO

P-1

=

O.

P-1f

(

)n

f

(l1)f

(

A)

=

Pf

(L

)

P-1

=

P

l对n

阶方阵A

,若可找到可逆矩阵P

,使P

-1

AP

=L为对角阵,这就称为把方阵A对角化.定理2

n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角化)的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.证明假设存在可逆阵P,使P

-1

AP

=L为对角阵,把P

用其列向量表示为P

=p1

,p2

,,pn

).三、利用相似变换将方阵对角化n

l

l11

2

n

1

2

n即

A(p

,

p

,,

p

)=

(p

,

p

,,

p

)l2=

l1

p1

,l2

p2

,,ln

pn

).\

A

p1

,

p2

,,

pn

)=

Ap1

,

Ap2

,,

Apn

)=

l1

p1

,lp2

,,lpn

)i

=

1,2,,

n).=

li

pi于是有

Api由P-1

AP

=L

,得AP

=PL

,A的对应于特征值li的特征向量.反之,由于A恰好有n个特征值,并可对应地求得n个特征向量,这n个特征向量即可构成矩阵P,使AP

=PL

.又由于P可逆,所以p1

,p2

,

,pn线性无关.命题得证.可见l

i

是A的特征值,而P

的列向量pi

就是说明则A与对角阵相似．如果n

阶矩阵A

的n个特征值互不相等，推论如果A的特征方程有重根，此时不一定有n个线性无关的特征向量，从而矩阵A不一定能

对角化，但如果能找到n个线性无关的特征向量，

A

还是能对角化．例1

判断下列实矩阵能否化为对角阵？-

2

2

1

-

2

2

(1)

A

=

-

2

-

2

4

42

1

-

2

1

-

2

(2)

A

=

-

5

3

-

30解(1)由A

-lE1

-

l

-

2=

-

2

-

2

-

l2

424-

2

-

l=

-(l

-

2)2

(l

+

7)

=

0得

l1

=

l2

=

2,

l3

=

-7.将

l1

=

l2

=

2代入

A

-

l1

E

)=

0,得方程组

2x1

+

4x2

-

4x3

=

0解之得基础解系-

2x1

-

4x2

+

4x3

=

0

-

x1

-

2x2

+

2x3

=

01

1

2

0

a2

=1.

a1

=0

,同理,

对l3

=

-7,由

A

-

lE

)x

=

0,求得基础解系Ta

3

=

(1,2,2)2

0

10

1 2

„

0,1

1

2由于所以a1

,a

2

,a

3线性无关.即A有3个线性无关的特征向量,因而A可对角化.23-

2

-

l2

-

l

-

1A

-

lE

=

5

-

3

-

l-

1

0=

-(l

+

1)32

1

-

2

1

-

2

(2)

A

=

-

5

3

-

30所以A的特征值为

l1

=

l2

=

l3

=

-1.把l

=-1代入A

-lE

)x

=0,

解之得基础解系x

=

(1,1,-1)T

,故A不能化为对角矩阵.

1

4

6

0

设A

=

-

3

-

5

0-

3

-

6A能否对角化？若能对角化,则求出可逆矩阵P

,使P

-1

AP

为对角阵.解例24

-

l

6

0-

3

-

5

-

l

0-

3

-

6 1

-

lA

-

lE

==

-(l

-1)2

(l

+

2)所以A的全部特征值为

l1

=

l2

=

1,

l3

=

-2.将l1

=l2

=1代入A

-lE

)x

=0得方程组-

3

x1

-

6

x2

=

0解之得基础解系

3

x1

+

6

x2

=

01

2-

3

x

-

6

x

=

0

0

-2x1

=

1

,1

0

x2

=0.将l3

=

-2代入A

-

lE

)x

=

0,

得方程组的基础解系3=

(-1,1,1)T

.x1

01

2

3

0

.

0由于x1

,x2

,x3

线性无关.-2

0

-1

令

P

=(x

,x

,x

)=

1

0

111

0

0

10-

2P-1

AP

=

0则有所以A

可对角化.注意(

)3

1

2

=若令P

=x

,x

,x

11

101

0

,

-

1

-

2

0

P

-1

AP

=

0

.

-

2

0

0

0

10

01

则有即矩阵P的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．四、小结１．相似矩阵相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好的性质，除了课堂内介绍的以外，还有：(1)A与B相似,则det(A)=det(B);若A与B相似,且A可逆,则B也可逆,且A-1与B-1相似;A与B相似,则kA

与kB

相似,k为常数;若A与B相似,而f

(x)是一多项式,则f

(A)与f

(B)相似.２．相似变换与相似变换矩阵相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A变成P-1

AP，而可逆矩阵P称为进行这一变换的相似变换矩阵．这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算．

1

A

=

100.