第一章随机与概率01节

第一章随机事件及其概率检验产品问题广告效果问题概率统计问题举例：彩票（掷骰子赌博）共同特征：准时约会问题事先不能确定某个结果是否发生；可以预先知道所有可能结果；试验过程可以在相同条件下重复进行。随机现象§1

随机事件—随机试验随机现象：在个别实验中其结果呈现出不确定性，在大量重复实验中其结果又具有统计规律性的现象。问题：如何研究随机现象的统计规律性?随机试验：对随机现象所做的一次观察或科学试验。(简称为试验,常用E表示)随机试验特征：1.不确定性；2.可观察性；3.可重复性.二随机事件1.

样本空间（目的：用集合来描述随机试验）随机试验E的所有可能结果组成的集合称为样本空间，记为S。样本空间的元素，即每个可能结果，称为样本点,记作w1,w2,…。例1

抛掷一枚骰子出现的点数.样本空间S={1,…,6}，“i”表示样本点“点数为i”，例2

某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数.S

=

{0,

1,

2,}.例3

从一批灯泡中任取一只,测试其寿命.S

={t t

‡0},t

表时间2.同一试验,若试验目的不同,则对应的样本空间也不同.例：随机试验“将一枚硬币抛掷三次”.若观察正面H、反面T

出现的情况,则样本空间为S

={HHH

,

HHT

,

HTH

,

THH

,

HTT

,

TTH

,

THT

,

TTT

}.若观察出现正面的次数,则样本空间为S

={0,1,2,3}.3.一个样本空间可以概括许多内容大不相同的实际问题.例:只含两个样本点的样本空间S={H,T}，可代表的随机试验：抛掷硬币观察其反面；检验产品是否合格；排队现象中是否有人排队等说明:1.

描述随机现象的第一步是建立样本空间。写出下列随机试验的样本空间.1.从一批产品中,依次任选三件,记录出现正品与次品的情况.N

fi

正品,

D

fi

次品.2.

同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和.生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的总件数.答案S

=

{

NNN

,

NND

,

NDN

,

DNN

,

NDD

,

DDN

,

DND

,

DDD

}.S

=

{3,

4,

5,

,

18}.S

=

{10

,

11

,

12

,

}.课堂练习2.

随机事件我们称一个随机事件发生,即它所包含的

样本点至少有一个在试验中出现。(实际中研究样本点构成的集合)定义(试验E

的样本空间为S)随机事件:称S

的子集为E的随机事件(事件)基本事件:由一个样本点组成的单点集；复合事件：由两个或两个以上的样本点组成的多点集;必然事件:

样本空间S本身；不可能事件:

空集˘

。例：抛掷一枚骰子出现的点数.S={1,2,3,4,5,6}-----必然事件事件:{1点},{2点},…,{6点},{点数不大于4},{点数为偶数}等.{点数大于6}复合事件基本事件不可能事件说明：1.每做一次随机试验，只有一个基本事件发生；2.一个事件是否是基本事件，是相对试验目的而言(?)。例：抛掷一枚骰子，观察点数的奇偶性.S={点数为奇数，点数为偶数}

基本事件B

A或A

B.例:A={产品长度不合格}，B={产品不合格},则B

ASBA2).

相等关系B

A且A

B，记作A=BSBA三随机事件间的关系及运算事件间的关系与运算要根据“事件发生”的含义和集合的关系与运算来理解。1.事件间的关系1).

包含关系若事件A

出现,必然导致B

出现,则称事件B

包含A,记作称为事件A

与事件B的和事件.3).

和事件事件A

B={x

x

˛

A

或x

˛

B},ABSn¥类似可定义有限、可列个事件的和：

Ai

Aii

=1

i

=1AB

S称为事件A

与B

的积事件。4).

积事件事件

A

B(

AB)

={x x

˛

A

且

x

˛

B}n¥

Aii

=1类似可定义有限、可列个事件的积:

Aii

=1SABB

¸

AB

AA-BABA

-

BS5).

差事件A发生、B不发生，记为：A-B={x|x∈A且x

ˇ

B}事件B

={t

|

t

‡1000}

“合格品”事件C

={t

|

t

‡1500}

“一等品”B-C={t|1000≤t<1500}例：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。S

={

t

|

t

‡

0

}

事件A

={

t

|

t

<

1000}

“次品”010001500次品一等品合格品tB-C=？6).事件A

与B

互不相容（互斥）若事件A

的出现必然导致事件B

不出现,B出现也必然导致A不出现,则称事件A与B互不相容,即A

B

=AB

=˘

.SAB”基本事件互不相容例:

抛掷一枚硬币,事件“出现花面”

与

“出现字面”

互不相容.例:

抛掷一枚骰子,

观察出现的点数.“骰子出现1点”互不相容

“骰子出现2点“骰子不出现1点”例：“骰子出现1点”对立B=

ASABA,B

互斥AB

=

˘AB=

ASA,B

互逆互逆事件与互斥事件的区别?互斥对立互逆7).

事件A

的逆事件(对立事件)A

B

=S且A

B

=˘

(A、B必有一个且只有一个发生)A

,

A

,,

A8).

完备事件组(或S的一个划分)ni

=1若A1,AA21,,…A,2A,n两两,A互n

斥,且S

=

Ai

,则称A1,A2,1…

,2An为S的n

完备事件组.SA1Ann-1AA2A3S={1,2,3,4,5,6}思考：哪些随机事件可以构成它的一个划分？划分的目的？S

=

A1

A2

,

A1

=

{1,3,5},

A2

=

{2,4,6}交换律结合律2

事件间的运算规律(设A,B,C

为事件)A

B

=

B

A,

AB

=

BA.(

A

B)

C

=

A

(B

C

),

(

AB)C

=

A(BC

).分配律(

A

B)

C

=

(

A

C

)

(B

C

)

=

AC

BC

,(

A

B)

C

=

(

A

C

)

(B

C

)

=

(

A

C

)(B

C

).对偶律:

A

B

=

A

B,

A

B

=

A

B.部分管道1/2/3组成，每个水源都足以供应城市的用水，设事件Ai

={

第

i

号管道正常工作}(

i

=

1,

2,

3

)(

A1

A2

)

A3

=

(

A1

A2

)

A3

=

(

A1

A2

)

A3于是“城市能正常供水”这一事件可表示为(A1

A2

)

A3“城市断水”这一事件可表示为甲乙12城市3四例题：例1

假如武汉市供水系统由甲、乙两个水源与三(2)至少有一个是次品;(1)没有一个是次品;(3)只有一个是次品;(4)至少有三个不是次品。例2

设一个工人生产了四个零件,

Ai

表示他生产的第i

个零件是正品(i

=1,2,3,4),试用Ai

表示下列各事件:解：

(1)

A1

A2

A3

A4

;(2)

A1

A2

A3

A4

;A1A2

A3

A4

+

A1

A2

A3

A4

+

A1A2

A3

A4

+

A1A2

A3

A4;A1A2

A3

A4

+

A1

A2

A3

A4

+

A1A2

A3

A4

+

A1A2

A3

A4

+

A1A2

A3

A4例2.设A,B,C

表示三个事件,将下列事件用A,B,C

表示.A