相似三角形性质的应用-巩固练习(提高-答案)

相似三角形的性质及应用--知识讲解（提高）【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.【要点梳理】要点一、相似三角形的性质TOC\o"1-5"\h\z1.相似三角形的对应角相等，对应边的比相等 .2.相似三角形中的重要线段的比等于相似比 .相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比 ^要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段 ^.相似三角形周长的比等于相似比ABBCCA.由比例性质可得:AB+BC+CAkA'B^kS'C'+kC'A1支 4F+由比例性质可得:AB+BC+CAkA'B^kS'C'+kC'A1支 4F+3。+ClAl.相似三角形面积的比等于相似比的平方ABBCABBCa二七分别作出MBC与的高AD和A'D1,则S*AABC1八BCAD」 &S*AABC1八BCAD」 &abc 1BCAD21一一kBCkAD=2 1-BCAD2要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的 ^要点二、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：甲乙手臂测量法标杆测量法测量距离2甲乙手臂测量法标杆测量法测量距离22.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。.如甲图所示，通常可先测量图中的线段 DCBDCE的距离（长度）2.2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。.如甲图所示，通常可先测量图中的线段 DCBDCE的距离（长度）2.如乙图所示，可先测ACDC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算要点诠释：,根据相似三角形的性质，求出 AB的长.AB的长..比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺=图上距离/实际距离;.太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线.在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比.视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）.仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角.【典型例题】类型一、相似三角形的性质6、8,按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE,则Sa♦1.如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为bcESabde等于(C.16:25B.14:25£B6、8,按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE,则Sa♦1.如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为bcESabde等于(C.16:25B.14:25£BDA.2:5D.4:21【思路点拨】相似三角形的面积比等于相似比的平方，但是一定要注意两个三角形是否相似【答案】B.【解析】由已知可得AB=10,AD=BD=5设AE=BE=x,贝UCE=8-x,25在Rt^BCE中,x2-(8-x)2=62,x=—,4由△人口回△ACB ’.rs^AACB2510Sabce：Sabde=(64-25-25):25=14:25,所以选B.【总结升华】关键是要确定哪两个是相似三角形举一反三【变式】在锐角△ABC中，AD,CE分另I」为BC,AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2,DE=2,求AC边上白高.【答案】过点B做BF,AC,垂足为点F,•••AD,CE分另1J为BC,AB边上的高,・・•/ADB至CEB=90,又•••/, -/BDB=/B, RtAADB^RtACEB,.1.——BE”即空CBABBE一，，——,且/・・•/ADB至CEB=90,又•••/, -/BDB=/B, RtAADB^RtACEB,.1.——BE”即空CBABBE一，，——,且/B=ZB,CB・.△EBW△CBA,.-.SABEDSABCA(DE： 2 1 I I 一AC-18-9DEAC1-一,又「DE=23…c - 1…「AC盟 Saabc=2ACBF=18".BF=6..已知：如图，在^ABC与ACAD中,DA/BC,CD与AB相交于E点，且AE：EB=1：2,EF//BC交AC于F点,△ADE的面积为1,求^BC讶口4AEF的面积.【答案与解析】 「DA//BC.・.△AD&△BCE .・$△adeSabce=AE:BE, 「AE：BE=1:2, •.SaadeS△bce=1:4. •S/\ade=1, '''S/\bce=4. •Sz\abc；S△bc=AB:BE=3:2, '''S/\ab(=6.一一一1---EF//BC..△AED△ABC---AE:AB=1:3, •・Saaef：SaabC=aE^：AB=1:9• ••Saaef=1=—.93【总结升华】注意，同底(或等底)三角形的面积比等于该底上的高的比；同高(或等高)三角形的面积比等于对应

底边的比.当两个三角形相似时，它们的面积比等于对应线段比的平方，即相似比的平方.举一反三：【变式】如图，已知中，9=5,EC=3，乂C=4，,点?在上,（与点AC不重合），0点在上.（i）当"QC的面积与四边形？月3（2的面积相等时，求CP的长.（2）当的周长与四边形的周长相等时，求cp的长.⑴: =$帙网唯，= PQHAB二@CQsmcb警管CA■一警管CA■一...一二.U-PQIIAB（2）•.・便2。的周长与四边形户AEQ的周长相等.-PQIIABL；+上;助一 I：：■<■「••「・：=6,:"CQsmcbTOC\o"1-5"\h\z,CP_CQ.CP_CP^CQ.CP_61 24:"CQsmcb.ACCBACAC+BC47 7类型二、相似三角形的应用C3.在斜坡的顶部有一铁塔AB,B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上。已知铁塔底座宽CD=12m塔影长DE=18m小明和小华白^身高都是1.6m,同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为 2m和1m,那么塔高AB为（ ）A.24mB.22m C.20m D.18m【答案】A.【解析】过点D做DNLCD交光线AE于点N,则DN=16=0.8,DN=14.4,DE2又..AM:MN=1.6:1,•.AM=1.6MN=1.6BD=1.6X6=9.6..塔高AB=AM+DN=14.4+9.6=24所以选A.【总结升华】解决本题的难点是把塔高的影长分为在平地和斜坡上两部分；关键是利用平地和斜坡上的物高与影长的比得到相应的部分塔高的长度.举一反三：【变式】已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下 1.5m宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高度 BC.【答案】作EHDC交ADTF.AD//BE,/儿这二NBEC又二，NDEF二AECS二90°,

DEEFeEF=AB=1.8m.ECCBCB

EFxECDE.AB//EF,AD//BE,l.Sxl.21.5二•DEEFeEF=AB=1.8m.ECCBCB

EFxECDE.AB//EF,AD//BE,l.Sxl.21.5二•四边形ABEF是平行四边形,.学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量路灯的高度，并探究影子长度的变化规律.如图，在同一时间，身高为］6nl的小明（WB）的影子EC长是3m，而小颖（册）刚好在路灯灯泡的正下方巴点，并测得=6m• （i）请在图中画出形成影子的光线，交确定路灯灯泡所在的位置 0；（2）求路灯灯泡的垂直高度GH；（3）如果小明沿线段3H向小颖（点h）走去，当小明走到RH中点4处时，求其影子 的长；当小明继续走剩下路程的工到与处时，求其影子4a的长；当小明继续走剩下路程的工到用处，…按此规律继续走下去，当小3 4明走剩下路程的」一到凡处时，其影子1t的长为 m（直接用月的代数式表示）.«+1K-GG【思路点拨】本题考查相似三角形的应用；借助相似三角形确定比例线段是本题的关键.AB_BC1.6_3【答案与解析】（1） （2）由题意得：MBC^GHC,GH~HC,fflT_6+3,..Gtf=48gAA久 A片4G（3）△给C®Gg, 景,设长为m,则竺二上，解得：工二之5）,

11 4.8x+3 21.6即％,„, 3即耳C］二一（m）.同理获二口广Q，解得即耳C］二一（m）.t.o ti 川+1【总结升华】本题是相似性质的运用与找规律相结合的一道题，要注意从特殊到一般形式的变换规律相似三角形的性质及应用--巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题.如果一个直角三角形的两条边长分别是 6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是 3和4及x,那么x的值（ ）A.只有1个B.可以有2个C.有2个以上，但有限 D.有无数个.若平行四边形ABCD43,AB=10,AD=6,E是AD的中点，在AB上取一点F,使△CBD△CDE则BF的长为（ ）.A.1.8 B.5 C.6或4 D.8或2.如图，已知d>e分别是A4BC的ab、ac边上的点，DE'/BC,且，S眦琪皮耳=1,81那么RSTU等）A.1:91:31:8）A.1:91:31:81:2点，则4AED的面积：四边形ADG用勺面积=（） A. 1:2 B. 点，则4AED的面积：四边形ADG用勺面积=（） A. 1:2 B. 2:1 C. 2: 3 D. 3:25.如图，将^ABC勺高AD四等分，过每一个分点作底边的平行线，把三角形的面积分成四部分 S、S2、S3、S4,则S1：S2：S3：S4等于（ ）A.1：2：3：4 B.2 ：3：4：5 C.16..如图，在DABCD43,E为CD上一点，DESzxdef：Saebf：Saabf等于()A.4:10:25 B.4:9:25 C.2:：3：5：7 D.3：5：7：9CE=23,连结AE、BEBD,且AE、BD交于点F,则&DECSaCEB1S/XDEC_2 Saaeb、填空题7.如图，梯形ABCM,AB//CD,ACBD相交于点E,.如图，△ABC中，点D在边AB上，满足/ADCWACB若AC=2AD=1,贝UDB=..如图，在4PAB中，MN是AB上两点，且△PM渥等边三角形，△BPMh△PAN则/APB的度数是.如图，△ABC中，DE//BC,BE,CD交于点F,且S*fc=3Sfd，贝US^de：S*bc=..如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD,当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m,两个路灯的高度都是9m则两路灯之间的距离是.如图，锐角△ABC中，AD,CE分另I」为BC,AB边上的高，△ABC^△BDE的面积分别等于18和2,DE=2则AC边上的高为.三、解答题13.为了测量图（1）和图（2）中的树高，在同一时刻某人进行了如下操作：图（1）:测得竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，树影AE长2.4米.图（2）:测得落在地面的树影长2.8米，落在墙上的树影高1.2米，请问图（1）和图（2）中的树高各是多少？

(2)(2).(1)阅读下列材料，补全证明过程： 已知：如图，矩形ABC阴，ACBD相交于点OOaBC于E,连结DE交O什点F,作FGLBC于G求证：点G是线段BC的一个三等分点.0E ] Eg OF ] EF ]证明：在矩形ABCD^,OELBCDC!BC，OE/DCv——=一，，一=——=一.，一=-,DC 2 FD DC 2 ED 3(2)请你仿照(1)的画法，在原图上画出 BC的一个四等分点(要求保留画图痕迹，可不写画法及证明过程).已知如图，在矩形ABCD43,AB=12cmgBC=6cm点E自A点出发，以每秒1cm的速度向D点前进，同时点F从D点以每秒2cm的速度向C点前进，若移动的时间为t,且0wtw6.(1)当t为多少时，DE=2DF(2)四边形DEBF的面积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由.(3)以点HE、F为顶点的三角形能否与^BCD相似？若能，请求出所有可能的 t的值；若不能，请说明理由.J)所以=又由"1+&31jJ,可得J)所以=又由"1+&31jJ,可得片二科,下略.DE6.A.DABCD43,AB//DC,ADEF^△ABF,——ABDFBFDF2A=——=-=—,(△DEFBF510【答案与解析】一•选择题1.【答案】B.【解析】x可能是斜边，也可能是直角边2.【答案】A.3.【答案】B.4.【答案】D.5.【答案】C.【解析】本题要求运用相似三角形的面积比等于相似比的平方。由与^EBF等高，面积比等于对应底边的比 )，所以答案选A.1 „,Sadec 1 DE 1、填空题7.【答案】一.【解析】•「 =二，且4DEC与△CEB是同高不同底的两个三角形，即 ——=一.因为4 Saecb2 EB 2AB//CD,所以△AB//CD,所以△DE6△BEA,所以S^MDEi“：」SAAEB EB一2一4AC AD AC222.【答案】3.【解析】 ./ADCWACB/DACNBAC,，△ACD^△ABC,，——=——,AB==二=4AB AC AD 1 'BD=AB-AD=4-1=3..【答案】120°.【解析】: △BPMh△PAN /BP阵/A,.•△PM渥等边三角形，， /A+/APN=60即/APN吆BP阵60°, /APB=/BPM+MPN+APN=60°+60°=120°..【答案】1:9【解析】••&EFC=3Saefd,•.FC:DF=3:1,又DE//BC,.,.ABFC^^EFD,即BCDE=FC:FD=3:1,由AADaAABC；IPSAade：SAabc=1:9..【答案】30m. 12. 【答案】6.【解析】•「AD,CE分别为BC,AB边上的高，BD八一BD八一=——,• ABS△DBEBE・・•/ADB4BEC=90,ZABD=/EBC.RtMBNRtACBE- BC••・相似三角形面积比为相似比的平方，， 但〕=竺=9, .•・丝=3,DE2 DE.•.AC=3DE=32=6，h=2SAABC/AC=Z18/6=6即AC边上的高是6. 一一，一 CECD二、解答题13.【解析】(1),「△CDa△ABEE, ——=——,又竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，树影AEAEAB长2.4米， AB=1.92米.即图1的树高为1.92米.「(2)设墙