九年级数学第二十八章锐角三角函数综合习题大全(含答案)

九年级数学第二十/瞳锐角三角画数综合习题大全（含答案）

马航MH370客机"失联",我国"海巡01号窜性搜寻.如图某天上午9

时,“海巡01号”轮船位于A处，观测到某小岛P位于轮船的北偏西67.5°,轮

船以21海里/时的速度向正I防向行驶，下午2时该船到达B处，这麻QB测到

小岛P位于该船的南偏西30。方向，求此时轮船所处位■B与小岛P的距离?

（精陶到0.1）

【答案】向阳号轮船所处位置B与城市P的距离为100海里.

【丽】

试题分析：首先根据题意可得PC0AB,然后设PC=x海里，分别在Rt0Ape

中与RtEPCB中，利用正切函数求得出AC与BC的长，由AB=21x5,即可得

方程，解此方程即可求得x的值，继而求得答案.

试题解析:过点P作PC0AB,垂足为C,设PC=x海里.

在RtElAPC中，回tanE]A=土,

PC5x

团AC=----------=—•

tan67.5012

在RtElPCB中,0tan0B=££,

团AC+BC=AB=21X5,

解得Y=60.

HsinZB=-----,

PB

^PB=-PC-=―60-=60x2=100(海里).

sinZBsin36.9°3

回向阳号轮船所处位置B与城市P的距离为100海里.

92.在直角坐标系中，过原点。及点A(8,0),C(0,6)作就OABQ

连结OB,点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连结DE，作DRsDE,

交OA于点F,连结EF.已知点E从A点出发，以破1个单位长度的速度在

线段AB上移动，设移动时间为t秒.

(1)如图［，当t=3时，求DF的长.

(2)如图2,当点E在线段AB上移动的逑程中,田DEF的大小是否发生

变化?如果变化，请说明理曲；如果不变，清求出tansDEFMfi.

(3)连结AD,当AD蒯DEF分成的两部分的酬之比为1:2时，求相

应的t的值.

【答案】d)3;(2)0DEF的大小不变,tan0DEF=2;(3)停或堂.

44117

【详解】

(1)当t=3时，点E为AB的中点，

0A(8,O),C(O,6),

团0A=8,OC=6,

团点D为OB的中点,

0DESOA,DE=-OA=4,

2

回四边形OABC是矩形，

BOA0AB,

HDE0AB,

fflOAB=0DEA=9O°,

又回DFE1DE,

0HEDF=9O°,

回四边形DFAE是矩形，

0DF=AE=3;

(2)0DEF的大小不变，・理由如下：

作DME1OA于M,DN回AB于N,如图2所示：

回四边形OABC是矩形，

E1OA13AB,

回四边形DMAN是矩形,

0BMDN=9O°,DM0AB,DN0OA,

BDBNBDAM

LH=-'，-------------，

DONADOOM

团点D为OB的中点，

EIM、N分别是OA、AB的中点，

0DM=-AB=3,DN=LOA=4,

22

H0EDF=9O°,

EBFDM=BEDN,

又回回DMF=E)DNE=90°,

EBDMFEEDNE,

_DFDM3

121=-------=―/

DEDN4

0BEDF=9O°,

DF3

Btan0DEF=----=—,

DE4

(3)作DM团OA于M,DN团AB于N,

若AD将回DEF的面积分成1:2的两部分,

设AD交EF于点G,则点G为EF的三等分点；

①当点E到达中点之前时，如图3所示，NE=3-t,

4

325

团AF=4+MF=--t+—,

44

团点G为EF的三等分点,

3/+712

0G一t),

123

设直线AD的解析式为y=kx+b,

把A(8,0),D(4,3)代入得：工常

解得：f=-4,

b=6

团直线AD的解析式为y=--X+6,

把G(蛆22t)代入得：t=3;

12341

②当点E越过中点之后，如图4所示，NE=t-3,

图4

由EJDMFlfflDNE得：MF=2(t-3),

4

325

团人口即十+彳，

团点G为EF的三等分点，

一,3f+231、

团G(----/—t)I

'63

代入直线AD的解析式y=-3x+6得：t=W;

417

综上所述’当AD^DEF分成的两部分的面积之比为1:2时，t的值%

或工.

17

考点：四边形综合题.

93.如图，在SABC中，BB为锐角，AB=3JT,BC=7,sinB=孝，求

AC的长.

【答案】AC=5

【丽

【分析】

作AD0BC于点D,由AB=3",sinB=立可得AD=BD=立AB=3,

22

可得DC=4,在RtMCD中，AC=4AD2+CD2=5.

【详解】

解：作ADaBC于点D,

BBADB=EADC=90°,

0sinB=

EH3B=E1BAD=45°,

EAB=3J2,

回AD=BD=2^AB=3,

2

0BC=7,

0DC=4,

团在RWACD中，AC=JAD2+CD2=5•

【点睛】

本题主要考查解直角三角形、锐角三角函数及勾股定理.

94.在新修建的石家庄到天津的高速公路的同TH有A、B两个域黑，如

网所示，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AE=2km,BF=3km,

"=12km,要在高速公路上E、尸之间建f出口。，使A.8两幡!1。的

距离之和最短，在四中画出点Q所在位■,并求出这个最短距离.

B

I[

MEFN

【答案】点Q位置见详解，13km

【分析】

作点8关于MN的对称点C,连接AC交MN于点。，则点。为所建的出口；

此时4、8两城镇至I」出口Q的距离之和最短，最短距离为AC的长.作AO_L8C于

D,根据勾股定理，即可求解.

【详解】

作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点。，则点。为所建的出口；

此时A、B两城镇到出口Q的距离之和最短，最短距离为AC的长.

作ADJ.8C于。,

团^3EZV1Z)C中,AD-EF=12,DC-AE4-CF=2+3=5,

回AC=JAD2+DC2=J122+52=13

回这个最短距离为13km.

【点睛】

本题主要考查两线段和最小值问题，通过轴对称，把两线段和最小值问题化

为"两点之间线段最短"问题，是解题的关键.

已知梯形中，,过点在

95.ABCDADQBC,AD=1fBC=2,sinB=2C

5

fflBCD的内部作BA于点E,使WfflDCE=E8B.

(2)当点E与点A重合时(如图2),求AB的长；

(3)当团BCE为直角三角形时，求AB的长.

【答案】(1)2；(2)8";(3)2或生

8547

【丽

试题分析：(1)作AM团DC交BC于点M,AHE1BC于点H,AD=1,BC=2,

sinB=3，得到AM=AB,BH=HM=.L,结合三角函数的定义可以求得AB的

52

长.

(2))由AD回BC彳导至脏］DAC=E1ACB,又EEDCE=®B,03ADG30CAB，彳导至I」

AC2=AD・BC,求得AC的长度，结合勾股定理，即可构造出关于AB的方程，

解方程即可求得相应的AB的长度.

(3分两种情况来讨论如图3-1，当BE0CE时即DCE=E1B旦B+E1BCE=9O°,

EEDCE+回BCE=90°,作AHE1BC,贝!]HC=AD=1,EBH=BC-HC=2-1=1，由sinB

即可求得cosB的值，继而求得AB的长度;如图3-2,当BC0CE时,延长DA

交CE的延长线于点F,由回FDG313CEB,可以得到AE的长度，继而求得AB的

长度.

试题解析：（1）如图1,作AM0DC交BC于点M，作AH0BC于点H,

BAD0BC,BAMCD为平行1四边形，

0AM=DC,MC=AD=1,

回BM=BC-MC=2-1=1,

回四边形ABCD为等腰梯形，

0AB=DC,回AB=AM,0BH=HM=-BM=1

22

在直角三角形ABH中，

c-cAH3

0sinB=，=—t

AB5

ccBH向BH4回45=2.

HcosB=-_-»回----=一

ABAB58

(2)如图2,BAD0BC,

EBDAC=E1ACB,

OTDCE=0B,

函ADC国CAB,

ADAC

国---=----/

ACBC

E1AC2=AD・BC=2,

作AFEJBC于点F,

设AB=x,团sinB="_,

AB

AL3r_4

0AF=-x,DBF=_x,

0CF=2--^x/

在直角三角形AFC中，AF2+CF2=AC2,即：(2x)2+(2-^X)2=2,

回A手，

即当点A与点E重合时，AB=8+W，或者AB=8-".

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(3)EEBCE为直角三角形，

EBE0CE或BCI3CE,

情况一，当BE0CE时,如