考前三个月(浙江文理通用)高考知识·方法篇练习：数学方法第42练含解析

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第42练配凑法与构造法

［题型分析高考展望］配凑法是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两

端，使两端变量各自相同，解决有关不等式恒成立、不等式存在(有)解和方程有解中参数取

值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知.构造法解题有时虽然

经历了一条曲折迂回的道路，并且往往经历了更多的巧思，联想，挖掘，但是它往往能独辟

蹊径，顺利解决问题.这有利于让学生形成挖掘题目隐含条件的良好习惯，有利于提高学生

的创造性思维品质，从而提高创新意识，也有利于培养学生的研究能力.

高考必会题型

题型一配凑法

例1已知函数_/(x)=x3+3ax—1的导函数为，(x),g(x)=f'(x)—ax—3.

(1)若x-g'(x)+6>0对一切x22恒成立，求实数a的取值范围；

(2)若对满足OWaWl的一切。的值，都有g(x)<0,求实数x的取值范围.

解(x)=3N+3a,；.g(x)=3/+3a-ax-3,

g'(x)=6x-a,

即6/-ar+6>o对一切x22恒成立=a〈6x+:对一切x22恒成立，

记/?(x)=6x+,则在x22上恒成立,

(x)=6-%在x22上恒大于0,

.♦/(X)=6x+：在x》2上单调递增，

：

.h(x)mi.n=/i(2)=15,

a<\5.

(2)ga)=3N+3a•分・3<0对一切OWaWl恒成立，

若工=3,则g(x)=3/+3〃・・3=24>0不满足，

3-3工23-3x~1

若.TV3,则a<对一切OWaWl恒成立=>1=>0<JC<,

3-x3-xQ3

3-3%2_3-3%2

若心>3,则a>对一切OWaWl恒成立=''<0=>3-3x^>0=>-1<X<1,

3-x3-x

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综上所述，

点评高考数学试题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相

联系，其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函

数有关的求解参数的题目，相当一部分题目都可以避开二次函数，使用分离变量，使得做题

的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用，越来越多的压轴题都需要使用该思想方法.

变式训练1设非零复数”，满足。2+必+/>2=(),求(三工)1998+(—^)1998.

a-vba+b

解由展+ab+"=0变形得，(粉+^+1=0,

设(0=：,贝U3+①+1=o,

可知①为1的立方虚根，

所以5=',03=03=1.

又由.2+帅+岳=o变形得(0+又=ab,

…ab

所以()1998+()1998

a+ha+h

=0)999+a,999=2.

题型二构造法

例2求证：ln(l+〃)vl+o+q++…+.

234/1n

证明构造函数段)=ln(l+x)・x(x>0),

函数/U)在(0,+8)上单调递减，

所以当x>0时，有於)<式0)=0,

即有ln(l+x)<x(x>0),

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因而有ln(l+])<1,ln(l+

ln(")<；,…，ln(l+；)<；.

故ln(l+j)+ln(l+/)+ln(l+§)+•••+ln(l+~)

即ln(l+n)<l+4+J+J+…

''234n

点评构造法在高中数学中已有了比较广泛的应用，它是数学方法的有机组成部分.是历年

高考的重点和热点，主要依据题意，构造恰当的函数解决问题.首先解题中若遇到有关不等

式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，用函数的观点加

以分析，常可使问题变得明了，从而易于找到一种科学的解题途径.其次数量关系是数学中

的一种基本关系，现实世界的复杂性决定了数量关系的多元性.因此，如何从多变元的数量

关系中选定合适的主变元，从而揭示其中主要的函数关系，有时便成了数学问题能否“明朗

化”的关键所在.

变式训练2求证：In2V\+…+；<ln3.

〃十1〃十23〃

x-1

证明构造函数於)=In1v(x>0),

1ix-1

a)=)〉显，函数段)在(1，+8)上单调递增，

在(0,1)上单调递减.

x-1

所以有於>=Inx-v为⑴=0,

X-1k

即Inx>------(x>0)，令X二----,

xL+I

k11

因而有In------>-7,即p>ln(攵+1)-In攵，

所以有++…+2>ln(3〃+1)-ln(n+1)

〃+1〃+2

3〃+1

=In21n2.

n+1

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—左+]11

同理有In—;―>,即<ln(Z+1)・In左，

kk+1k+1

所以有一'—+—■—+…+；vln(3〃)-InH=In3,

n+ln+23〃

故有ln2<_^+1+•••+?<ln3.

n+1n+23"

高考题型精练

1.当工=5+1时，求y=；%3—"一工+1的值.

解由条件得工二5+1,所以x・1=5,

构造冗-1的因式，丁二+-%2-X+1

=；(炉-2x2-2x+2)=；[x(x-12-3x+21

=1(3x-3工+2)=1.

2.已知a,b,c为正数，求函数产出2+展+1化一铲+数的最小值.

解构造向量。=(X,a),b=(c・x,b),则原函数就可化为丁二以1+制20+加

=JQ+c-x)2+(a+by

=，c2+(a+by,

,Ki『也+("b)2.

3.求证：一；.寸4-9"-2xW3I3

证明令产业-9x2(y20),

则其图象是椭圆:+?=1的上半部分，

9

设y-2x=m，

于是只需证W/口,

因m为直线y=2x+机在y轴上的截距,

由图可知：当直线)，=2x+m过点(；，0)时，

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m有最小值m=-,

当直线>，=2x+〃i与椭圆上半部分相切时，加有最大值.

y=2x+m,

由，得13/+4机尤+机2-4=0.

9%2+y2=4,

令/=4（52-9加2）=0,

/B媪亘-仝

何1m=3一或m=~一（舍），

即机的最大值为,

如4「一2/

故・gWmWq—,

即-；川4-9x2_

4.求函数产出十5—x的最大值.

解由根号下的式子看出x+1-x=1且OWxWl,

故可联想到三角函数关系并构造x=sin20（0WeW；）,

所以y二sin夕+cos0=啦sin（。+；）,

IT1

当6=4，即x=o时，

y=也

,max.

5.（2015•福建）已知函数式x）=lnx—

（1）求函数7U）的单调递增区间；

（2）证明：当x>l时，危）Vx-1；

⑶确定实数人的所有可能取值，使得存在%>1，当xC（l,/）时，恒有人x）>k（x-l）.

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1-x2+x+1

⑴解f'(x)=x-x+\=x,xe(O,+8).

x>0,

由/''(x)>0得’

「x2+X+]>0,

解得0<x<

故./(x)的单调递增区间是0

(2)证明令F(x)=fl,x)-(x-I),x£(0,+8),

1-X2

则有F'(x)=*-

当xG(l,+8)时，尸(x)<0,

所以尸(x)在(1,+8)上单调递减，

故当x>1时，F(x)<F(l)=O,

即当x>1时，/)<x-1.

⑶解由⑵知，当k=1时，不存在%>1满足题意.

当k>1时，对于x>1,有/(x)<x-1<k(x-1),

则以)<%(x-1),

从而不存在外>1满足题意.

当kV1时，令G(x)=於)-Z(x-1),xe(O,+8),

1-x2+(1-k)x+I

则有G'⑴=(-x+1■女二无

由G'(上)=0得，・/+(1・攵)元+1=(),

1-k・\/(1・4)2+4

v

解得七=2<0,

1・k+

X2=

当XG(1,凡)时，G'(尤)>0,

故G(x)在(1,X,)内单调递增.

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从而当xd(l,%)时，G(x)>G(l)=O,

即府)>%(x-1).

综上，k的取值范围是（-8,1）.

6.设a为实数，证明以匹45,或2一。+1,为边长可以构成一个三角形,且三

角形的面积为定值.

解由于

52+°+1

=\ja2+P-2XaX1Xcos120°.

构造合乎要求的几何图形如图所示：

AD=DF=BC=a,

AB=BE=CD=l,

ZDAB=60°,

ZCBE=120°,

于是AF=2a,AE=S,

EF=，(2a)2+(小>=q4a2+3,

AZ)=a,A8=1,

FC=DB='\/a2+12-2XaXlXcos60°=yja2-a+1,

BC=atBE=I,

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CE=yja2+12-2X«XlXcos120°=也+a+1.

所以以+3,-a+1,1〃2+。+1为边长可以构成一个三角形,即△£1(7尸.

则S—S-S

/\ECFAECF/SAEF

=35+S+5-5

zMfiD^ABEABCEA4EF

=3X；X“XlXsin60°+；X1X1Xsin120°+；X〃X1Xsin120°-；X2“x5=乎.

7.椭圆C：导$1(a>/>0)的离心率吗，其左焦点到点尸(2,1)的距离为E.

(1)求椭圆C的标准方程；

⑵若直线/：丫=履+巾与椭圆C相交于A,8两点(A,8不是左，右顶点)，且以AB为直径

的圆过椭圆C的右顶点.求证：直线/过定点，并求出该定点的坐标.

解(1)：左焦点(-c,0)到点P(2,l)的距离为®,

；.，(2+c)2+1=^10,解得c=L

又e=：=；,解得a=2,=42-c2=3,

.•.所求椭圆C的方程为1+；=l.

⑵设A.,%),8弓，为)，

y=fcx+777,

由］"於

14+23=1一

得(3+4N)12+8mkx+4(m2-3)=0,

A=64加上-16(3+4心)(加.3)>0,

整理得3+4k2>m2.

-8mk4(团2-3)

+X=,XX—,

123+4N123+4上

3(〃?2-4k2)

k2xx+

y}y2=(履］+"?)(履2+m)=］2相鸣+X2)+加2=3+4..

・・,以A8为直径的圆过椭圆的右顶点。(2,0),

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•'•V2+XlX2'2(Xl+X2)+4=01

.3(，"2-442)4(«2-3)I6mk

+++4=0.

3+4依3+4N3+4依

整理得7m2+16mk+4依=0,

解得勺=-2k,m2=-y.

且满足3+442-m2>o.

当团二-2%时，/：y=k{x-2),直线过定点(2,0)与已知矛盾；

当机=S时，/：y=("),直线过定点。，0).

综上可知，直线/过定点，定点坐标为(；,0).

8.已知函数/(x)=lnx-a(x—1),«GR.

(1)讨论函数ZU)的单调性；

InY

⑵当时，於)W黯恒成立，求a的取值范围.

1-ax

解(iyu)的定义域为(0,+8),/(©=一^.

若后o,则/(x)>0，益)在(0,+8)上单调递增，

若a>0,则由/(x)=0，得x,

当xG(0,：)时J'(x)>0,

当xd©,+8)时,f(x)<0.

.../(x)在(0,：)上单调递增，在(:，+8)上单调递减.

综上，当aWO时，式x)在(0,+8)上单调递增；

当心0时，益)在(0,〉)上单调递增，在(：，+8)上单调递减.

2

\nxxlnx-a(x-1)

(2)方法一於)-

x+1x+1

令g(%)=xlnx-a(x2・1)(x21),则

g'(x)=Inx+1-lax,

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令F(x)=g'(x)=Inx+1-lax,

1-lax

贝厅(x)=”,

①若"WO,F'(x)>0,g'(x)在［1,+8)上递增，

g'(x)》g'⑴=1-2a>0,

.”(x)在［1,+8)上递增,g(x)2g(l)=O,

从而Ax)-@上20,不符合题意.

x+1

②若0<d<2，当x£(l,I)时，F'(x)>0,

...g'(X)在(i,L)上递增，

从而g'(x)>g‘(1)=1-2a>0,

；.g(x)在［I,+8)上递增，g(x)2g(l)=O,

从而式x)-Ex、。，不符合题意.

x+1

③若a*,F'(x)W0在［1,+8)上恒成立，

・・.g'(x)在［1,+8)上递减，g'(%)这g'⑴=1•2aW0.

一Inx

从而g(x)Wg⑴=0,fix)-"<0,

x+1

综上所述：a的取值范围是e，+8).

方法二当时，於)恒成立等价于［),

x+1x+1

,Inxxlnx

令力(x)=lnx-------=-------,g(x)=a(x-1),

x+1x+1

x+1+lnx

h'(x)=----------丁,

(x+l)2

Vx>l,：.h'(x)>0,

即九⑴在［1,+8)上是增函数，屋(幻=。，

:当a>0时，g(x)在［1,+8)上是增函数.

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又~（1）=8（1）=0,/i（x）Wg（x）（x》l）恒成立,

只需/?'（i）Wg'（1）,即:h.

故。的取值范围是［1,+8）.

合理分配高考数学答题时间

找准目标，惜时高效

——合理分配高考数学答题时间

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