结构动力知识学知识题解答(三四章)

第三章多自由度系统

3.1试求图3-10所示系统在平衡位置附近作微振动的振动方程。

图3-10

解：(1)系统自由度、广义坐标

图示系统自由度N=2,选xl、x2和x3为广义坐标;

(2)系统运动微分方程

根据牛顿第二定律，建立系统运动微分方程如下：

〃[]£]=_勺（

1]-K2xl-X2）;

（X

m2x2=-K22-xJ-Kjtx,-XZ）-K5X2-K6X2;

〃3.巧二一火3（.巧一X，）一长4工3；

整理如下

，〃广工+（勺+K]）X]—=0；

（）X

m2x2-K2x1+K2+给+K5+长6叼-K33=0;

〃“工3一长34+（Kp+K4）工\=0；

写成矩阵形式

-Kz

（K二+吗+勺+a）1）

(3)系统特征方程

设xL=4]sin(d>r+/)，=A2sin(⑪f+@)，x3=43sm(@f+(p)

代入系统运动微分方程(1)得系统特征方程

OA

nro-

KA

32

A>=<0>；(2)

3[o

(4)系统频率方程

系统特征方程(2)有非零解的充要条件是其系数行列式等于零，

即

(Kj+K?-)-K?0

-K2(K2+K3+K5+K6-叱,)一k3=0；

0—K、(K3+一，”3&~)

展开得系统频率方程

((K]+)—〃“©■)((K?+K3+K5+长6)-)((X3+K4

一K三((K3+KJ-/〃3/■)—+K?)—)=0*

进一步计算得

((勺+K?)—〃“©-)((K?+K3+K5+K.)—)((K]+KJ-"与。-)

-K式(K3+Kj)一〃[3©-)—+K2)—叫。-)

=((勺+K2)(K2+K3+K5+K—m^co"<K二+K$+K$+K^)一〃[2(勺+K-»)o~

+/1?]刑2g4X(星3+)—〃?3&-)-K£((K3+Kj)—〃与公~)—K：((K]+K.)-)

=(K]+火2)«+^4)(^2+鸟+鸟+长6)—(K[+K2)(K2+鸟+K$+«6)〃?3/2

4

-(K3+K^)(K2+给+K5+K6M9-+(K2+K3+K5+K6)mjn^Ci)(3,

一/%(K]+K>>)(«3+K4-+(Kj+K.)〃?，/〃3。’+(K3+Kq)，〃]〃7r3’

--K2(^3+Kj)+K£/?I36)~-KW(K]+K?)+K

n

=一〃W〃2〃[3ry6+((K]4-K2)rn2h+(4+K4)mlm2+(K?+K3+K5+K+

+(K；〃】3+K；〃W〃3―/〃,(K]+K,KK3+Kj)—(K]+K,)(K-»+K3+K5+-6)〃，3).一十

+(勺+K2)(KZ+K4)(K2+K3+K5+K6)-K}(KZ+K』)-K；(K]+K2)

2

。6。6+。4&4+a2Ct)+〃o=0;=0;

其中

a,rm

a6=一[〃]〃S；4=(K1+K?)〃匕〃、+(«3+K_j)">”二+(K[+K3+K5+Kg)h3；

a2=Kf=3+K；〃“m3(K]+K,)(』3+KJ—(K]+K.)(K,++K5+K6)/nj*

a0=(勺+K2)(AT3+K4)(K2+KJ+K5+K6)-K；(Ki+K4)-Ki(Kl+K2);

求解方程（3）得系统固有频率

例=£.（〃?],〃??,〃?3,勺，长工，《3,Kj，长5,“6），（，=1,2,3）;(4)

（5）系统固有振型将系统固有频率代入系统特征方程（2）得系统固有振型,

即各阶振型之比：

_LdJ_=Q11_AF)j_=贮j_=贮

净=淳下=硬(5)

（6）系统振动方程

,sinle/+/])+<>sin(/,+%)+

心sin(d)31+%)=

心*）

(6)

心A尸

2)

=<泮，4>sin(0]，+弘)+“PA[>sin(ty2/+%)+<Af)>sin(fi>3t+(p3)

在方程（6）中含有6个待定常数：解）、考方小方叭、叫和―

它们由初始条件X[（0）、用（0）、4（0）、后（°）、*3（°）和工3（。）确定。

3.2若3.1题中m尸m3=m,m2=2m,,"4=!<,K2=K3=2K,K5=IQ=3K,求该系统的

固有频率和固有振型。

解：若mi=m3=m,m2=2m,,KI=K4=K,K2=K3=2K,Ks=K6=3K,

3

贝！Ja6=一，〃】啊叫=-2/n;

〃4=(K]+K))，〃2〃73+(K3+K4)〃7]7〃)+(K-)+K3+K54~K)〃7]，〃3

=2m2(K+2K)+2m2(2K+K)+m2(2K+2K+3K+3K)

=6m2K+6m2K+10m2K

=22in2K-

a、=K、"与+—〃】.(K]+K.)(长3+KJ—(K]+K.)(K、+K3+K5+K§)，〃3

=4K1〃+4K2m2-1SK2m-30K2m

=4K二〃J-44〃7K?

，o=(Ki+K2XA3+K4XA2+Ki+K5+K6)-K2(Ki+K4)-Ki{Kl+K2)

=(K+2Kx2K+K)(2K+2K+3K+3K)-4K2(2K+K)-4K2(K+2K)

=90内-12长3-1283

=66长3；

系统频率方程(3)成为

-2/M5(U6+22/n2Keo4+(4K2nr-44K2m)a)2+66K，=0;

化简

，"%6-lbn2K(i>4~(2K2m2-22K2m)(o2-33K'=0;

3.3求图3-11所示的三垂摆作微振动的固有频率和固有振型。

解：(1)系统自由度、广义坐标

图3-11所示的三垂摆系统自由度N=3,广义坐标取

6、%和名；

(2)系统中A、B、C三质点的坐标

xA=Lsm0t;yA=Leos*;

工B=Lsin"+Lsin%;=Lcos4-Lcos02；

xc=Lsin仇+Lsin+Lsin\yc=Lcos0L+Leos02+Leos;

(2)系统中A、B、C三质点的速度

xA=L01cos。［；yA=-L*sin仇;名L

cos

=L(6cosa+026?)；yCm

yB=一sinA+庆sin/);图3-11

xc=L(®icos仇+62cos生+&cos3);

yc=—sin4+&sin%+&sinW);

(3)系统中A、B、C三质点的动能

RA=?〃*；+*)=]山行；

2

=y)=g〃山[(&cos0Y+0zcos02V+(4sin劣+0Zsin^2)];

2

Tc—\-ni(x^+)=yml}[(4cosd[+02cos%+6、cos^3)+(&sin4+6Zsm6Z+&sin3『]；

因为对于微振动有

sind\4,sin%、%,sin区N区,cos«1,cos02Lcosax1;

T=；〃心优+；，〃/?(«+向)-+}〃/?(0+a+向)-;

(4)系统中A、B、C三质点的势能

V=-mgyA-mgyB-mgyc

=-〃?gL(3cosq+2cosa+cosg);

⑸L=T-V;

根据拉格朗日定理：

d(dLdL八

­=0

dt、d@Jd6i

得：

’3214勺00、a

£221V020<e>'=<0

02>+gz

J11,R.、000

(1)求固有频率和固有振型：

"32rq00、

-GTL221+g020=01

J11、°0

解得固有频率：

3\=0.6448忖

固有振型:

｛斓

3.4两端由弹簧支撑的刚性均质杆，质量均为没，在B处用钱链连接,如图3-12所示,如

选取B点的竖直位移y和两杆绕B点的转角q,g为广义坐标，试从特征方程出发，求

系统的固有频率和固有振型.

图3-12

(1)AB杆的动能：

AB杆的势能：

(2)BC杆的动能:

7+，8.]+-x—ml20^;

H心2J212・

BC杆的势能：

K=，〃g(y_gq];

(3)三根弹簧的势能：^=|^[(y-/^)2+(y+/a)2+r];

(4)L=7；+7；—(匕+匕+匕);

由拉格朗日方程可得：

2m

ml

T

ml

T

令

(5)由归一济加卜。

-1in•

令力=——少=>(l-2A)(l-62+6A2)=0

6k

4吐袅…—砰

617m

1,3k

解得：4=一@=—

2-m

4=.co；=(3+有。

6'7m

固有频率：

q=1.1260｛示,吗=1.7321J—,吗=2.1753J—

固有振型：

3.5试求图3-13所示系统的振动方程，并求其固有频率和固有振型。

解：（1）以为广义坐标,

建立系统的运动微分方程：

系统的动能：

T=3电+-/担一+2八年

系统的势能：

\/=；%年+；仁（旦一4『+；（（4—；

图3-13

L=T-V;

由拉格朗日方程得：

(2)当<=/2=(=/,6=£=(=K时

可得固有频率：

？=0.4450"不，吗=1.24711,8019J-

固有振型：

{*}'=1.802{(p\-=0.445{0=-1.247

2.247-0.8020.555

3.6图3-14所示的两均质杆是等长的，但具有不同的质量，试求系统作微振动的振动方

程，若叫=叫=m,kH,试求系统的固有频率和固有振型（设选取两杆的转角q

和2为广义坐标，其中q以顺时针方向为正，2以逆时针方向为正1

3/

7

皿

图3

一14

解：(1)系统的动能：

T=-x-m.l20^+-(—mJ2+—mJz)0,2

2311212-16--

=-mI20^+—mj20.2

61196--

(2)系统的势能：

1M31f1V11

v=—-10,——la+—A，-io.——〃Lg/q——m、gie,

2^4,4-)2-(2-)2114--

(3)建立系统的运动微分方程：

由拉格朗日方程

2

-mtl0l+-kll(-l0i--l0A--migl=0

3**41U14J21

=><

—--k.lt-10,--10.\+-k『6、--m,gl=0

[48--41U14J4--4-

由条件叫=m2=m,k、=k[=k,将上述方程整理

得：

从系统的特征方程解得

固有频率

例=0.6505⑥=2.6145

固有振型

11

{4={城=

0.7492-3.0508

3.7试从矩阵方程

冈仍｝=0；网｛/）｝

出发，左乘，利用正交关系证明

付）『（四也「j'［K］｛巧=0i=l,2.

其中n为系统自由度数。

解：由式［K］俨）｝=切也］33｝可得:

也门初卜3｝=切卜⑺｝;

㈣也门"因仍｝=（［刈也「广（阔也「）闾｛”｝

=（［勺町门区—判）

=（闾町―同伊｝）

=硝四［盯厂［灯俨）｝

=叼力可俨｝

｛叫'（因网斗勺｛叫=叼呼呼［勺｛吗

由正交关系可知：

叼"｛叫'［周俨）｝=0/9）

卜呼蔺阳一四代｝=0

结论得证.

3.8图3-15中简支梁有三个置于它的四分之一点处的质量。试以微小的平动M,%,为作为

位移坐标，梁的自重忽略不计，其弯曲刚度为EI,假设叫=m二=〃q=m,求系统的

固有频率和固有振型，对振型规范化并画出各阶振型。

44

图3-15

y

解：（1）2表示在〃L点作用单位力而在叫点产生的挠度。

利用图乘法可得:

同理：

cc11/5cc7/3

=6，i=--------；&=--------；

768EI13”768E/

U/3/33广

%=%=-^—;3^=-!—;8n=--

-33-768£7-48EI33256E1

(2)以各小竖向位移%,%，%为广义坐标，建立系统的运动微分方程：

>'1=一/叫尤一^12^2~4,叫凡

,y2=一/网乂-—

%=一名〃由一为叫％―-网―

整理成矩阵形式：

3广ll/57/3

256EZ__一一一一

168EI768EIm\\100);

ll/3Pll/3

/nV,4-010y,=0；

768E/48£7768EI[唠][o0

7/5ll/53P

768E/168EI256EI

固有频率：

固有振型：

1I「1]r1

®｝'=1_4142®『=0｛。｝'=-1.4142

1-11

［。］=［｛婢｛婷｛吧

正规化：

0.164400

00.00520

000.0023

[2.5｛研1

｛研]=Jo..1644'!(”p]=

｛蕾=13.9｛城｛研K=20.8｛城

各阶振型图:

振型3

3.9—轻型飞行器的水平稳定器被简化为3个集中质量系统的模型，见图3-16,其刚度、

质量矩阵和固有频率及模态形状已经求出。若飞行器遇到一突然的阵风，其产生的阶跃

力为

500'

p(/)=100/(/)

〔畋

其中/(f)是单位阶跃力，如图3-16.

(1)确定模态响应与。)表达式，假设V(0)=U(0)=0;

(2)确定匕(r)响应的表达式，并指出个模态的贡献。

其中

-0.0656-0.15380.1220

[k]=-0.15380.4797-0.5843xlO5

0.1220-0.58431.2593

0

6.0

0

co-=59900ty?=13300003。=8400000

8031-4.961.70

[(p\=4.085.36-435

1.103.805.71

Vif

V；'V3

P

p2p3

■

八f(t)

1------

图3-16

解：（1）进行坐标变换：

{*=[利抬}

100

［京］=同也］国=010

001

0.0600

[*]=["[刈固=01.33570xlO6

008.40

I4673

[户]=同p(/)=<-1564-f(t)

983

倡}={&o}=。

当(')=占(l—cosW，))7

K\l)

，^(7)=0.0779[1-cos(244.74/)]

^2(/)=-0.00117[l-cos(l153.37)]

刍(。=0.000117[l-cos(28983/)]

(2)

33

E〜

8.31

(l-cos(244.74/))(8.31x500+4.08x100+l.lOxN=1

0.06xl06

N=2

-4.96N=3

+1.3357x10s(l-cos(l153.3/))(-4.96x500+5.36x100+3.80x100)

+^-^^-(l-cos(2898.3r))(1.70x500-4.35x100+5.71x100)

=0.6472(1-cos(244.74/))]A/=1

N=2

+0,0058(l-cos(1153.3r))N=3

+1.995x1()7(i-cos(2898.3/))

3.10一栋三层楼房，如图3-17,其刚度、质量矩阵和固有频率及振型如下:

800-8000100

[打=-8002400-1600020

0-16004000002

姨=251.1ey?=1200.0to；=2548.9

-1.000001.000000.31386

[(p]=0.68614-0.50000-0.68614

0.31386-0.500001.00000

图3-17

(1)确定模态质量、模态刚度矩阵M,K;

(2)若p(/)=［1001001007cos(Q/),确定模态力;

(3)确定稳定响应&的表达式；

(4)用模态位移法确定/的响应，并指出各阶模态对响应的贡献，并列出当激振频率分别

为O=0.。=0.5外,。=；(用+%)时，%的振幅随截取模态数变化的表格。

解:(1)［刈=［阂1间固

2.138600

=02.000

003.0401

'53700'

1=024000

007748.9

(2)囹7P⑴

"200'

=0cos(Q/)

62.772

kr-mrco'

200cos(Q/)

I537—2.1386C'

Ocos(Q/)

0

2400-2.00Q2

62.772cos(Q/)

7748.9-3.0401Q:

(4)

31

可={〃al2

=(2.29167+1.04167+0.41667)xl0-3xl00cos(Q/)

,y200cos(Q/)“卡〈一刈J

1

251.1537-2.1386Q:合金£一叫苏

+—xO

1200

Q:0.31386x62.772cos(Q/)

+2548.9X-7748.9-3.0401Q2

1

(1X10+068614X100+031386X100)COS(Q/)

537-2.1386^°-

1

+2400-2QT:(1-0.5-0.5)X100COS(Q/)

+林黑6(°3138一O-gOOcosg)

200cos(Q/)

N=1

-537-2.1386蒙

+0N=2N=3

19.7010cos(QZ)

7748.9-3.0401Q:

阶数

N=1N=2N=3

激振频率

0=00.37420.37420.3749

Q=0.5例0.49660.49660.4992

0=3例+吗)

-0.1102-0.1102-0.1057

3.11当3.10题中的柔度矩阵为

2.291671.041670.41667

同=:「=1.041671.041670.41667xlO-3

0.416670.416670.41667

(1)用模态加速度法，确定与响应的表达式；

(2)像3-10题一样，列出当激励频率分别为Q=0,Q=0.5公。=；(q+9)时的％的

振幅随截取模态数变化的表格，并对结果加以分析。

31

解(1)%={%anal3}

E①r

=(2.29167+1.04167+0.41667)xl0-Jxl00cos(Qr)

Q2200cos(Q/)

+-----x--------------?

251.1537-2.1386Q-

Q2

1200

0.31386x62.772cos(QZ)

*2548.9>-7748.9—3.0401，~

=0.37500cos(«/)

0.7965cos(Q/)N=1

+Q2XN=2

537-2.1386Q2

N=3

+0

0.0077cos(Q/)

+Q-x

7748.9-3.0401。」

(2)%的振幅随截取模态数变化的表格

阶数

N=1N=2N=3

激振频率

Q=00.37500.37500.3750

Q=0.5例0.49910.49910.4992

C=g(利+应)-0.10760.1076-0.1057

和上一题所得结果比较可以看出：

(1)两种方法所得的结果基本相同，且随项数增加，两者差别变小。

(2)用模态加速度法的收敛速度比位移法要快.

例如当0=0时，用位移法各阶模态相加才收敛到0.3749,而用加速度法第一项

就收敛到0.3750。

第四章连续弹性体的振动

4.1一端固定，一端自由的均匀杆，在自由端有T簧常数为k的轴向弹簧支承(图4-23),

试推导纵向振动的频率方程，并对两种极端情形：(1)^=0,(2)kts,进行讨论。

解：w(x,t)=[A'sui(—x)+B^cos(—x)]sin(tyf+(p)

其边界条件为：

x=0处，“(01)=0；

x=/处,EA—=ku

dx图4-23

将〃(x,r)代入得：

B'=0;

EA=EAcos(.-^^)=ksin(.

Bxaa

得到纵向振动频率方程为

…加①I,.,3、

EA—cos(—)=ksm(—)

当kf0时，

cos(—)=0

当〃―8时，

双、4EA.

tai1(—)—-——=0

acolK

co-n7r—(〃=1,2,3…)

4.2一均质杆，两端都是自由端，开始时在端部用相等的力压缩，若将力突然移去，求其纵

向振动。

解：〃(xJ)=[A，sin(@x)+5'cos(@x)]sin(d+9)

无外力作用时，边界条件为：

x=0时,有"=0；

dx

x=/时，有半=0

ax

将它们代入振型函数

(/(x)=[A*sin(—x)+6Qcos(—x)]

aa

得

A'=0;

8名皿叫=0

aa

得各阶固有频率为

a

例=吗；

各阶主振动的表达式为

u„（x，O=B*cos（-=-x）Sing/+%）

a

在一般情况下，振动可以表示为各阶主振动的尊加，即

"（X"）=Z纥'cos（丁x）sm（ej+a）

“=1•

当f=0时，有

Pr.

〃=一EAX,

du

dt~

X

将初始条件代入"(Xj)=Z&'cos(竿X)sm(<yj+%)

"=1•

有

H(X,O)='cos(^x)sin«?„=一总

du,，〃乃、

~^=£BD；g—(了x)cos%=n0

由于上式要得到满足,必须有cos%=0,这样导致sin%=1,或（-1）,代入得

cos(Tx)=--x

为了求出8」，上式两边均乘以cos（竿x），（加=1,2…）

得到

Alp

跖=㈠产G'〃=L3,5-

4/Pf"c。s¥x)c°s(con、

"(%)=

EA.7T1w〃-I

4.3图4-24为一端固定，一端自由的圆等直杆.在自由端作用有扭矩M。,在t=0时突然

释放，求杆自由端的振幅。

wvv

解：e(x,1)=(Asin—x+6cos—x)sui(卬/+。)a=

aa

无外力作用时，图示杆的边界的牛为：

*=0

将其分被代入振型函教得：

B=0;

W.c

cos—/=0;

a

・•・得各阶固有频率为:

nrra〃万［G

vv=----二—/—n=l,3,5.

"212/V4

各阶主振动的表达式为：

Q（xj）=A,sm（*x）sin（w,J+或）

在一般情况下，振动可以表示为各阶主振动的蠢加，即

xm

8(x/)=ZAnsm(—x)sm(wnt+^)

»=1.3.•

当f=0时，有

XAsin-sm。(1)

G1P汪13…21

—L=VAwsin-xcos=0

droA2/%(2)

由（2）式可得cos0=0

/.sin^=+l(3)

将（3）式代入（1）得：

GIP421

为了求出A“，上式两边均乘以sin竺x,（m为正整数），

21

得

A-2%8/Mo

.VSUln=135,

『西!GIp

rt-1

2

〜、8/Mn(-1)./〃乃、

0(x,r)=——2-Z^4—sm(—.v)cos(vvnf)

kG/八为zr21

.•.自由端的振幅是

8/A/o宁(-产

z

齐GI「an

4.4一均质梁，一端固定，一端简支，试导出梁弯曲振动的频率方程，并写出固有振

型的表达式。

解：y(x,7)=X(x)y(/)

图示梁的边界条件为：

y|,t=/=onx(/)=o

y[=onx(o)=o

d2yd2X

ko=OnI=0

dx'0

而：

X(x)=AsinAx+6coskx+Cshkx+Dchkx

=Akcoskx-Bksinkx+Ckchkx+Dkshkx

dx

X(x)=-Ak2siiikx-Bk2coskx+Ck2shkx+k2Dchkx

代入边界条件得：

6+0=0;(1)

-B+D=0(2)

Asmkl+Bcoskl+Cshkl+Dchkl=0(3)

Akcoskl—Bksink/+Ckchkl+Dkshkl=0(4)

由（1）,（2）式得B=D=O;

Asmkl+Cshkl=0

由（3）,（4）式得

Akcoskl+Ckchkl=0

sinklshkl

=>频率方程：smklchkl-shklcoskl=0

cosklchkl

4.5—均匀悬臂梁，在自由端附有一质量为M的重物（图4-25）,设重物的尺寸远小于梁

长I,试推导该系统弯曲振动的频率方程并讨论M，〃时的基本频率。

解：对于图示悬臂梁的边界条件为：

x=0X(x)耳=0;

ax

x=l

y(x,t)=X(x)