九年级数学中考复习：一元二次方程的应用学案

第二章方程与不等式

第4节一元二次方程的应用

考点梳理

列一元二次方程解应用题的一般步骤：

(1)审题；

(2)找等量关系；

(3)设未知数；

(4)列方程；

(5)解方程；

(6)检验；

(7)写出答案.

■考点1增长率问题A

增长后的量=增长前的量x(1+增长率)

一般形式为a(1+x)2=b,a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有

关数量.

■考点2销售问题A

销售利润=销售价一进价

销售利润率=利润总额+营业收入xlOO%

销售毛利率=(营业收入一营业成本)+营业收入xlOO%

利润总额=营业收入一营业成本一费用

■考点3几何问题A

这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或者法则来寻找等量关系，构建方程，对

结果要结合几何知识检验。如，几何图形的面积、体积问题，可以按照面积、体积的计算公

式列方程。

■考点4求互相联系的两数A

求互相联系的两数：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整

数等形式.

■考点5赛制循环问题A

单循环赛比赛场次数=参赛选手数x(参赛选手数-1)+2

双循环赛比赛场次数=参赛选手数x(参赛选手数-1)

■考点6利率问题A

利息=本金x年利率(百分数)x存期

存n年的本息和=本金x(1+年利率)&即本金x(1+a%)11

■考点7传染问题A

公式：(a+x)n=M其中a为传染源(一般a=l),n为传染轮数，M为最后得病总人数

考点突破

■考点1：增长率问题A

◊典例：某种植基地2021年蔬菜产量为80吨，预计2023年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜

产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x,则可列方程为()

A.80(1+x)2=100B.100(1-X)2=80

C.80(1+2%)=100D.80(1+A2)=100

♦变式训练

1.(2022•宁夏)受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势.某地92号汽油价格

三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升.设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为

X,根据题意列出方程，正确的是()

A.6.2(1+x)2=8.9B.8.9(1+x)2=6.2

C.6.2(1+/)=8.9D.6.2(1+x)+6.2(1+x)2=8.9

2.(2022•四川眉山)建设美丽城市，改造老旧小区.某市2019年投入资金1000万元，

2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同.

(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；

(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元.2022年为提高老旧小区品质，每个小

区改造费用增加15%.如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造

多少个老旧小区？

■考点2：销售问题A

◊典例：某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及

时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1

元，每天可多售出2个.已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少

元时，厂家每天可获利润20000元？

♦变式训练

1.(2022•山东泰安)我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题："六贯二百一十

钱，遣人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽其大意为：现请人代买一批

椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的

运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合

题意的方程是()

A.3(x-1)%=6210B.3(x-1)=6210

C.(3x-1)%=6210D.3x=6210

2.2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和雪容融在一开售时，就深受大家的喜欢.某供应商

今年2月第一周购进一批冰墩墩和雪容融，已知一个冰墩墩的进价比一个雪容融的进价多

40元，用480元购买冰墩墩和用320元购买雪容融的数量相同.

(1)今年2月第一周每个冰墩墩和雪容融的进价分别是多少元？

(2)今年2月第一周，供应商将雪容融按每个100元的价格售出140个，将冰墩墩按每个

150元的价格售出120个.第二周供应商决定调整价格，每个雪容融的售价在第一周的基

础上下降了机元，每个冰墩墩的价格不变，由于冬奥赛事的火热进行，第二周雪容融的销

量比第一周增加了，九个，而冰墩墩的销量比第一周增加了0.2m个，最终商家获利5160

元，求m.

■考点3:几何问题〉

◊典例：王叔叔从市场上买了一块长80cm宽70a”的矩形铁皮，准备制作一个工具箱.如

图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个

底面积为3000cM的无盖长方形工具箱,根据题意列方程为()

A.(80-x)(70-x)=3000B.80x70-4x2=3000

C.(80-2A-)(70-2x)=3000D.80x70-4A2-(70+80)43000

♦变式训练

1.(2022・山东济南)利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重

要方法.如图1,8。是矩形ABCZ)的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和

一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a=4,b=2,则矩形ABCQ的面积是

BC8|«-力一►|c

图1图2

2.某新建公园需要绿化的面积为24000〃产,施工队在绿化了12000〃/后将每天的工作量增

加为原来的1.2倍，结果提前5天完成了该项目的绿化工程

(1)求该公园绿化工程原计划每天完成多少平方米？

(2)如图所示，该公园内有一块长30米，宽20米的矩形空地，准备将其修建成一个矩形花

坛，要求在花坛中修建三条等宽的矩形小道(图中阴影部分)，剩余地方种植花草，要使得

种植花草的面积为468〃/,那么小道的宽应为多少米？

■考点4：求互相联系的两数A

◊典例：如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3x3个位置相邻的

9个数(如6,7,8,13,14,15,20,21,22).若圈出的9个数，最大数与最小数的积为

192,求这9个数的和.

曰一二三四五六

34

1011

1718

2425

31

♦变式训练

1.已知3个连续整数的和为m,它们的平方和是n,且n=ll(m-8).则m=

2.小北同学在学习了“一元二次方程”后，改编了苏轼的诗词《念奴娇・赤壁怀古》：“大江

东去浪淘尽，千古风流人物.而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位

平方与寿同.哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，

该数的十位数字比个位小3,个位的平方恰好等于该数.”若设周瑜去世时年龄的个位数字

为x,则可列方程()

A.10(x+3)+x=%2B.10(x—3)+x=(x-3)2

C.10(x—3)+x=x2D.10(%+3)+%=(%—3)2

■考点5：赛制循环问题A

◊典例：某次围棋比赛采用单循环制(即每个选手必须和其余的选手都比赛一场)，共赛了

36场，则选手有名

♦变式训练

1.(2022.黑龙江)2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单

循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？()

A.8B.10C.7D.9

2.学校要组织一次篮球赛，赛制为单循环，共21场比赛.若比赛组织者计划邀请x个队

参赛，则x满足的关系式为()

A.|x(x+1)=21B.—1)=21

C.x(x+1)=21D.x(x-l)=21

■考点6：利率问题A

◊典例：小明的妈妈前年买了某公司的两年期债券5000元，今年到期(不计利息税)共得

本息和为5400元，则这种债券的年利率为

♦变式训练

1.某企业2021年初投资100万元生产适销对路产品，2021年底将获得的利润与年初的

投资的和作为2022年初的投资，到20222年底，两年共获利润56万元.已知2022年

的年获利率比2021年的获利率多10个百分点.如果设2021年的获利率是X,那么

下列所列出的方程中正确的是()

A.100(1+x)(l+x+10%)=156

B.100(1+x)(l+x+10%)=56

C.100x+100(1+x)(x+10%)=156

D.lOOx+100(1+x)(x+10%)=56

2.某大学毕业生为自主创业于2021年8月初向银行贷款360000元，与银行约定按“等额

本金还款法”分10年进行还款，从2021年9月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率

为0.5%,现因经营状况良好，准备向银行申请提前还款，计划于2026年8月初将剩余贷

款全部一次还清，则该大学毕业生按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少

()(注：“等额本金还款法''是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由

两部分组成.一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数；另一部分是利息，即贷款本

金与已还本金总额的差乘以利率.1年按12个月计算)

A.18300元B.22450元C.27450元D.28300元

■考点7.传染问题A

◊典例：有一只鸡患了禽流感，经过两轮传染后共有100只鸡患了流感，那么每轮传染中,

平均一只鸡传染的只数为.

♦变式训练

1.有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中

平均一个人传染的人数是人.

2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干

和小分支的总数是91,设每个支干长出x个小分支，则下列方程正确的是()

A.l+f=91B.(1+x)2=91

C.I+x+f=91D.1+(1+x)+(1+x)2=91

夯实基础

1.某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关

系.每盆植入3株时，平均单株盈利5元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单

株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利为20元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加x株花

苗，下面列出的方程中符合题意的是()

A.(%+3)(5-0.5x)=20B.(x-3)(5+0.5x)=20

C.(x-3)(5-0.5x)=20D.(x+3)(5+0.5x)=20

2.参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球

队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是()

11

A.-x(x+1)=110B.-x(x-\)=110

22

C.x(x+1)=110D.x(x-1)=110

3.某校九年级学生在七年级时就参加课改试验，重视能力培养，在七年级时就有48人次

在县级以上各项活动中得奖，之后逐年增加，到九年级结束共有183人次在县级以上得

奖，设这两年中得奖人次的平均年增长率为x,可列方程为().

A.48(1+x)2=183B.48(1+2x)2=183

C.48(1+x)+48(1+2x)2=183D.48+48(1+x)+48(1+x)2=183

4.如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形.为便于管理，

要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少

米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为()

A.35x20-35x—20%+2x2=600B.35X20—3sx—2x20%=600

C.(35-2x)(20-x)=600D.(35-x)(20-2x)=600

5.某年级举行篮球比赛，赛制为单循环赛,即每一个球队都和其它的球队进行一场比赛,

已知共举行了21场比赛，那么共有()支队伍参加了比赛.

A.7B.6C.12D.14

6.国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加.2017年至2019年我国快递

业务收入由5000亿元增加到7500亿元.设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增

长率为则可列方程为()

A.5000(1+2x)=7500

B.5000x2(1+%)=7500

C.5000(1+x)2=7500

D.5000+5000(1+x)+5000(1+x)2=7500

7.某厂把500万元资金投入新产品生产，年后获得了一定的利润，在不抽掉资金和利润

的前提下，第二年的利润率比第一年的利润率增加了8%,这样第二年净得利润112万元，

为求第一年的利润率，可设它为x,则解得第一年的利润率是()

A.10%B.11%C.12%D.13%

8.如图，在RtAABC中，AC=50m,BC=40m,NC=90。，点P从点4开始沿AC边向

点C以2m/s的速度移动，同时另一个点Q从点C开始沿8c以3m/s的速度移动，当△PCQ

的面积等于450nl2时，经过的时间是()

B.10sC.15sD.20s

9.某学习小组全体同学都为本组其他人员送了一张新年贺卡，若全组共送贺卡156张，设

这个小组的同学共有x人，可列方程：.

10.1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积

八百六十四步，只云阔不及长一十二步.问阔及长各几步.意思是：矩形面积864平方

步，宽比长少12步，问宽和长各几步.若设长为x步，则可列方程为.

11.在实数范围内定义一种运算“※”，其规则为。※6=4-6,根据这个规则，方程

（x+2）派9=0的解为.

12.如图，在一块长15团、宽10,”的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩

余分栽种花草，要使绿化面积为1264,则修建的路宽应为米.

13.某种商品经过两次降价后（每次降价的百分率相同）的价格为降价前的81%,则每次

降价的百分率为.

14.如图是一张长12cm,宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的

矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积24cm2是的有盖的长方体铁盒.则剪去的正方

形的边长为cm.

15.某种商品，平均每天可销售40件，每件赢利44元，在每件降价幅度不超过10元的情

况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，若每天要赢利2400元，则每件应降价

元.

16.如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把AA3C沿着AD方向平移，

得到夕C,当两个三角形重叠部分的面积为32时,它移动的距离AV等于.

17.“十一”黄金周期间，某旅游小镇接待游客达18.3万人次.该小镇美食无数，一家特

色小面店希望在今年长假期间获得较好的收益.经测算知，该小面的成本价为每碗6元，

借鉴以往经验：若每碗小面卖25元，平均每天能够销售300碗，若降价销售，每降低1

元，则平均每天能够多销售30碗.另外，为了维护城市形象，规定每碗小面的售价不得超

过20元，则当每碗小面的售价定为多少元时，店家才能实现每天盈利6300元?

18.列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，

决定在该村山脚下，围一块面积为600加的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广.如图

所示，茶园一面靠墙，墙长35根，另外三面用69加长的篱笆围成，其中一边开有一扇1〃?

宽的门（不包括篱笆）.求这个茶园的长和宽.

B

19.如图，在RtAABC中，ZB=90°,AB=8cm,BC=10cm,点P由点A出发，沿

4B边以lcm/s的速度向点8移动；点。由点8出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移

动.如果点P,Q分别从点A,B同时出发，问：

（1）经过几秒后，AP=CQ?

（2）经过几秒后，APBQ的面积等于15cm2?

20.某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月

可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克.

（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？

(2)当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？

(3)当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大?

考场演练

1.(2022•重庆)小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快

递店揽件日平均增长率为X,根据题意，下面所列方程正确的是()

A.200(14-%)2=242B.200(1-%)2=242C.200(1+2x)=

242D.200(1-2x)=242

2.(2022・重庆)学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植

树625棵.设该校植树棵数的年平均增长率为x,根据题意，下列方程正确的是()

A.625(1-%)2=400B.400(1+%)2=625

C.625/=400D.400x2=625

3.(2022•新疆)临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万

元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x,则根据题

意，可列方程为()

A.8(1+2x)=11.52B.2x8(1+%)=11.52C.8(1+x)2=11.52

D.8(1+x2)=11.52

4.(2022•广西河池)某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万

个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x.则所列方程为()

A.30(1+x)2=50B.30(1-JC)2=50

C.30(1+x2)=50D.30(1-x2)=50

5.(2022.江苏南通)李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元.若从1月

到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是()

A.10.5%B.10%C.20%D.21%

6.(2022・上海)某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月

的增长率相同，则增长率为.

7.(2022•浙江衢州)将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示.利用容积

列出图中x(cm)满足的一元二次方程：(不必化简).

>

8.（2022.青海）如图，小明同学用一张长11cm,宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为

21cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上

折叠即可（损耗不计）.设剪去的正方形边长为xcm,则可列出关于x的方程为.

9.（2022•湖南永州）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了

勾股定理的证明.如图所示，“赵爽弦图'’是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成

的一个大正方形，若大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,则4E=.

10.（2022.浙江杭州）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注

册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（x>0）,贝狂=（用

百分数表示）.

11.（2022・四川成都）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程支2—6%+

4=0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是.

12.（2022•江苏泰州）如图，在长为50m,宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道

路，余下的铺上草坪.要使草坪的面积为1260m2,道路的宽应为多少？

50m

13.（2022•辽宁沈阳）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCZ）,铁丝

恰好全部用完.

（1）若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？

（2）矩形框架ABCD面积最大值为平方厘米.

14.（2022•江苏无锡）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养

殖场一面靠墙（墙的长度为10m）,另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积

为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m,设较小矩形的宽为xm（如图）.

（1）若矩形养殖场的总面积为36m2,求此时x的值；

（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？

15.（2022.贵州毕节）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥

匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价）

类别

A款钥匙扣B款钥匙扣

价格

进货价(元/件)3025

销售价(元/件)4537

(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；

(2)第一次购进的冰墩嫩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进4、8两款冰墩墩钥匙扣共80

件(进货价和销售价都不变)，且进货总价不高于2200元.应如何设计进货方案，才能获

得最大销售利润，最大销售利润是多少？

(3)冬奥会临近结束时，网店打算把8款钥匙扣调价销售.如果按照原价销售，平均每天可

售4件.经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，

才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？

第二章方程与不等式

第4节一元二次方程的应用

列一元二次方程解应用题的一般步骤：

（1）审题；

（2）找等量关系；

（3）设未知数；

（4）列方程；

（5）解方程；

（6）检验；

（7）写出答案.

■考点1增长率问题A

增长后的量=增长前的量x（1+增长率）

一般形式为a（l+x）a为起始时间的有关数量，6为终止时间的有

关数量.

■考点2销售问题A

销售利润=销售价一进价

销售利润率=利润总额+营业收入xlOO%

销售毛利率=（营业收入一营业成本）+营业收入X100%

利润总额=营业收入一营业成本一费用

■考点3几何问题A

这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或者法则来寻找等量关系，构建方程，对

结果要结合几何知识检验。如，几何图形的面积、体积问题，可以按照面积、体积的计算公

式列方程。

■考点4求互相联系的两数A

求互相联系的两数：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整

数等形式.

■考点5赛制循环问题A

单循环赛比赛场次数=参赛选手数x（参赛选手数-1）+2

双循环赛比赛场次数=参赛选手数x（参赛选手数-1）

■考点6利率问题A

利息=本金x年利率（百分数）x存期

存〃年的本息和=本金x（1+年利率）"，即本金x（I+a%）"

■考点7传染问题A

公式：（a+x）其中“为传染源（一般a=l）,〃为传染轮数，M为最后得病总人数

■考点1：增长率问题A

◊典例：某种植基地2021年蔬菜产量为80吨，预计2023年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜

产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为X,则可列方程为()

A.80(1+x)2=100B.100(1-%)2=80

C.80(l+2x)=100D.80(1+x2)=100

【答案】A

【解析】利用增长后的量=增长前的量x(1+增长率)，设平均每次增长的百分率为x,根据

“从80吨增加到100吨”，即可得出方程.

解：由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为X,

根据2021年蔬菜产量为80吨，则2023年蔬菜产量为80(1+x)吨，

2021年蔬菜产量为80(1+x)(1+x)吨，预计2021年蔬菜产量达到100吨，

即：80(1+x)2=100,

故选A.

♦变式训练

1.(2022•宁夏)受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势.某地92号汽油价格

三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升.设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为

X,根据题意列出方程，正确的是()

A.6.2(1+x)2=8.9B.8.9(1+%)2=6.2

C.6.2(1+%2)=8.9D.6.2(1+%)+6.2(1+x)2=8.9

【答案】A

【解析】设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x,根据三月底和五月底92号

汽油价格，得出关于x的一元二次方程即可.

解：依题意，得6.2(1+%)2=8.9.

故选：A.

2.(2022•四川眉山)建设美丽城市，改造老旧小区.某市2019年投入资金1000万元，

2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同.

(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；

⑵2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元.2022年为提高老旧小区品质，每个小

区改造费用增加15%.如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造

多少个老旧小区？

【答案】(1)20%；(2)18个

【解析】(1)先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为X,根据2019年投入资金

x(l+x)2=2021年投入的总资金，列出方程求解即可；

(2)由(1)得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小区的

总费用要小于等于2022年投入资金，列出不等式求解即可.

解：(I)设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为X,

根据题意得:1000(1+x)2=1440,

解这个方程得，%!=0.2,x2=-2.2,

经检验，x=0.2=20%符合本题要求.

答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%.

(2)设该市在2022年可以改造y个老旧小区，

由题意得：80x(1+15%)y<1440x(1+20%),

解得y<18g.

为正整数，.•.最多可以改造18个小区.

答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区.

■考点2：销售问题A

◊典例：某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及

时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1

元，每天可多售出2个.已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少

元时，厂家每天可获利润20000元？

【答案】460

【解析】根据单件利润x销售量=总利润，列方程求解即可.

解：设销售单价为X元，

由题意，得：(JC-360)fl60+2(480-x)]=20000,

整理，得：A2-9201+211600=0,

解得：幻=工2=460,

答：这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润20000元.

♦变式训练

1.(2022•山东泰安)我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十

钱，遣人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽其大意为：现请人代买一批

椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的

运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合

题意的方程是()

A.3(x-l)x=6210B.3(x-1)=6210

C.(3x-l)x=6210D.3x=6210

【答案】A

【解析】设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3G-1)文，利用总价=单价x数

量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.

解：•••这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好

等于一株椽的价钱，

...一株椽的价钱为3(01)文，依题意得：3(x-1)x=6210,

故选：A.

2.2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和雪容融在一开售时，就深受大家的喜欢.某供应商

今年2月第一周购进一批冰墩墩和雪容融，已知一个冰墩墩的进价比一个雪容融的进价多

40元，用480元购买冰墩墩和用320元购买雪容融的数量相同.

(1)今年2月第一周每个冰墩墩和雪容融的进价分别是多少元？

(2)今年2月第一周，供应商将雪容融按每个100元的价格售出140个，将冰墩墩按每个

150元的价格售出120个.第二周供应商决定调整价格，每个雪容融的售价在第一周的基

础上下降了m元，每个冰墩墩的价格不变，由于冬奥赛事的火热进行，第二周雪容融的销

量比第一周增加了〃，个，而冰墩墩的销量比第一周增加了0.2m个，最终商家获利5160

7C，!Tl•

【答案】(1)每个冰墩墩的进价是120元，则每个雪容融的进价是80元；(2)10

【解析】(1)设每个冰墩墩的进价是尤元，则每个雪容融的进价是40)元，根据“用

480元购买冰墩墩和用320元购买雪容融的数量相同”，列出方程，即可求解；

(2)根据题意列出(100-m-80)x(140+m)+(150-120)X(120+0.2m)=5160,

求解一元二次方程即可.

解：(I)解：设每个冰墩墩的进价是x元，则每个雪容融的进价是(x-40)元，根据题意

得：

480320

---=-----♦

XX-40

解得：%=120,

经检验：x=120是原方程的解，且符合题意；

此时x-40=80,

答：每个冰墩墩的进价是120元，则每个雪容融的进价是80元；

(2)解：根据题意得：

(100-771-80)X(140+zn)+(150-120)x(120+0.2m)=5160,

(20-m)x(140+m)+30x(120+0.2m)=5160,

(m+57)2=4489,

解得：m=10或zn=-124(舍去)，

答：m=10.

■考点3:几何问题A

◊典例：王叔叔从市场上买了一块长80a”，宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱.如

图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个

底面积为30005?2的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为()

A.(80-x)(70-x)=3000B.80x70-4x2=3000

C.(80-2x)(70-2x)=3000D.80x70-4/-(70+80)x=3000

【答案】C

【解析】根据题意可知裁剪后的底面的长为(80-2x)cm,宽为(70-2x)cm,从而可以列

出相应的方程，本题得以解决.

解：由题意可得，

(80-2x)(70-2%)=3000,

故选C.

♦变式训练

1.(2022•山东济南)利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重

要方法.如图1,是矩形ABCZ)的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和

一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若。=4,匕=2,则矩形ABCQ的面积是

图1图2

【答案】16

【解析】设小正方形的边长为x,利用a、b、x表示矩形的面积，再用a、b、式表示三角形

以及正方形的面积，根据面积列出关于a、b、x的关系式，解出x,即可求出矩形面积.

解：设小正方形的边长为X,

矩形的长为(a+x),宽为(b+x),

由图1可得：|(a+x)(b4-x)=|axx2+1bxx2+x2,

整理得：x2+ax+bx—ab=0,

•；a=4,b=2,

Ax2+6%—8=0>

x2+6x=8,

二矩形的面积为(a+x)(b+x)=(x+4)(x+2)=/+6x+8=8+8=16.

故答案为：16.

2.某新建公园需要绿化的面积为24000〃7,施工队在绿化了12000,/后将每天的工作量增

加为原来的1.2倍，结果提前5天完成了该项目的绿化工程

(1)求该公园绿化工程原计划每天完成多少平方米？

(2)如图所示，该公园内有一块长30米，宽20米的矩形空地，准备将其修建成一个矩形花

坛，要求在花坛中修建三条等宽的矩形小道(图中阴影部分)，剩余地方种植花草，要使得

种植花草的面积为468〃/,那么小道的宽应为多少米？

【答案】(1)400/；Q)2米

【解析】(1)设原计划每天完成万m2,根据题意列出分式方程，解方程即可求解；

(2)设小路宽为am,根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解.

解：(1)设原计划每天完成工〃产，

,l,BK^.41324000l12000,24000-12000

由题忌得：--5=—+-

解得：%=400,

经检验：x=400是原方程的根，且符合题意，

答：原计划每天完成400加2；

(2)设小路宽为由

有题意得：(30-2a)(20-a)=468,

解得：的=33(超出矩形的长，不合题意，舍去)，a2=2,

即a=2m,

答：小路宽2米.

■考点4：求互相联系的两数A

◊典例：如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3x3个位置相邻的

9个数(如6,7,8,13,14,15,20,21,22).若圈出的9个数，最大数与最小数的积为

192,求这9个数的和.

曰一二三四五六

34

1011

1718

2425

31

【解析】根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16,以及利用

最大数与最小数的积为192,求出两数，再利用上下对应数字关系得出其他数即可.

解：根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16,设最小数为：x,则最

大数为x+16,根据题意得出：

x(x+16)=192,

解得：为=8,初=-24,(不合题意舍去),

故最小的三个数为：8,9,10,

下面一行的数字分别比上面三个数大7,即为：15,16,17,

第3行三个数，比上一行三个数分别大7,即为：22,23,24,

故这9个数的和为：8+9+10+15+16+17+22+23+24=144.

♦变式训练

1.已知3个连续整数的和为rn,它们的平方和是n,且n=ll(m—8).则m=—.

【答案】15或18

【解析】设这3个连续整数为x,x+1,x+2,则由题意可得m=3x+3,n=x2+

(x+l)24-(x+2)2,然后由n=ll(m-8)可求解.

解：设这3个连续整数为x,x+1,x+2,由题意得：

m=3x+3,n=x2+(x+l)2+(x+2)2,

'.x==3x2+6x+5,

3n

".'n=ll(m—8),

,\36x^+5=ll(m-8),化简得：m2-33m+270=0,

解得：m1—15,?TI2=18,

故答案为15或18.

2.小北同学在学习了“一元二次方程”后，改编了苏轼的诗词《念奴娇・赤壁怀古》：“大江

东去浪淘尽，千古风流人物.而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位

平方与寿同.哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，

该数的十位数字比个位小3,个位的平方恰好等于该数.”若设周瑜去世时年龄的个位数字

为X,则可列方程()

A.10(x+3)+x=x2B.10(x-3)+x=(x-3)2

C.10(x—3)+x=x2D.10(x+3)+x=(%—3)2

【答案】C

【解析】设周瑜去世时年龄的个位数字为x,则设周瑜去世时年龄的十位数字为03,然后

根据个位的平方恰好等于该数列出方程即可.

解：设周瑜去世时年龄的个位数字为x,则设周瑜去世时年龄的十位数字为x-3,

由题意得10(x—3)+x=x2,

故选：C.

■考点5：赛制循环问题A

◊典例：某次围棋比赛采用单循环制(即每个选手必须和其余的选手都比赛一场)，共赛了

36场，则选手有名

【答案】9

【解析】设选手有x名，则共进行的比赛场数为若立场，根据单循环的比赛场数为36场建

立方程求出其解即可.

解：设选手有x名，则共进行的比赛场数为写义场，由题意，得

幺七3=36,

2

解得：即=-8(舍去)，X2=9,

；.x=9.

故答案为：9.

♦变式训练

1.(2022•黑龙江)2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单

循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？()

A.8B.10C.7D.9

【答案】B

【解析】设有x支队伍，根据题意，得(X。-1)=45,解方程即可.

解：设有x支队伍，根据题意，得：x(x-l)=45,

解方程，得制=10,X2=-9(舍去)，

故选B.

2.学校要组织一次篮球赛，赛制为单循环，共21场比赛.若比赛组织者计划邀请x个队

参赛，则x满足的关系式为()

A.|x(x+1)=21B.|x(x-1)=21

C.x(x+1)=21D.x(x-1)=21

【答案】B

【解析】根据单循环赛制可知，每只队伍比赛(尤-1)场，同两只队伍只比赛一场，由此可

列方程.

解：•.•单循环赛制下，x个队共21场比赛，

•••|x(x—1)=21,

故选B.

■考点6：利率问题A

◊典例：小明的妈妈前年买了某公司的两年期债券5000元，今年到期(不计利息税)共得

本息和为5400元，则这种债券的年利率为

【答案】4%

【解析】直接假设出这种债券的年利率，从而列出方程，利用两年利率相同，可以求出.

解：假设这种债券的年利率为x,列方程得：

5000+2x5000x=5400,

解得：x=4%.

故填：4%.

♦变式训练

1.某企业2021年初投资100万元生产适销对路产品，2021年底将获得的利润与年初的

投资的和作为2022年初的投资，到20222年底，两年共获利润56万元.已知2022年

的年获利率比2021年的获利率多10个百分点.如果设2021年的获利率是X,那么

下列所列出的方程中正确的是()

A.100(1+x)(l+x+10%)=156

B.100(1+x)(l+%+10%)=56

C.100%+100(1+x)(x+10%)=156

D.lOOx+100(1+x)(x+10%)=56

【答案】D

【解析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量x(1+增长率)解答，本

题的等量关系是：

2021年的获利额+2022年的获利额=56万元，可由此列方程求解.

解：设2021年的年获利率为x,那么2022年的年获利率为x+10%,由题意得，

100%+100(1+x)(x+10%)=56.

故选：D

2.某大学毕业生为自主创业于2021年8月初向银行贷款360000元，与银行约定按“等额

本金还款法”分10年进行还款，从2021年9月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率

为0.5%,现因经营状况良好，准备向银行申请提前还款，计划于2026年8月初将剩余贷

款全部一次还清，则该大学毕业生按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少

()(注：“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期所还款金额由

两部分组成.一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数：另一部分是利息，即贷款本

金与已还本金总额的差乘以利率.1年按12个月计算)

A.18300元B.22450元C.27450元D.28300元

【答案】C

【解析】截止2026年8月，两种还款方式最终所还本金相同，且两种还款方式所还利息也

相同.所以按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少的部分为：按原计划还款

时，自2026年9月起至原计划结束时所还的利息，即共计60个月的利息.根据“等额本金

还款法”，算出2026年9月起每个月的利息，然后进行求和就可得后60个月的总利息，从

而得出答案.

解：•.•每月应还本金为360000+120=3000,

2026年8月还完后本金还剩360000-3000x60=180000,

2026年9月应还利息为：180000x0.5%；

2026年10月应还利息为：(180000-3000)x0.5%：

2026年11月应还利息为：(180000-3000x2)x0.5%：........

最后一次应还利息为：(180000-3000x59)x0.5%；

.•.后60个月的利息合计为：

(180000x60)-3000x(1+2+3-+59)x0.5%=(10800000-3000X1770)X

0.5%=27450.

即该大学毕业生按现计划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少27450元.

故选：C.

■考点7.传染问题A

◊典例：有一只鸡患了禽流感，经过两轮传染后共有100只鸡患了流感，那么每轮传染中，

平均一只鸡传染的只数为.

【解析】设每轮传染中平均每只鸡传染了x只鸡，第一轮