广东省梅州市华西中学2022-2023学年高一数学文期末试题含解析

广东省梅州市华西中学2022-2023学年高一数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知命题，命题。若命题是真命题，则实数的取值范围是（

）A.或

B.或

C.

D.参考答案：C略2.在密码学中，直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码。有一种密码，将英文的26个字母a,b,c……,z（不论大小写）依次对应1,2,3……,26这26个自然数（见表格）。当明码对应的序号x为奇数时，密码对应的序号；当明码对应的序号x为偶数时，密码对应的序号为。ks5u

字母abcdefghijklm序号12345678910111213字母nopqrstuv[来]wxyz序号14151617181920212223242526按上述规定，将明码“love”译成的密码是(

)A．gawq

B．shxc

C．sdri

D．love

参考答案：C略3.=（

）A. B. C. D.参考答案：B4.已知函数f(x)=，则f[f()]的值是（）A． B．9 C．﹣9 D．﹣参考答案：A【考点】函数的值．【分析】由已知条件利用分段函数的性质求解．【解答】解：∵，∴f（）==﹣2，∴=3﹣2=．故答案为：．故选：A．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．5.（5分）函数y=的值域是（） A． （﹣∞，﹣）∪（﹣，+∞） B． （﹣∞，）∪（，+∞） C． （﹣∞，﹣）∪（﹣，+∞） D． （﹣∞，）∪（，+∞）参考答案：B考点： 函数的值域．专题： 函数的性质及应用．分析： 由函数y的解析式可得x=，显然，y≠，由此可得函数的值域．解答： 由函数y=可得x=，显然，y≠，结合所给的选项，故选B．点评： 本题主要考查求函数的值域，属于基础题．6.某单位为了了解用电量y（千瓦时）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温/℃181310－1用电量/千瓦时24343864由表中数据可得回归直线方程，其中。预测当气温为－4℃时，用电量的千瓦时数约为（

）A．72

B．70

C．68

D．66参考答案：C由题意得，∴样本中心为(10,40)．∵回归直线过样本中心(10,40)，∴，∴，∴回归直线方程为．当时，，即当气温为－4℃时，用电量的千瓦时数约为68．故选C．

7.设A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜}，若AB，则的取值范围是（）A．B.C．D．参考答案：D8.若，则的值为_________.参考答案：1略9.下列函数中，图象的一部分如图的是（）A．B．C．

D．参考答案：D10.函数y=x2﹣2x，x∈[0，3]的值域为(

)A．[0，3] B．[1，3] C．[﹣1，0] D．[﹣1，3]参考答案：D【考点】二次函数在闭区间上的最值．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，x∈[0，3]，再利用二次函数的性质求得函数的值域．【解答】解：∵函数y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，x∈[0，3]，∴当x=1时，函数y取得最小值为﹣1，当x=3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为[﹣1，3]，故选D．【点评】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质应用，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是_____．参考答案：乙不输的概率为，填.12.若点P（1，﹣1）在角φ（﹣π＜φ＜0）终边上，则函数y=3cos（x+φ），x∈[0，π]的单调减区间为．参考答案：[，π]【考点】余弦函数的图象．【专题】综合题；转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用余弦函数的单调性，求得函数y=3cos（x+φ），x∈[0，π]的单调减区间．【解答】解：∵点P（1，﹣1）在角φ（﹣π＜φ＜0）终边上，∴φ=﹣，函数y=3cos（x+φ）=3cos（x﹣），令2kπ≤x﹣≤2kπ+π，求得2kπ+≤x﹣≤2kπ+．可得函数的减区间为[2kπ+，2kπ+]，k∈Z．再结合x∈[0，π]，可得函数y=3cos（x+φ）的单调减区间为[，π]，故答案为：[，π]．【点评】本题主要考查余弦函数的单调性，属于基础题．13.关于的不等式的解集为，则实数=______.参考答案：114.公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn若是与的等比中项，，则____.参考答案：60【分析】由是与的等比中项可得，且，代入等差数列的通项公式及前项和公式，联立方程求出，从而求出的值.【详解】设等差数列公差为.由得由得因为，联立上述两方程，解得所以.【点睛】本题主要考察等差数列的通项公式及前项和公式的灵活应用，利用条件建立方程组求出等差数列的关键数字和，即可解决等差数列的相关问题.15.已知函数，试求函数f(2x-3)的表达式

．参考答案：16.函数的单调递增区间为

．参考答案：【分析】令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可得到函数的增区间．【解答】解：令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z，故函数的增区间为故答案为

．【点评】本题主要考查复合三角函数的单调性，属于中档题．17.直线过点，与圆有两个交点时，斜率的取值范围是

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分14分）已知函数．(1)若的图像如图（1）所示，求的值；(2)若的图像如图（2）所示，求的取值范围．(3)在(1)中，若有且仅有一个实数解，求出m的范围。参考答案：(3)

………………14分19.（本小题满分12分）如图所示，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形的内接矩形，两点在圆弧上，是的平分线，连接，记，问：角为何值时矩形面积最大，并求最大面积.参考答案：解：设交于，交于，显然矩形关于对称，而，均为，的中点，在中，即

…………4分故：

…………8分故当即时，取得最大，此时

……12分略20.（16分）已知函数f（x）=x2，g（x）=ax+3（a∈R），记函数F（x）=f（x）﹣g（x），（1）判断函数F（x）的零点个数；（2）若函数|F（x）|在[0，1]上是减函数，求实数a的取值范围．（3）若a＞0，设F（x）在区间[1，2]的最小值为g（a），求g（a）的表达式．参考答案：考点： 二次函数的性质．专题： 函数的性质及应用．分析： （1）求出函数F（x）的表达式，根据判别式即可判断函数零点的个数．（2）根据函数|F（x）|在[0，1]上是减函数，即可求实数a的取值范围．（3）根据函数F（x）在区间[1，2]的最小值为g（a），讨论对称轴与区间的关系，即可求出g（a）．的表达式解答： （1）∵f（x）=x2，g（x）=ax+3（a∈R），∴函数F（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣ax﹣3．则判别式△=a2﹣4（﹣3）=a2+12＞0，∴函数F（x）的零点个数有2个．（2）∵F（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣ax﹣3．∴|F（x）|=|x2﹣ax﹣3|=，当a≤0时，对应的图象为：，当a＞0时，对应的图象为：，∴要使函数|F（x）|在[0，1]上是减函数，则，解得﹣2≤a≤0．（3）∵F（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣ax﹣3=（x﹣）2﹣3，∴对称轴x=，①若，即0＜a≤2时，函数F（x）在[1，2]上单调递增，∴F（x）最小值为g（a）=F（1）=﹣2﹣a．②若，即a≥4时，函数F（x）在[1，2]上单调递减，∴F（x）最小值为g（a）=F（2）=1﹣2a．③若，即2＜a＜4时，函数F（x）在[1，2]上不单调，∴函数F（x）最小值为g（a）=F（）=﹣﹣3．综上：g（a）=．点评： 本题主要考查二次函数的图象和性质，利用配方法得到二次函数的对称轴，根据对称轴和单调区间之间的关系是解决本题的关键．21.现有A，B两个投资项目，投资两项目所获得利润分别是和（万元），它们与投入资金(万元)的关系依次是：其中与平方根成正比，且当为4（万元）时为1（万元），又与成正比，当为4（万元）时也是1（万元）；某人甲有3万元资金投资.（I）分别求出，与的函数关系式；（ii）请帮甲设计一个合理的投资方案，使其获利最大，并求出最大利润是多少？参考答案：解：（I）设P，Q与x的的比例系数分别是

，且都过（4，1）

所以：，（II）设甲投资到A,B两项目的资金分别为（万元），（）（万元），获得利润为y万元由题意知：所以当=1，即=1时，答：甲在A,B两项上分别投入为1万元和2万元，此时利润最大，最大利润为1万元.略22.（本小题满分12分）如图，在几何体P－ABCD中，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AB＝PA＝2.(1)当AD＝2时，求证：平面PBD⊥平面PAC；(2)若PC与AD所成角为45°，求几何体P－ABCD的体积．参考答案：(1)当AD＝2时，四边形ABCD是