广东省河源市高莞中学2021年高三数学文月考试题含解析

广东省河源市高莞中学2021年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.数列是首项的等比数列，且，，成等差数列，则其公比为（

）

A．

B.

C.

或

D.参考答案：C略2.已知点F为双曲线的一个焦点，则点F到C的一条渐近的距离为A.2 B.4 C.2m D.4m参考答案：A，即，其中，又到其渐近线的距离:，故选A.3.设a，b∈R，且a2+b2=10则a+b的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣2，2] C．[﹣，] D．[0，]参考答案：A【考点】基本不等式．【分析】可利用基本不等式a2+b2≥2ab得到：2（a2+b2）≥2ab+a2+b2=（a+b）2，从而可求得a+b的取值范围．【解答】解：∵a2+b2=10，∴由基本不等式a2+b2≥2ab得：2（a2+b2）≥2ab+a2+b2=（a+b）2，即（a+b）2≤2（a2+b2）=20，∴﹣2≤a+b≤2+，故选A．4.已知全集，集合，集合，则下列结论中成立的是（

）A． B． C．

D．参考答案：D5.具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：

?；?；?中满足“倒负”变换的函数是(

)A．??

B．??

C．??

D．只有?参考答案：B6.对于任意实数a，b，定义max{a，b}=，已知在[﹣2，2]上的偶函数f（x）满足当0≤x≤2时，f（x）=max{2x﹣1，2﹣x}若方程f（x）﹣mx+1=0恰有两个根，则m的取值范围是（）A．[﹣2，﹣eln2）∪（eln2，2] B．[﹣eln2，0）∪（0，eln2]C．[﹣2，0）∪（0，2] D．[﹣e，﹣2）∪（2，e]参考答案：A【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】新定义；数形结合；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据条件先求出当0≤x≤2时，函数f（x）的解析式，然后根据偶函数的性质求出函数在[﹣2，2]上解析式，利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的相交问题，结合导数的几何意义求出切线斜率进行求解即可．【解答】解：当1≤x≤2时，2x﹣1＞2﹣x，此时f（x）=2x﹣1，当0≤x≤1时，2x﹣1＜2﹣x，此时f（x）=2﹣x，即f（x）=，若﹣2≤x≤﹣1，则1≤﹣x≤2，此时f（﹣x）=2﹣x﹣1，∵f（x）是偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=2﹣x﹣1，﹣2≤x≤﹣1．若﹣1≤x≤0，则0≤﹣x≤1，此时f（﹣x）=2﹣x，∵f（x）是偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=2﹣x，﹣1≤x≤0．作出函数f（x）的图象如图：由f（x）﹣mx+1=0得f（x）=mx﹣1，设g（x）=mx﹣1，则当m=0时，f（x）与g（x）没有交点，此时不满足条件．当m＞0时，当x=1，f（1）=1，当x=2时，f（2）=3，当直线经过A（1，1）时，此时m﹣1=1，则m=2，此时g（x）=2x﹣1，g（2）=3，即直线g（x）=2x﹣1经过A，C点，此时两个曲线有两个交点，满足条件，当直线y=mx﹣1与f（x）=2x﹣1相切时，设切点为（k，n），则f′（k）=2kln2，且2k﹣1=n，则切线方程为y﹣n=2kln2（x﹣k），即y=（2kln2）x﹣k2kln2+2k﹣1，即2kln2=m，且﹣k2kln2+2k﹣1=﹣1，即2kln2=m，且﹣k2kln2+2k=0，2kln2=m，且﹣kln2+1=0，即kln2=1，解得k==log2e，则m==eln2，此时直线和f（x）只有一个交点，若时两个曲线有两个交点，则eln2＜m≤2，根据偶函数的对称性知当m＜0时，﹣2≤m＜eln2，综上m的取值范围是[﹣2，﹣eln2）∪（eln2，2]，故选：A【点评】本题主要考查函数解析式的求解，利用函数与方程之间的关系转化两个函数的交点问题，借助导数求出切线的斜率是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．7.已知数列的前项和则其通项公式（

）A．

B．

C．

D.参考答案：B略8.（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a3＞b3参考答案：A【考点】：充要条件．【专题】：简易逻辑．【分析】：利用不等式的性质得到a＞b+1?a＞b；反之，通过举反例判断出a＞b推不出a＞b+1；利用条件的定义判断出选项．解：a＞b+1?a＞b；反之，例如a=2，b=1满足a＞b，但a=b+1即a＞b推不出a＞b+1，故a＞b+1是a＞b成立的充分而不必要的条件．故选：A．【点评】：本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法．9.（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A10.在数列中，“”是“数列为递增数列”的()A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B【知识点】充分条件与必要条件【试题解析】因为不能推出数列为递增数列，由数列为递增数列能推出，

所以，“”是“数列为递增数列”的必要不充分条件

故答案为：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知等比数列的公比为正数，且，=1，则=

参考答案：由得，解得，所以或（舍去），所以由，所以。12.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的等差数列{an}及任意的正整数n都有不等式+≥λa成立，则实数λ的最大值为．参考答案：略13.已知，，且，若恒成立，则实数m的取值范围是____．参考答案：（-4，2）试题分析：因为当且仅当时取等号，所以考点：基本不等式求最值14.若实数，满足则的取值范围是

．参考答案：作出可行域如图所示：表示圆心为(0,0)，半径为的圆作图可知当圆与直线相切时z值最小，且为当经过点(－1,2)或者点(1,2)时，z最大，且为5∴

15.若,的展开式中常数项为________．参考答案：112【分析】先求出n的值，再利用二项式展开式的通项求常数项得解.【详解】，

的展开式的通项为，令.所以展开式的常数项为.故答案为：112【点睛】本题主要考查定积分的计算，考查二项式展开式的常数项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.直三棱柱ABC-A1B1C1中，，设其外接球的球心为O，已知三棱锥O-ABC的体积为1，则球O表面积的最小值为__________．参考答案：.【分析】设，由三棱锥的体积为可得．然后根据题意求出三棱柱外接球的半径为，再结合基本不等式可得外接球表面积的最小值．【详解】如图，在中，设，则．分别取的中点，则分别为和外接圆的圆心，连，取的中点，则为三棱柱外接球的球心．连，则为外接球的半径，设半径为．∵三棱锥的体积为，即，∴．在中，可得，∴，当且仅当时等号成立，∴球表面积的最小值为．故答案为：．【点睛】解答几何体外接球的体积、表面积问题的关键是确定球心的位置，进而得到球的半径，解题时注意球心在过底面圆圆心且垂直于底面的直线上，且球心到几何体各顶点的距离相等．在确定球心的位置后可在直角三角形中求出球的半径，此类问题考查空间想象力和计算能力，难度较大．17.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1=﹣2017，=6，则S2017=．参考答案：﹣2017【考点】等差数列的前n项和．【分析】Sn是等差数列{an}的前n项和，∴数列{}是等差数列，设公差为d，=﹣2017，利用=6，可得6d=6，解得d．即可得出．【解答】解：∵Sn是等差数列{an}的前n项和，∴数列{}是等差数列，设公差为d．=﹣2017，∵=6，∴6d=6，解得d=1，∴=﹣2017+×1=﹣1，解得S2017=﹣2017．故答案为：﹣2017．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)为了了解甘肃各景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了人，回答问题“甘肃省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表．

组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组[15，25)a0.5第2组[25，35)18x第3组[35，45)b0.9第4组[45，55)90.36第5组[55，65]3y(Ⅰ)分别求出a，b，x，y的值；(Ⅱ)从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？(Ⅲ)在(Ⅱ)抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率.参考答案：（Ⅱ）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，所以利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：人；第3组：人；第4组：人

…8分19.空气质量问题，全民关注，有需求就有研究，某科研团队根据工地常用高压水枪除尘原理，制造了雾霾神器﹣﹣﹣﹣雾炮，虽然雾炮不能彻底解决问题，但是能在一定程度上起到防霾、降尘的作用，经过100次测试得到雾炮降尘率的频数分布表：降尘率（%）分组[0，5）[5，10）[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35]频数1015102520155（1）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计雾炮降尘率的平均数；（3）若降尘率达到18%以上，则认定雾炮除尘有效，根据以上数据估计雾炮除尘有效的概率．参考答案：【考点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）绘制频率分步直方图即可，（2）利用平均值的意义即可得出；（3）利用频率来估计概率即可．【解答】解：（1）其频率依次为0.10，0.15，0.10，0.25，0.20，0.15，0.05，其对应的小长方形的高分别为为0.02，0.03，0.02，0.04，0.05，0.03，0.01，则频率分布直方图如图所示：（2）雾炮降尘率的平均数：2.5×0.1+7.5×0.15+12.5×0.1+17.5×0.25+22.5×0.2+27.5×0.15+32.5×0.05=17.25，（3）因为第4组为[15，20），且频数为25，故大于等于18小于20的频率大约为×0.25=0.10，故降尘率达到18%以上的频率为0.10+0.20+0.15+0.05=0.5，故可以用频率来估计概率，雾炮除尘有效的概率：0.520.(本小题满分12分)

已知点,点是圆C：上的任意一点,，线段的垂直平分线与直线交于点.

（1）求点的轨迹方程；（2）若直线与点的轨迹有两个不同的交点和，且原点总在以为直径的圆的内部，求实数的取值范围．参考答案：（1）由题意知，∴，∴E的轨迹是以C、A为焦点的椭圆，其轨迹方程为：

……………4分（2）设，则将直线与椭圆的方程联立得：，消去y,得：

……………6分因为O在以PQ为直径的圆的内部，故

………7分而由

…9分得：,且满足（*）式M的取值范围是

……1