山西省晋城市阳城县第五中学高二数学理月考试卷含解析

山西省晋城市阳城县第五中学高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.数列的通项公式是，若其前项的和为，则项数为（

）A．12

B．11

C．10

D．9参考答案：C2.若α，β为锐角，且满足，则的值为（） 参考答案：C3.已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，斜率不0的直线l过点F1，且交椭圆于A，B两点，则的周长为（

）． A．10 B．16 C．20 D．25参考答案：C解：由题意可得，周长：，故选．4.函数的单调增区间是（）A．（0，e） B．（﹣∞，e） C．（e﹣1，+∞） D．（e，+∞）参考答案：A【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．【解答】解：函数的定义域是（0，+∞），y′=，令y′＞0，解得：0＜x＜e，故函数在（0，e）递增，故选：A．5.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于（）A．π B．2π C．4π D．8π参考答案：B【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】设出圆柱的高，通过侧面积，求出圆柱的高与底面直径，然后求出圆柱的体积．【解答】解：设圆柱的高为：h，轴截面为正方形的圆柱的底面直径为：h，因为圆柱的侧面积是4π，所以h2π=4π，∴h=2，所以圆柱的底面半径为：1，圆柱的体积：π×12×2=2π．故选B．【点评】本题考查圆柱的侧面积与体积的计算，考查计算能力，基础题．6.若函数f（x）满足f（x）=elnx+x2f（1）+x，则f（1）的值为(

) A．﹣2e﹣1 B．﹣e﹣1 C．﹣1 D．e+1参考答案：B考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：求出函数的导数，代入x=1，化简求解即可．解答： 解：函数f（x）满足f（x）=exlnx+x2f′（1）+x，可得f′（x）=exlnx++2xf′（1）+1，∴x=1时，f′（1）=0+e+2f′（1）+1，解得f′（1）=﹣e﹣1．故选：B．点评：本题考查函数的导数的运算，考查计算能力．7.在△ABC中，已知sinC=2sinAcosB，那么△ABC是（）A.等腰直角三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰三角形参考答案：D8.设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图1所示，则导函数y=f￠(x)可能为（）

参考答案：D略9.已知命题p：使；命题q：，都有，下列命题为真命题的是（

）A.

B．

C.

D．参考答案：C略10.若方程有两个不相等的实根，则的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C1和AB成角为．参考答案：45°考点：异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：由A1C1∥AC，知A1C1和AB所成角为∠BAC，由此能求出A1C1和AB所成角．解答：解：∵A1C1∥AC，∴A1C1和AB所成角为∠BAC，∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠BAC=45°．故答案为：45°．点评：本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．12.已知，求=

参考答案：50略13.由曲线，直线，x轴正半轴与y轴正半轴所围成图形的面积为______.参考答案：【分析】画出图像，利用定积分计算出所求图形面积.【详解】画出图像如下图所示，由图可知，所求面积.【点睛】本小题主要考查定积分的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.14.抛物线的焦点坐标是_____________.参考答案：15.以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间。例如，当，时，，.现有如下命题：①设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”；②函数的充要条件是有最大值和最小值；③若函数，的定义域相同，且，，则；④若函数（，）有最大值，则.其中的真命题有

。（写出所有真命题的序号）参考答案：①③④略16.已知“?x∈R，ax2+2ax+1≤0”为假命题，则实数a的取值范围是

．参考答案：[0，1）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据已知中“?x∈R，ax2+2ax+1≤0”为假命题，我们可以得到否定命题，“?x∈R，ax2+2ax+1＞0”为真命题，则问题可转化为一个函数恒成立问题，对二次项系数a分类讨论后，综合讨论结果，即可得到答案．【解答】解：∵“?x∈R，ax2+2ax+1≤0”为假命题，∴其否定“?x∈R，ax2+2ax+1＞0”为真命题，当a=0时，显然成立；当a≠0时，ax2+2ax+1＞0恒成立可化为：解得0＜a＜1综上实数a的取值范围是[0，1）故答案为：[0，1）17.已知点与点关于对称，则点的坐标是_______.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)正△的边长为4，是边上的高，分别是和边的中点，现将△沿翻折成直二面角．（1）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；（2）求二面角的余弦值；（3）在线段上是否存在一点，使？证明你的结论．

参考答案：略19.(本小题满分15分)如图，四边形是正方形，△与△均是以为直角顶点的等腰直角三角形，点是的中点，点是边上的任意一点.（1）求证：；（2）求二面角的平面角的正弦值.参考答案：（1）证明：∵是的中点，且，

∴.

∵△与△均是以为直角顶点的等腰直角三角形，

∴，.

∵，平面，平面，

∴平面.

∵平面，

∴.

∵四边形是正方形，

∴.

∵，平面，平面，

∴平面.

∵平面，

∴.

∵，平面，平面，

∴平面.

∵平面，

∴.

………6′（2）解法1：作于，连接，∵⊥平面，平面∴.

∵，平面，平面，∴⊥平面.∵平面，∴.

∴∠为二面角的平面角.设正方形的边长为，则，，在Rt△中，，

在Rt△中，，，在Rt△中，.∴二面角的平面角的正弦值为.

…………15′解法2：以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，

建立空间直角坐标系，设，则，，,.∴，.设平面的法向量为，由得令，得，

∴为平面的一个法向量.∵平面，平面，∴平面平面.连接，则.∵平面平面，平面，∴平面.

∴平面的一个法向量为.设二面角的平面角为，

则.

∴.

∴二面角的平面角的正弦值为.

…………15′20.工厂生产某种产品，次品率与日产量（万件）间的关系（为常数，且），已知每生产一件合格产品盈利元，每出现一件次品亏损元.（Ⅰ）将日盈利额（万元）表示为日产量（万件）的函数；（Ⅱ）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？（注：）参考答案：解：（Ⅰ）当时，，日盈利.……2分当时，，日盈利.………5分∴日盈利额y（万元）与日产量x（万件）的函数关系为.……………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，日盈利额为0.当时，，，…8分令得或（舍去）

①当时，，在区间上单调递增，，此时；………10分②当时，在（0，3）上，，在（3，4.5）上，∴.……………………12分

综上：当时，日产量为万件日盈利额最大，当时，日产量为3万件时日盈利额最大.………13分略21.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．（1）证明：PC⊥AD；（2）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值；（3）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；用空间向量求直线间的夹角、距离；二面角的平面角及求法．【分析】解法一（1）以A为原点，建立空间直角坐标系，通过得出?=0，证出PC⊥AD．（2）求出平面PCD，平面PCD的一个法向量，利用两法向量夹角求解．（3）设E（0，0，h），其中h∈[0，2]，利用cos＜＞=cos30°=，得出关于h的方程求解即可．解法二：（1）通过证明AD⊥平面PAC得出PC⊥AD．（2）作AH⊥PC于点H，连接DH，∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．在RT△DAH中求解（3）因为∠ADC＜45°，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF，故∠EBF（或其补角）为异面直线BE与CD所成的角．在△EBF中，因为EF＜BE，从而∠EBF=30°，由余弦定理得出关于h的方程求解即可．【解答】解法一：如图，以A为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），D（2，0，0），C（0，1，0），B（﹣，，0），P（0，0，2）．（1）证明：易得=（0，1，﹣2），=（2，0，0），于是?=0，所以PC⊥AD．（2）解：=（0，1，﹣2），=（2，﹣1，0），设平面PCD的一个法向量为=（x，y，z），则即取z=1，则以=（1，2，1）．又平面PAC的一个法向量为=（1，0，0），于是cos＜＞==，sin＜＞=所以二面角A﹣PC﹣D的正弦值为．（3）设E（0，0，h），其中h∈[0，2]，由此得=（，﹣，h）．由=（2，﹣1，0），故cos＜＞===所以=cos30°=，解得h=，即AE=．解法二：（1）证明：由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AD，又由AD⊥AC，PA∩AC=A，故AD⊥平面PAC，又PC?平面PAC，所以PC⊥AD．（2）解：如图，作AH⊥PC于点H，连接DH，由PC⊥AD，PC⊥AH，可得PC⊥平面ADH，因此DH⊥PC，从而∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．在RT△PAC中，PA=2，AC=1，所以AH=，由（1）知，AD⊥AH，在RT△DAH中，DH==，因此sin∠AHD==．所以二面角A﹣PC﹣D的正弦值为．（3）解：如图，因为∠ADC＜45°，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF，故∠EBF（或其补角）为异面直线BE与CD所成的角．由于BF∥CD，故∠AFB=∠ADC，在RT△DAC中，CD=，sin∠ADC=，故sin∠AFB=．在△AFB中，由，AB=，sin∠FAB=sin135°=，可得BF=，由余弦定理，BF2=AB2+AF2﹣2ABAFcos∠FAB，得出AF=，设AE=h，在RT△EAF中，EF==，在RT△BAE中，BE==，在△EBF中，因为EF＜BE，从而∠EBF=30°，由余弦定理得到，cos30°=，解得h=，即AE=．22.（本小题满分12分）如图,已知曲线,曲线,P是平面上一点,若存在过点P的直线与都有公共点,则称P为“C1—C2型点”.(1)在正确证明的左焦点是“C1—C2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);(2)设直线与有公共点,求证,进而证明原点不是“C1—C2型点”;(3)求证:圆内的点都不是“C1—C2型点”.参考答案：(1)C1的左焦点为,过F的直线与C1交于,与C2交于,故C1的左焦点为“C1-C2型点”,且直线可以为