北京少林寺文武学校2022年高三数学文上学期期末试题含解析

北京少林寺文武学校2022年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的部分图象如图所示，点A、B是最高点，点C是最低点．若△ABC是直角三角形，则的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略2.在△ABC中，已知b=3，c=3，A=30°，则角C等于

A．30°

B．60°或120°

C．60°

D．120°参考答案：D3.函数在（0，2）内零点的个数为（

）A．0

B．1

C．2

D．4参考答案：B4.某几何体的三视图如右图所示，则其侧面积为A．

B．

C．

D．参考答案：A5.在等腰三角形ABC中，∠A=150°，AC=AB=1，则=（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】首先由余弦定理求出BC的长度，然后由数量积公式求值．【解答】解：由已知等腰三角形ABC中，∠A=150°，AC=AB=1，得到BC2=AB2+AC2﹣2AB×AC×cos150°=2+；且B=15°，所以=1××cos（180﹣15）°=﹣=﹣=﹣=﹣﹣1；故选A．【点评】本题考查了平面向量的运算；化简二次根式是本题的易错点．6.已知角α的终边过点P（﹣8m，﹣6sin30°），且cosα=﹣，则m的值为（）A．﹣ B． C．﹣ D．参考答案：B【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求出m的值．【解答】解：由题意可得x=﹣8m，y=﹣6sin30°=﹣3，r=|OP|=，cosα===﹣，解得m=，故选：B．7.在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝（

）A.58

B.88

C.143

D.176参考答案：B8.已知向量，满足||=8，||=6，·=，则与的夹角为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B9.已知函数的定义域为,且为偶函数,则实数的值可以是（）A． B． C．

D．参考答案：B10.设实数x,y满足3≤≤8，4≤≤9，则的最大值是

（

）A.16

B.27

C.32

D.12参考答案：B思路，，，的最大值是27。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若命题“存在实数x，使”的否定是假命题，则实数a的取值范围为______________.参考答案：，或略12.若曲线的切线斜率恒为非负数，则实数的最小值是_______。参考答案：013.如图，三棱锥A-BCD的项点A，B，C，D都在同一球面上，BD过球心O，是边长为4的等边三角形，点P，Q分别为线段AO，BC上的动点（不含端点），且，则三棱锥P-QOC体积的最大值为______．参考答案：【分析】由题证得AO⊥平面BCD，△BOC也是等腰直角三角形，设AP=CQ=x，然后利用体积公式求解即可．【详解】因为BD过球心，，所以，又△ABC是边长为4等边三角形，所以AO2+CO2=AC2，AO2+BO2=AB2，所以AO⊥CO，AO⊥BO．所以AO⊥平面BCD，且△BOC也是等腰直角三角形，设AP=CQ=x，则当且紧当时成立.故答案为：．【点睛】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．14.已知向量的值为__▲__.参考答案：略15.设关于x、y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0=2，求得m的取值范围是．参考答案：（﹣∞，﹣）【考点】7C：简单线性规划．【分析】由题意作出其平面区域，则由图可知，点（﹣m，m）在直线x=2y+2的下方，故﹣m﹣2m＞2，从而解得．【解答】解：由题意作出其平面区域，则由图可知，点（﹣m，m）在直线x=2y+2的下方，故﹣m﹣2m＞2，解得，m＜﹣；故答案为：（﹣∞，﹣）．16.如图是某学校抽取的n名学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为，第3小组的频数为18，则的值n是

参考答案：17.在等差数列中，，，则公差_____；____.参考答案：

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数，其中.（1）若，求在的最小值；（2）如果在定义域内既有极大值又有极小值，求实数的取值范围；（3）是否存在最小的正整数，使得当时，不等式恒成立.参考答案：解析：（1）由题意知，的定义域为，时，由，得（舍去），当时，，当时，，所以当时，单调递减；当时，单调递增，所以（2）由题意在有两个不等实根，即在有两个不等实根，设，则，解之得；（3）对于函数，令函数,则，所以函数在上单调递增，又时，恒有即恒成立.取，则有恒成立.显然，存在最小的正整数N=1，使得当时，不等式恒成立19.长方形ABCD中，，沿对角线AC将折起，使D点到P点的位置，且二面角P-AC-B为直二面角。（1）求PB长；（2）求三棱锥P-ABC外接球的表面积；（3）求二面角A-PB-C的平面角的余弦值。

参考答案：（1）；（2）；（3）（1）过P作PE⊥AC交AC与E，连接BE，则∠PEB为直角，而PE=|AB|×|BC|÷|AC|=,又|BE|=，所以|PB|=；

……3分（2）AC中点即为外接球球心，球半径R=2，；

……6分（3）在平面图中，过D作DE垂直于AC，垂足为E，延长交AB于H，……，以EH为X轴，EC为Y轴，EP为Z轴建立空间直角坐标系（如图），

………………7分易得：

………………9分设平面PAB的法向量为：，则，令z=1，得

…………11分设平面PBC的法向量为：，则，令x=1，得

…………13分设二面角A-PB-C的平面角为，则

…………14分20.（本题满分12分）已知递增的等差数列的首项，且、、成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设对任意，都有成立，求的值．（3）若，求证：数列中的任意一项总可以表示成其他两项之积．参考答案：（1）∵是递增的等差数列，设公差为、、成等比数列∴由

及得∴（2）∵，

对都成立当时，得当时，由①，及②①－②得，得∴∴（3）对于给定的，若存在，使得∵，只需，即，即即，

取，则∴对数列中的任意一项，都存在和使得21.设fk（n）为关于n的k（k∈N）次多项式．数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn．对于任意的正整数n，an+Sn=fk（n）都成立．（I）若k=0，求证：数列{an}是等比数列；（Ⅱ）试确定所有的自然数k，使得数列{an}能成等差数列．参考答案：【考点】数列递推式；等差关系的确定；等比关系的确定．【专题】综合题；压轴题．【分析】（Ⅰ）若k=0，不妨设f0（n）=c（c为常数）．即an+Sn=c，结合数列中an与Sn关系求出数列{an}的通项公式后再证明．（Ⅱ）由特殊到一般，实质上是由已知an+Sn=fk（n）考查数列通项公式求解，以及等差数列的判定．【解答】（Ⅰ）证明：若k=0，则fk（n）即f0（n）为常数，不妨设f0（n）=c（c为常数）．因为an+Sn=fk（n）恒成立，所以a1+S1=c，c=2a1=2．而且当n≥2时，an+Sn=2，①an﹣1+Sn﹣1=2，②①﹣②得2an﹣an﹣1=0（n∈N，n≥2）．若an=0，则an﹣1=0，…，a1=0，与已知矛盾，所以an≠0（n∈N*）．故数列{an}是首项为1，公比为的等比数列．（Ⅱ）解：（1）若k=0，由（Ⅰ）知，不符题意，舍去．（2）若k=1，设f1（n）=bn+c（b，c为常数），当n≥2时，an+Sn=bn+c，③an﹣1+Sn﹣1=b（n﹣1）+c，④③﹣④得2an﹣an﹣1=b（n∈N，n≥2）．要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有an=b﹣d（常数），而a1=1，故{an}只能是常数数列，通项公式为an=1（n∈N*），故当k=1时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an=1（n∈N*），此时f1（n）=n+1．（3）若k=2，设f2（n）=pn2+qn+t（a≠0，a，b，c是常数），当n≥2时，an+Sn=pn2+qn+t，⑤an﹣1+Sn﹣1=p（n﹣1）2+q（n﹣1）+t，⑥⑤﹣⑥得2an﹣an﹣1=2pn+q﹣p（n∈N，n≥2），要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有an=2pn+q﹣p﹣d，且d=2p，考虑到a1=1，所以an=1+（n﹣1）?2p=2pn﹣2p+1（n∈N*）．故当k=2时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an=2pn﹣2p+1（n∈N*），此时f2（n）=an2+（a+1）n+1﹣2a（a为非零常数）．（4）当k≥3时，若数列{an}能成等差数列，根据等差数列通项公式可知Sn是关于n的二次型函数，则an+Sn的表达式中n的最高次数为2，故数列{an}不能成等差数列．综上得，当且仅当k=1或2时，数列{an}能成等差数列．【点评】本题考查数列通项公式的求解，等差数列的判定，考查阅读理解、计算论证等能力．22.某校从高一年级学生中随机抽取50名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图.（I）若该校高一年级共有学生1000人，试估计成绩不低于60分的人数；（II）为了帮助学生提高数学成绩，学校决定在随机抽取的50名学生中成立“二帮一”小组，即从成绩中选两位同学，共同帮助中的某一位同学.已知甲同学的成绩为42分，乙同学的成绩为95分，求甲、乙恰好被安排在同一小组的概率.参考答案：解：（Ⅰ）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为．

…………2分由于该校高一年级共有学生1000人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数为人．

…………………5分（Ⅱ）成绩在分数段内的人数为人成绩在分数段内的人数为人，…………7分[40，50）