北京丰台区丰台第一中学2021-2022学年高一数学理下学期期末试卷含解析

北京丰台区丰台第一中学2021-2022学年高一数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数在上是增函数，则实数的取值范围是

或

参考答案：A2.已知则的值等于（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C1.的值是

A

B

C

D参考答案：D略4.不等式的解集是（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】先得到内满足不等式的的范围，再根据正切函数的周期性，得到答案.【详解】当时，，且单调递增，所以，因为的周期为，所以不等式的解集为.故选：A.【点睛】本题考查解三角函数不等式，正切函数周期性，属于简单题.5.设函数f（x）=ln（x+）+x3（﹣1＜x＜1），则使得f（x）＞f（3x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（0，）

B．（﹣∞，）

C．（，） D．（﹣1，）参考答案：A∵，定义域关于原点对称，∴f(x)是奇函数，而时，f(x)递增，故时，f(x)递增，故f(x)在递增，若，则，解得，故选A．

6.下面的茎叶图记录了甲、乙两名同学在10次英语听力比赛中的成绩（单位：分），已知甲得分的中位数为76分，乙得分的平均数是75分，则下列结论正确的是（）A． B．乙同学成绩较为稳定C．甲数据中x=3，乙数据中y=6 D．甲数据中x=6，乙数据中y=3参考答案：D【考点】茎叶图．【分析】根据题意先求出x、y的值，再判断四个选项是否正确．【解答】解：因为甲代表队的中位数为76，其中已知高于76的有77，80，82，88，低于76的有71，71，65，64，所以x=6；因为乙代表队的平均数为75，其中超过75的差值为5，11，13，14，和为43，少于75的差值为3，5，7，7，19，和为41，所以y=3；∴C错误，D正确；又=×（64+65+71+71+76+76+77+80+82+88）=75，乙代表队数据的平均数是=75，二者相等，A错误；∴计算=×[（64﹣75）2+（65﹣75）2+…+（88﹣75）2]=50.2，S2乙=×[（56﹣75）2+（68﹣75）2+…+（89﹣75）2]=70.3，得出S2甲＜S2乙，∴甲队成绩较为稳定，B错误．故选：D．7.若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＜3

B．

x≤3

C．x＞3

D．x≥3参考答案：D8.在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（）A．9.4，0.484 B．9.4，0.016 C．9.5，0.04 D．9.5，0.016参考答案：D【分析】根据题意，利用平均数、方差公式直接计算即可．【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为9.4，9.4，9.6，9.4，9.7，其平均值为（9.4+9.4+9.6+9.4+9.7）=9.5，方差为[（9.4﹣9.5）2+（9.4﹣9.5）2+（9.6﹣9.5）2+（9.4﹣9.5）2+（9.7﹣9.5）2]=0.016，故选D．【点评】本题考查用样本的平均数、方差来估计总体的平均数、方差，属基础题，熟记样本的平均数、方差公式是解答好本题的关键．9.已知函数在[-1，3]上具有单调性，则实数的取值范围为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略10.在等比数列{an}中，、是方程的两根，则（

）A.1 B.－1 C.±1 D.±3参考答案：B【分析】利用韦达定理得到，再利用数列的性质计算.【详解】因为是方程的根，故且，由是等比数列可知，故，因为，故，故，选B.【点睛】一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：（1）若，则；（2）且；（3）且为等差数列；（4）等差数列.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量，若与垂直，则

.参考答案：212..已知在区间上是单调递增函数，则实数a的取值范围是

参考答案：略13.已知函数定义域是[4，5]，则的定义域是 ；参考答案：14.已知函数,则不等式的解集为________________.参考答案：，等价于，或或，综上所述，的解集为，故答案为.

15.函数定义域为，值域为，则的最大值

参考答案：316.已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，，则_____________．参考答案：-1略17.当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是__________。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）已知f（logax）=（x﹣）（a＞0，且a≠1）（1）求f（x）的解析式；（2）判断并证明f（x）的奇偶性与单调性；（3）若不等式f（3t2﹣1）+f（4t﹣k）＞0对任意t∈[1，3]都成立，求实数k的取值范围．参考答案：考点： 函数恒成立问题；奇偶性与单调性的综合．专题： 函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析： （1）利用换元法令logax=t，则x=at，代入f（logax）=（x﹣）即可求得函数f（x）的解析式；（2）函数的定义域为R，由f（﹣x）=﹣f（x）证明函数为奇函数，求导后由导函数恒大于0可得f（x）为R上的单调增函数；（3）由函数的单调性和奇偶性把f（3t2﹣1）+f（4t﹣k）＞0对任意t∈[1，3]都成立转化为3t2﹣1＞﹣4t+k对任意t∈[1，3]都成立，即3t2+4t﹣1＞k对任意t∈[1，3]都成立，求出3t2+4t﹣1在[1，3]上的最小值可得k的取值范围．解答： （1）令logax=t，则x=at，由f（logax）=（x﹣），得f（t）=，∴f（x）=，（2）∵定义域为R，且f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，∵f′（x）==，当0＜a＜1及a＞1时，f′（x）＞0，∴f（x）为R上的单调增函数；（3）f（3t2﹣1）+f（4t﹣k）＞0对任意t∈[1，3]都成立，即f（3t2﹣1）＞﹣f（4t﹣k）对任意t∈[1，3]都成立，也就是f（3t2﹣1）＞f（﹣4t+k）对任意t∈[1，3]都成立，即3t2﹣1＞﹣4t+k对任意t∈[1，3]都成立，即3t2+4t﹣1＞k对任意t∈[1，3]都成立，∵在t∈[1，3]上的最小值为．∴k＜．则k的取值范围是（﹣∞，）．点评： 本题考查了函数奇偶性和单调性的形状，考查了数学转化思想方法，训练了二次函数的最值得求法，是中档题．19.已知集合，．（1）分别求：，；（2）已知，若，求实数的取值范围．

参考答案：解：（１）（２）由，得略20.已知关于x的一次函数y=mx+n．（1）设集合P={﹣2，﹣1，1，2，3}和Q={﹣2，3}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n，求函数y=mx+n是增函数的概率；（2）实数m，n满足条件求函数y=mx+n的图象经过一、二、三象限的概率．参考答案：【考点】CF：几何概型；CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）本小题是古典概型问题，欲求函数y=mx+n是增函数的概率，只须求出满足：使函数为增函数的事件空间中元素有多少个，再将求得的值与抽取的全部结果的个数求比值即得．（2）本小题是几何概型问题，欲求函数y=mx+n的图象经过一、二、三象限的概率，只须求出满足使函数图象过一、二、三象限的区域的面积，再将求得的面积值与整个区域的面积求比值即得．【解答】解：（1）抽取的全部结果所构成的基本事件空间为：Ω={（﹣2，﹣2），（﹣2，3），（﹣1，﹣2），（﹣1，3），（1，﹣2），（1，3），（2，﹣2），（2，3），（3，﹣2），（3，3）}共10个基本事件设使函数为增函数的事件空间为A：则A={（1，﹣2），（1，3），（2，﹣2），（2，3），（3，﹣2），（3，3）}有6个基本事件所以，（2）m、n满足条件m+n﹣1≤0，﹣1≤m≤1，﹣1≤n≤1的区域如图所示：使函数图象过一、二、三象限的（m，n）为区域为第一象限的阴影部分∴所求事件的概率为．21.如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为AB，DA上动点，且△APQ的周长为2，设AP=x，AQ=y．（1）求x，y之间的函数关系式y=f（x）；（2）判断∠PCQ的大小是否为定值？并说明理由；（3）设△PCQ的面积分别为S，求S的最小值．参考答案：【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数解析式的求解及常用方法．【专题】综合题；方程思想；综合法；函数的性质及应用；不等式．【分析】（1）由已知可得PQ=2﹣x﹣y，根据勾股定理有（2﹣x﹣y）2=x2+y2，即可求x，y之间的函数关系式y=f（x）；（2）求得∴∠DCQ+∠BCP=，即可判断∠PCQ的大小；（3）表示△PCQ的面积，利用基本不等式求S的最小值．【解答】解：（1）由已知可得PQ=2﹣x﹣y，根据勾股定理有（2﹣x﹣y）2=x2+y2，…化简得：y=（0＜x＜1）…（2）tan∠DCQ=1﹣y，tan∠BCP=1﹣x，…tan（∠DCQ+∠BCP）==1

…∵∠DCQ+∠BCP∈（0，），∴∠DCQ+∠BCP=，∴∠PCQ=﹣（∠DCQ+∠BCP）=，（定值）…（3）S=1﹣﹣（1﹣x）﹣（1﹣