北京板桥中学高三数学理上学期期末试题含解析

北京板桥中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.两个非零向量e，e不共线，若（ke＋e）∥（e＋ke），则实数k的值为（）A．1B．-1C．±1D．0参考答案：答案:C2.定义空间两个向量的一种运算，则关于空间向量上述运算的以下结论中，①，②，③，④若，则.恒成立的有A．1个

B.2个

C.3个

D.4个参考答案：B①恒成立；②，，当时，不成立；③当不共面时，不成立，例如取为两两垂直的单位向量，易得，；④由，，可知，，故恒成立.3.一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，…，99。依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为一，二，三，…，十。现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第一组随机抽取的号码为，那么在第组中抽取的号码个位数字与的个位数字相同.若，则在第七组中抽取的号码是

（A）63

（B）64

（C）65

（D）66参考答案：A由题设知，若，则在第7组中抽取的号码个位数字与13的个位数字相同，而第7组中数字编号顺次为60，61，62，63，…，69，故在第7组中抽取的号码是63.也可以一组组考虑：第2组为18;第3组为29;第4组为30;第5组为41;第6组为52;第7组为63。4.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则得到的这个新三角形的形状为(

)A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形

D．由增加的长度决定参考答案：A略5.有3个不同的社团，甲、乙两名同学各自参加其中1个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个社团的概率为A、B、C、D、参考答案：A记3个社团分别为A、B、C，依题意得，甲、乙两位同学参加社团的所有可能的情况有9种，分别为(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，而两位同学参加同一个社团的种数为3，故所求概率为，故选A．6.已知函教的图象与直线y=b(0<b<A)的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则的单调递增区间是（

）A.

B.

C.

D.无法确定参考答案：C7.向量，满足||=4，?（﹣）=0，若|λ﹣|的最小值为2（λ∈R），则?=（）A．0 B．4 C．8 D．16参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【分析】向量，满足||=4，?（﹣）=0，即=．|λ﹣|==≥2（λ∈R），化为：16λ2﹣2+﹣4≥0对于λ∈R恒成立，必须△≤0，解出即可得出．【解答】解：向量，满足||=4，?（﹣）=0，即=．若|λ﹣|==≥2（λ∈R），化为：16λ2﹣2+﹣4≥0对于λ∈R恒成立，∴△=﹣64（﹣4）≤0，化为≤0，∴?=8．故选：C．8.复数满足（其中为虚数单位），则=

A．

B．

C．

D．参考答案：B9.已知i是虚数单位，设复数，，则在复平面内对应的点在（A）第一象限

（B）第二象限

（C）第三象限

（D）第四象限参考答案：D10.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，若数列满足，且，则=

A．6

B．-6

C．2

D．-2参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）已知直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为．以直角坐标系xOy中的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0，则圆心C到直线l距离为．参考答案：【考点】：直线的参数方程；点到直线的距离公式；简单曲线的极坐标方程．【专题】：计算题；压轴题．【分析】：将直线l的参数方程的参数t消去即可求出直线的普通方程，利用极坐标转化成直角坐标的转换公式求出圆的直角坐标方程；再代入点到直线的距离公式即可得到答案．解：因为直线l的参数方程为．∴消去参数t可得直线的普通方程为：y=（x+3）?x﹣y+3=0．又因为圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0；所以：圆的直角坐标方程为：x2+y2﹣4x+3=0，即：（x﹣2）2+y2=1；圆心为（2，0），半径为1．故圆心到直线的距离为：=．故答案为：．【点评】：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，以及直线的参数方程和直线与圆的位置关系的判定，属于基础题．12.若关于x的不等式|x﹣2|+|x﹣2a|＜6的解集不空，则a的取值范围是

．参考答案：（﹣2，4）考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由条件利用绝对值三角不等式求得|x﹣2|+|x﹣2a|≥2|a﹣1|，再根据2|a﹣1|＜6，求得a的范围．解答： 解：∵|x﹣2|+|x﹣2a|≥|2a﹣2|=2|a﹣1|，关于x的不等式|x﹣2|+|x﹣2a|＜6的解集不空，∴2|a﹣1|＜6，求得﹣2＜a＜4，故答案为：（﹣2，4）．点评：本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．13.若以连续掷两次骰子分别得到的点数作为点的横、纵坐标，则点在直线上的概率为

.参考答案：略14.设函数的定义域为,值域为,若的最小值为,则实数的值为

．参考答案：略15.（文科）一个正方体的内切球和外接球的表面积之比为

参考答案：14.抛物线的焦点为F，其准线与双曲线相交于两点，若为等边三角形，则

参考答案：617.在极坐标系中，点P（2，）到极轴的距离为

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）（文）如图，将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，连接A′C得到三棱锥，垂直BD于F，E为BC的中点.(1）求证:EF∥平面；(2）设正方形ABCD边长为a，求折后所得三棱锥的侧面积.参考答案：(1)证明:根据题意，有平面A′BD⊥平面BCD，A′F⊥BD于F，A′D＝A′B，∴F为BD的中点.又∵E为BC的中点，∴EF∥CD.∴EF∥平面A′CD.(2)解:连接CF，∵平面A′BD⊥平面BCD，A′F⊥BD，∴A′F⊥平面BCD，∴∠A′FC＝90°.∴A′C2＝A′F2＋FC2＝(a)2＋(a)2＝a2.∴△A′BC和△A′DC都为边长为a的等边三角形.∴S侧＝a2＋a2＋a2＝a2.19.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量=（a，c），=（1﹣2cosA，2cosC﹣1），∥（Ⅰ）若b=5，求a+c值；（Ⅱ）若，且角A是△ABC中最大内角，求角A的大小．参考答案：【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．【分析】（Ⅰ）利用平面向量平行的性质，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理可求sinA+sinC=2sinB，由正弦定理及已知即可得解．（Ⅱ）由已知利用倍角公式，同角三角函数基本关系式可求sinB，cosB的值，可求2sinA+cosA=2，联立sin2A+cos2A=1即可解得cosA的值，结合A是最大角，即可得解A的值．【解答】（本大题满分12分）解：（Ⅰ）因为：，所以，2sinAcosC﹣sinA=sinC﹣2sinCcosA，可得：2sinAcosC+2sinCcosA=2sin（A+C）=sinC+sinA，所以，sinA+sinC=2sinB，由正弦定理得2b=a+c=10．….6分（Ⅱ），又因为sinA+sinC=2sinB=sinA+sin（π﹣A﹣B），则，2sinA+cosA=2，又sin2A+cos2A=1，所以，解得，由于A是最大角，所以，．….12分【点评】本题主要考查了平面向量平行的性质，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，倍角公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．20.已知函数f（x）=ax+ln（x﹣1），其中a为常数．（Ⅰ）试讨论f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=时，存在x使得不等式|f（x）|﹣≤成立，求b的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）先求函数f（x）的定义域及f′（x）=，再分a≥0时、a＜0时两种情况考虑即可；（Ⅱ）由（I）可得f（x）max=+ln（e﹣1）＜0，令，求出g（x）的单调区间，从而可得g（x）max=g（e）=，所以原不等式成立只需﹣≤，解之即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知易得函数f（x）的定义域为：{x|x＞1}，f′（x）=a+=，当a≥0时，f′（x）＞0在定义域内恒成立，f（x）的单调递增区间为（1，+∞），当a＜0时，由f′（x）=0得x=1﹣，当x∈（1，1﹣）时，f′（x）＞0，当x∈（1﹣，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）的单调递增区间为（1，1﹣），递减区间为（1﹣，+∞）；（Ⅱ）由（I）知当a=时，f（x）的单调增区间为（1，e），减区间为（e，+∞），所以f（x）max=f（e）=+ln（e﹣1）＜0，所以|f（x）|≥﹣f（e）=恒成立，当x=e时取等号．令，则，当1＜x＜e时，g（x）＞0；当x＞e时，g（x）＜0，从而g（x）在区间（1，e）上单调递增，在区间（e，+∞）上单调递减，所以g（x）max=g（e）=，所以，存在x使得不等式|f（x）|﹣≤成立，只需﹣≤，即：b≥﹣2ln（e﹣1）．【点评】本题主要考查函数的单调性及与不等式的综合，比较复杂的函数的单调性，一般用导数来研究，将其转化为函数方程不等式综合问题解决，研究不等式时一定要先确定函数的单调性才能求解．21.已知点M是圆心为E的圆（x+）2+y2=16上的动点，点F（，0），线段MF的垂直平分线交EM于点P．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过原点O作直线l交（Ⅰ）中的轨迹C于点A，B，点D满足=+，试求四边形AFBD的面积的取值范围．参考答案：【考点】轨迹方程．【分析】（Ⅰ）得到|PM|=|PF|，求出点P的轨迹是椭圆，其中2a=4，c=，求出椭圆方程即可；（Ⅱ）求出SAFBD=2S△AFB，通过讨论AB是短轴、AB是长轴的情况，求出四边形的面积即可．【解答】解：（Ⅰ）由于点P为线段MF的垂直平分线，故|PM|=|PF|，故|PE|+|PF|=|PE|+|PM|=|ME|=4＞2，故点P的轨迹是椭圆，其中2a=4，c=，因此P点的轨迹C的方程是：+y2=1；（Ⅱ）由=+，知四边形AFBD是平行四边形，故SAFBD=2S△AFB，（1）AB是短轴时，S△AFB=|AB|?|OF|=×2×=即SAFBD=2；（2）AB是长轴时，易知AFBD不是四边形，故AB斜率不是0；（3）直线AB的斜率存在且不是0时，设其斜率为k，则直线AB的方程是：y=kx（k≠0），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，消去x得：（1+4k2）y2﹣4k2=0，故y1+y2=0，y1y2=，SAFBD=2S△ABF=2×|OF|?|y1﹣y2|=?=?=，而+4＞4，故0＜＜=2，综上，四边形AFBD的面积的取值范围是（0