浙江省丽水市龙泉第一高级中学2021年高三数学理月考试题含解析

浙江省丽水市龙泉第一高级中学2021年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设定义在的函数同时满足以下条件：①；②；③当时，。则

（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：C略2.定义在R上的可导函数，已知的图象如图所示，则的增区间是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B3.下面四个图中有一个是函数的导函数f'（x）的图象，则f（﹣1）等于（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】数形结合．【分析】求出导函数，据导函数的二次项系数为正得到图象开口向上；利用函数解析式中有﹣2ax，故函数不是偶函数，得到函数的图象．【解答】解：∵f′（x）=x2﹣2ax，∴导函数f′（x）的图象开口向上．又∵a≠0，∴f（x）不是偶函数，其图象不关于y轴对称其图象必为第三张图．由图象特征知f′（0）=0，且对称轴a＞0，∴a=1．故f（﹣1）=﹣﹣1+1=﹣．故选A．【点评】本题考查导函数的运算法则、二次函数的图象与二次函数系数的关系：开口方向与二次项系数的符号有关、对称轴公式．4.已知不等式ln（x+1）﹣1≤ax+b对一切x＞﹣1都成立，则的最小值是（）A．e﹣1 B．e C．1﹣e﹣3 D．1参考答案：C【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；3R：函数恒成立问题．【分析】令y=ln（x+1）﹣ax﹣b﹣1，求出导数，分类讨论，进而得到b≥﹣lna+a+2，可得≥，通过导数求出单调区间和极值、最值，进而得到的最小值．【解答】解：令y=ln（x+1）﹣ax﹣b﹣1，则y′=﹣a，若a≤0，则y′＞0恒成立，x＞﹣1时函数递增，无最值．若a＞0，由y′=0得：x=，当﹣1＜x＜时，y′＞0，函数递增；当x＞时，y′＜0，函数递减．则x=处取得极大值，也为最大值﹣lna+a﹣b﹣2，∴﹣lna+a﹣b+2≤0，∴b≥﹣lna+a+2，∴≥，令t=，∴t′=，∴（0，e3）上，t′＜0，（e3，+∞）上，t′＞0，∴a=e3，tmin=1﹣e﹣3．∴的最小值为1﹣e﹣3．故选：C．5.已知定义在区间[0,2]上的函数的图象如图所示，则的图象为参考答案：A当时，,排除B,C,D,选A.6.若集合，集合，则下列各式中正确的是（

）A、

B、

C、

D、参考答案：A略7.在Rt△ABC中，∠C=90°,且∠A，∠B，∠C所对的边a,b,c满足a+b=cx，则实数x的取值范围是(

)

Ａ.(0,1]

Ｂ.(0,2]

Ｃ.(1,2]

Ｄ.(1,2)参考答案：C略8.与的图像关于

A．轴对称B．轴对称C．原点对称D．对称参考答案：B略9.函数在区间上有反函数，则的取值范围是（）A、

B、

C、

D、参考答案：D10.如果命题“￢（p∨q）”为假命题，则（）A．p、q均为真命题

B．p、q均为假命题C．p、q至少有一个为真命题 D．p、q至多有一个为真命题参考答案：C【考点】复合命题的真假．【分析】利用“或”“且”“非”命题的真假判断方法即可得出．【点评】本题考查了“或”“且”“非”命题的真假判断方法，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若复数（1﹣i）（2i+m）是纯虚数，则实数m的值为．参考答案：﹣2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：∵复数（1﹣i）（2i+m）=m+2+（m﹣2）i是纯虚数，∴，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．12.已知某算法的流程图如图所示，输出的

(x，y)值依次记为，若程序运行中输出的一个数组是，则t=

．

参考答案：略13.已知曲线y=﹣lnx的一条切线的斜率为﹣，则切点的坐标为．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出原函数的导函数，设出斜率为﹣的切线的切点为（x0，y0），（x0＞0）由函数在x=x0时的导数等于﹣求出x0的值，舍掉定义域外的x0得答案．【解答】解：由y=﹣lnx得y′=．设斜率为﹣的切线的切点为（x0，y0），（x0＞0）则，解得：x0=1，∴y0=．故答案为．14.已知函数在时有极值0，则

．参考答案：1115.在极坐标系中，曲线ρ=

与

的交点的极坐标为_______________。参考答案：略16.给出以下四个命题：①若，则；②已知直线与函数的图像分别交于点M，N，则的最大值为；③若数列为单调递增数列，则取值范围是；④已知数列的通项，其前项和为，则使的的最小值为12．其中正确命题的序号为_____________________．参考答案：①②略17.设，，则比较的大小关系_______.参考答案：【分析】先判断出函数的单调性，然后判断之间的大小关系，利用单调性比较出之间的大小关系.【详解】当时，是单调增函数，所以有，当时，是单调增函数，所以有，所以函数是上的增函数.,所以有，而函数是上的增函数，所以的大小关系为.【点睛】本题考查了利用函数的单调性判断函数值之间的大小关系，解题的关键是判断函数的单调性、以及三个自变量取值之间的大小关系.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）1.已知平面直角坐标系xOy,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,P点的极坐标为,曲线C的极坐标方程为.(Ⅰ)写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程;(Ⅱ)若为C上的动点,求中点到直线(t为参数)距离的最小值.参考答案：（1）点的直角坐标由得,即所以曲线的直角坐标方程为

…………4分（2）曲线的参数方程为（为参数）直线的普通方程为设,则.那么点到直线的距离.,所以点到直线的最小距离为

………………10分19.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．参考答案：【考点】余弦定理的应用；平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解A；（Ⅱ）利用A，以及a=，b=2，通过余弦定理求出c，然后求解△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行，所以asinB﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣sinBcosA=0，因为sinB≠0，所以tanA=，可得A=；（Ⅱ）a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解得c=3，△ABC的面积为：=．【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．20.已知命题p：“方程x2﹣ax+a+3=0有解”，q：“﹣a≥0在[0，+∞）上恒成立”，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】复合命题的真假．【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】命题p：方程x2﹣ax+a+3=0有解，可得△≥0，解得a的取值范围．命题q﹣a≥0在[0，+∞）上恒成立，即a≤，解得a的取值范围．由于p或q为真命题，p且q为假命题，命题p与q一真一假，分别求出，即可得到a的取值范围【解答】解：命题p：方程x2﹣ax+a+3=0有解，可得，△=a2﹣4a﹣12≥0，解得a≤﹣2或a≥6．命题q：“﹣a≥0在[0，+∞）上恒成立，a≤，设f（x）=，因为f（x）在[0，+∞）为减函数，所以f（x）＞0，解得a≤0．∵p或q为真命题，p且q为假命题，∴命题p与q一真一假，当p真q假时，，解得a≥6，当p假q真时，，解得﹣2＜a≤0，综上实数a的取值范围是（﹣2，0]∪[6，+∞）．【点评】本题考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系、函数恒成立的问题、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．21.（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：（a＞b＞0），圆O：x2+y2=r2（0＜r＜b），若圆O的一条切线l：y=kx+m与椭圆E相交于A，B两点．（Ⅰ）当k=﹣，r=1时，若点A，B都在坐标轴的正半轴上，求椭圆E的方程；（Ⅱ）若以AB为直径的圆经过坐标原点O，探究a，b，r之间的等量关系，并说明理由．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）依题意原点O到切线l：y=﹣x+m的距离为半径1，?m=，?A（0，），B（，0）代入椭圆方程，求出a、b即可（2）由原点O到切线l：y=kx+m的距离为半径r?m2=（1+k2）r2．联立直线方程和与椭圆的方程，利用求解．【解答】解：（Ⅰ）依题意原点O到切线l：y=﹣x+m的距离为半径1，∴，?m=，切线l：y=﹣x+，?A（0，），B（，0）∴a=，b=，∴椭圆E的方程为：．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0．．．∵以AB为直径的圆经过坐标原点O，∴；?（k2+1）x1x2+km（x1+x2）=m2（a2+b2）=（k2+1）a2b2…①又∵圆O的一条切线l：y=kx+m，∴原点O到切线l：y=kx+m的距离为半径r?m2=（1+k2）r2…②由①②得r2（a2+b2）=a2b2．∴以AB为直径的圆经过坐标原点O，则a，b，r之间的等量关为：r2（a2+b2）=a2b2．【点评】本题考查曲线方程的求法，考查了直线