湖南省常德市汉寿县百禄桥联校2022年高二数学理联考试题含解析

湖南省常德市汉寿县百禄桥联校2022年高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.平面几何中，边长为的正三角形内任一点到三边距离之和为定值，类比上述命题，棱长为的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（）Ａ． Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

参考答案：B略2.极坐标方程表示的曲线为（

）A．极点

B．极轴

C．一条直线

D．两条相交直线参考答案：D略3.若△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC=（）A.- B． C．D．参考答案：A考点;余弦定理．专题;计算题．分析;通过正弦定理求出，a：b：c=2：3：4，设出a，b，c，利用余弦定理直接求出cosC即可．解答;解：因为sinA：sinB：sinC=2：3：4所以a：b：c=2：3：4，设a=2k，b=3k，c=4k由余弦定理可知：cosC===﹣．故选A．点评;本题是基础题，考查正弦定理与余弦定理的应用，考查计算能力．4.下列不等式对任意的恒成立的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略5.短轴长为，离心率e＝的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为()A．3

B．6

C．12

D．24参考答案：B6.已知抛物线x2=ay的焦点恰好为双曲线y2﹣x2=2的一个焦点，则a=（）A．1 B．±4 C．±8 D．16参考答案：C【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的方程及双曲线的方程求出抛物线的焦点坐标和双曲线的焦点坐标，列出方程求出a．【解答】解：抛物线x2=ay的焦点为（0，），双曲线y2﹣x2=2的焦点为（0，±2），∴=±2，∴a=±8，故选C．【点评】本题考查有圆锥曲线的方程求圆锥曲线中的参数、圆锥曲线的共同特征等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．7.若关于x的不等式|x+2|﹣|x﹣1|＞a的解集不是空集，则实数a的取值范围是（）A．（3，+∞） B．（﹣3，+∞） C．（﹣∞，3） D．（﹣∞，﹣3）参考答案：A【考点】绝对值三角不等式．【分析】由于|x+2|﹣|x﹣1|表示数轴上的x对应点到﹣2和1对应点的距离之差，其最大值为3，再根据关于x的不等式|x+2|﹣|x﹣1|＞a的解集不是空集，求出实数a的取值范围．【解答】解：|x+2|﹣|x﹣1|表示数轴上的x对应点到﹣2和1对应点的距离之差，其最大值为3，故当a＞3时，关于x的不等式|x+2|﹣|x﹣1|＞a的解集不是空集，故实数a的取值范围为（3，+∞），故选A．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于中档题．8.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x（万元）4235销售额y（万元）49263954根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（

） A．63．6万元 B．65．5万元

C．67．7万元 D．72．0万元参考答案：B略9.如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L形（每次旋转90°仍为L形的图案），那么在5×6个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L形需案的个数是（）A.36 B.64 C.80 D.96参考答案：C【分析】把问题分割成每一个“田”字里，求解.【详解】每一个“田”字里有4个“L”形，如图因为5×6的方格纸内共有个“田”字，所以共有个“L”形..【点睛】本题考查排列组合问题，关键在于把“要做什么”转化成“能做什么”，属于中档题.10.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足bcosC=a，则△ABC的形状是（）A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形参考答案：C【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】已知等式利用余弦定理化简，整理可得：a2+c2=b2，利用勾股定理即可判断出△ABC的形状．【解答】解：在△ABC中，∵bcosC=a，∴由余弦定理可得：cosC==，整理可得：a2+c2=b2，∴利用勾股定理可得△ABC的形状是直角三角形．故选：C．【点评】此题考查了三角形形状的判断，考查了余弦定理以及勾股定理的应用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知点在直线上，则的最小值为_____

参考答案：312.若曲线在点处的切线平行于轴,则____________.参考答案：略13.(坐标系与参数方程)在已知极坐标系中，已知圆与直线相切，则实数

。参考答案：2或814.已知正△ABC的边长为1，那么在斜二侧画法中它的直观图△A′B′C′的面积为

．参考答案：【考点】斜二测法画直观图．【专题】数形结合；定义法；空间位置关系与距离．【分析】由直观图和原图的面积之间的关系，直接求解即可．【解答】解：正三角形的高OA=，底BC=1，在斜二侧画法中，B′C′=BC=1，0′A′==，则△A′B′C′的高A′D′=0′A′sin45°=×=，则△A′B′C′的面积为S=×1×=，故答案为：．【点评】本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系，属基本运算的考查15.已知数列{an}满足a1=33，an+1﹣an=2n，则的最小值为．参考答案：21【考点】数列递推式．【分析】an+1﹣an=2n，利用“累加求和”方法与等差数列的求和公式，基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵an+1﹣an=2n，∴an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2（n﹣1）+2（n﹣2）+…+2×1+33=+33=n2﹣n+33．则==2＞2﹣2，可得n=6时，的最小值为21．故答案为：21．【点评】本题考查了“累加求和”方法与等差数列的求和公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.在样本的频率分布直方图中，共有个小长方形，这个小长方形的面积由小到大构成等比数列，已知，且样本容量为，则小长方形面积最大的一组的频数为_______．参考答案：160略17.已知，则=

。参考答案：4略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）如图，正方形ABCD与梯形AMPD所在的平面互相垂直，AD⊥PD，MA∥PD，MA=AD=PD=1．（1）求证：MB∥平面PDC；（2）求二面角M﹣PC﹣D的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出AB∥CD，MA∥PD，从而平面ABM∥平面PDC，由此能证明MB∥平面PDC．（2）推导出CD⊥PD，AD⊥PD，AD⊥DC，以DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M﹣PC﹣D的余弦值．【解答】（本小题满分12分）证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，又∵MA∥PD，…（1分）AB∩MA=A，CD∩PD=D，AB?平面ABM，MA?平面ABM，CD?平面PDC，PD?平面PDC，∴平面ABM∥平面PDC，（3分）∵MB?平面ABM，∴MB∥平面PDC．（4分）解：（2）∵正方形ABCD与梯形AMPD所在的平面互相垂直，平面ABCD∩平面AMPD=AD，在正方形ABCD中，CD⊥AD，∴CD⊥平面AMPD，∴CD⊥PD．（6分）又AD⊥PD，AD⊥DC，以DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立空间直角坐标系，（7分）则M（1，0，1），P（0，0，2），C（0，1，0），是平面PCD的一个法向量设平面MPC的法向量为=（x，y，z），则，（9分）令z=1，得=（1，2，1），（10分）则cos＜＞==，（11分）设二面角M﹣PC﹣D为θ，由图可知θ为锐角，所以二面角M﹣PC﹣D的余弦值为．（12分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19.已知命题,,（1）求；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围。参考答案：（1）由p：

可得：或………6分（2）………12分20.(本小题满分12分）A市某机构为了调查该市市民对我国申办2034年足球世界杯的态度，随机选取了140位市民进行调查，调查结果统计如下：

支持不支持总计男性市民

60女性市民

50

合计70

140（I）根据已知数据，把表格数据填写完整；（II）利用（1）完成的表格数据回答下列问题：（ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为性别与支持申办足球世界杯有关；（ⅱ）已知在被调查的支持申办足球世界杯的男性市民中有5位退休老人，其中2位是教师，现从这5位退休老人中随机抽取3人，求至多有1位老师的概率。附：，其中0.0500.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828

参考答案：解：（I）

支持不支持总计男性市民402060女性市民305080合计7070140

……4分（II）（ⅰ）由题得：……7分所以能在犯错误的概率不超过的前提下性别与支持申办足球世界杯有关.……8分（ⅱ）记5人分别为，其中表示教师，从5人中任意取3人的情况有，，，，，，，，，共10个，其中至多有1位教师的情况有，，，，，，共7个，

…………11分

故所求的概率.

………………12分

21.(本小题满分6分)已知直线，直线和直线．（Ⅰ）求直线和直线交点的坐标；（Ⅱ）求以点为圆心，且与直线相切的圆的标准方程．参考答案：解：（Ⅰ）由得所以直线和直线交点的坐标为．

……………2分（Ⅱ）因为圆与直线相切，所以圆的半径，

……………4分所以圆的标准方程为．

……………6分

略22.国内某汽车品牌一个月内被消费者投诉的次数用X表示，据统计，随机变量X的概率分布如下：01230.10.32aa

（1）求a的值；（2）若每个月被消费者投诉的次数互不影响，求该汽车品牌在五个月内被消费者投诉3次的概率．参考答案：（1）0.2；（2）0.0052【分析】（1）由概率和为1可直接求出，从而可补全上述表格；（2）由题意可知，将该汽车品牌在五个月内被消费者投诉3次分为三种情况分别求其概率，最后求和，可得其概率.【详解】（1）由概率分布的性质有，解答，的概率分布为

0

1

2

3