湖南省长沙市洞井中学 2021-2022学年高二数学理期末试卷含解析

湖南省长沙市洞井中学2021-2022学年高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，集合，则

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A略2.根据下图给出的2011年至2016年某企业关于某产品的生产销售（单位：万元）的柱形图，以下结论不正确的是A．逐年比较，2014年是销售额最多的一年B．这几年的利润不是逐年提高（利润为销售额减去总成本）C．2011年至2012年是销售额增长最快的一年D．2014年以来的销售额与年份正相关参考答案：D3.若，，，，成等比数列，，，，，成等差数列，则=（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A4.两个等差数列和,其前项和分别为,且则等于A.

B.

C.

D.参考答案：D5.一件产品要经过2道独立的加工工序，第一道工序的次品率为ａ，第二道工序的次品率为ｂ，则产品的正品率为（

）：A.

1-ａ-ｂＢ.1-ａ·ｂＣ.（1-ａ）·（1-ｂ）Ｄ.1-（1-ａ）·（1-ｂ）参考答案：C略6.下列说法正确的是（）A．归纳推理，演绎推理都是合情合理B．合情推理得到的结论一定是正确的C．归纳推理得到的结论一定是正确的D．合情推理得到的结论不一定正确参考答案：D【考点】F5：演绎推理的意义．【分析】根据演绎推理和合情推理的定义判断即可．【解答】解：合情推理包含归纳推理和类比推理，所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．其得出的结论不一定正确，故选：D7.偶函数y＝f(x)满足条件f(x＋1)＝f(x－1)，且当x∈[－1,0]时，f(x)＝3x＋，则f()的值等于()A．－1

B.

C.

D．1参考答案：D略8.以下程序运行后的输出结果为（

）A．17

B．19

C．21

D．23参考答案：C9.若命题“”为假，且“”为假，则A．“”为假

B假

C．真

D．不能判断的真假参考答案：B10.有一个几何体的三视图及其尺寸如图2所示（单位：cm），则该几何体的表面积为（

）A．

B.

Ks5C.

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.比较两个数的大小：______(填“>”或“<”符号)参考答案：>略12.若直线ax+2y+6=0与直线x+（a﹣1）y+2=0垂直，则实数a的值为_____．参考答案：∵直线与直线垂直，解得．故答案为．

13.已知点是椭圆与双曲线的交点，是椭圆焦点，则=

▲

．参考答案：014.阅读的程序框图，设[x]表示取x的整数部分，如[5]＝5，[2.7]＝2，经过程序框图运行后输出结果为S，T，设z1＝S－Ti，z2＝1＋i，z＝z1·z2，则|z|=

.参考答案：略15.已知定义域为Ｒ的奇函数的导函数为，当时，若，，，则的大小关系是．参考答案：略16.如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据此样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6，10)内的频数为

▲

．参考答案：64略17.（2015秋?华安县校级期末）抛物线的焦点恰巧是椭圆+=1的右焦点，则抛物线的标准方程为

．参考答案：y2=8x【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得椭圆的a，b，c，可得右焦点，设出抛物线的方程，可得焦点坐标，解方程可得p，进而得到所求方程．【解答】解：椭圆+=1的a=，b=，c==2，可得右焦点为（2，0），设抛物线的方程为y2=2px，p＞0，焦点为（，0），可得=2，解得p=4，故抛物线的标准方程为y2=8x．故答案为：y2=8x．【点评】本题考查抛物线的方程的求法，注意运用椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图所示，正方形ABCD和矩形ADEF所在平面相互垂直，G是AF的中点．（I）求证：ED⊥AC；（Ⅱ）若直线BE与平面ABCD成45°角，求异面直线GE与AC所成角的余弦值．参考答案：【考点】异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）由矩形ADEF可知ED⊥AD，又因为平面ADEF⊥平面ABCD，得到ED⊥平面ABCD，从而有ED⊥AC．（Ⅱ）由（I）ED⊥平面ABCD，可知∠EDB是直线BE与平面ABCD所成的角，又由AM∥GE，知∠MAC是异面直线GE与AC所成角或其补角然后在△MAC中用余弦定理求解．【解答】（I）证明：在矩形ADEF中，ED⊥AD∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD∴ED⊥平面ABCD∴ED⊥AC

（Ⅱ）由（I）知：ED⊥平面ABCD∴∠EBD是直线BE与平面ABCD所成的角，即∠EBD=45°（8分）设取DE中点M，连接AM∵G是AF的中点∴AM∥GE∴∠MAC是异面直线GE与AC所成角或其补角（10分）连接BD交AC于点O∵，O是AC的中点∴MO⊥AC∴cos∠MAC===，∴异面直线GE与AC所成角的余弦值为．（12分）【点评】本题主要考查线线垂直，线面垂直，面面垂直间的转化以及异面直线所成的角的求法．19.某超市从2017年1月甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，得到频率分布直方图如下：假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．（Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中的a值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为S12与S22，试比较S12与S22的大小（只需写出结论）；（Ⅱ）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率．参考答案：【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）利用频率分布直方图的性质即可得出．（Ⅱ）设事件A：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件B：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件C：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱．求出P（A），P（B），P（C）．【解答】解：（Ⅰ）由各小矩形面积和为1，得（0.010+a+0.020+0.025+0.030）×10=1，解得a=0.015，由频率分布直方图可看出，甲的销售量比较分散，而乙较为集中，主要集中在20﹣30箱，故s12＞s22．（II）设事件A：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件B：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件C：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱．则P（A）=0.20+0.10=0.3，P（B）=0.10+0.20=0.3．∴P（C）=P（A）P（）+P（）P（B）=0.42．∴甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率0.42．【点评】本题考查离散型随机变量的方差，频率分布直方图，独立重复试验概率的求法，考查计算能力，属于中档题．20.（本小题满分13分．）已知命题,

命题,若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围.参考答案：（1）,

…………4分由已知.真假时:

…………8分.真假时:

…………12分综上：或

…………13分21.

设数列的前项和为,且数列满足,点在直线上,.（I）求数列,的通项公式;（Ⅱ）设，求数列的前项和.参考答案：．解：（Ⅰ）由得，两式相减得.又,所以.故是首项为，公比为的等比数列.

所以.……4分

由点在直线上，所以.

（Ⅱ）因为，所以.…………………7分

则,……………8分两式相减得：所以.

…………………12分略22.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=AA1=4，AB=3，AB⊥AC．（Ⅰ）求证：A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）求二面角A﹣BC1﹣A1的平面角的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）法一：由AA1⊥AB，AB⊥AC，得AB⊥平面ACC1A1，从而A1C⊥AB，又A1C⊥AC1，由此能证明A1C⊥平面ABC1．法二：以A为原点，以AC、AB、AA1所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能证明A1C⊥平面ABC1．（Ⅱ）求出平面A1BC1的法向量和平面ABC1的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣BC1﹣A1的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）证法一：由已知AA1⊥AB，又AB⊥AC，∴AB⊥平面ACC1A1，…（2分）∴A1C⊥AB，又AC=AA1=4，∴A1C⊥AC1，…∵AC1∩AB=A，∴A1C⊥平面ABC1；

…证法二：由已知条件可得AA1、AB、AC两两互相垂直，因此以A为原点，以AC、AB、AA1所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，…（1分）则A（0，0，0），B（0，3，0），C（4，0，0），A1（0，