湖南省株洲市第十五中学2021年高二数学文上学期期末试卷含解析

湖南省株洲市第十五中学2021年高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（

）．A． B． C． D．参考答案：B∵，时，，∴当时，为增函数，时，为减函数，∵有奇函数，∴为偶函数，∵，∴．画出大致图象可得到时．2.若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离，则点的坐标为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略3.已知y＝e3x－cosx，则y′等于

()

A．e3x－cosx

B．(3＋sinx)e3x－cosxC．e3＋sinx

D.参考答案：B略4.已知两条直线和一个平面，若则与（

）．A．相交

B．异面

C．平行

D．以上都不对参考答案：C5.若多项式，则=（

）A、509

B、510

C、511

D、1022参考答案：B6.函数在区间上的最大值是（

）

A.

B.0

C.2

D.4参考答案：C7.根据如下样本数据得到的回归方程为=bx+a．若a=7.9，则x每增加1个单位，y就（）x34567y42.5﹣0.50.5﹣2A．增加1.4个单位 B．减少1.4个单位C．增加1.2个单位 D．减少1.2个单位．参考答案：B【考点】线性回归方程．【专题】概率与统计．【分析】由题意可得和，由回归直线过点（，）可得b值，可得答案．【解答】解：由题意可得=（3+4+5+6+7）=5，=（4+2.5﹣0.5+0.5﹣2）=0.9，∵回归方程为=bx+a．若a=7.9，且回归直线过点（5，0.9），∴0.9=5b+7.9，解得b=﹣1.4，∴x每增加1个单位，y就减少1.4个单位，故选：B．【点评】本题考查线性回归方程，涉及平均值的计算和回归方程的性质，属基础题．8.已知数列{an}是各项均为正整数的等比数列，数列{bn}是等差数列，且a6=b7，则有（）A．a3+a9≤b4+b10B．a3+a9≥b4+b10C．a3+a9≠b4+b10D．a3+a9与b4+b10的大小关系不确定参考答案：B【考点】8G：等比数列的性质；8F：等差数列的性质．【分析】先根据等比数列、等差数列的通项公式表示出a6、b7，然后表示出a3+a9和b4+b10，然后二者作差比较即可．【解答】解：∵an=a1qn﹣1，bn=b1+（n﹣1）d，∵a6=b7，∴a1q5=b1+6d，a3+a9=a1q2+a1q8b4+b10=2（b1+6d）=2b7=2a6a3+a9﹣2a6=a1q2+a1q8﹣2a1q5=a1q8﹣a1q5﹣（a1q5﹣a1q2）=a1q2（q3﹣1）2≥0所以a3+a9≥b4+b10故选B．【点评】本题主要考查了等比数列的性质．比较两数大小一般采取做差的方法．属基础题．9.在极坐标系中，点到直线的距离为（

）A．

B．1

C．

D．参考答案：A10.如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为()．A.

B.

C.

D.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.抛物线的准线方程为

.

参考答案：略12.在等比数列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15＝________.参考答案：313.一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔距离为__________km.参考答案：14.如果实数x、y满足等式，那么的最大值是____▲____.参考答案：略15.如图是某工厂对一批新产品长度(单位：mm)检测结果的频率分布直方图估计这批产品的中位数为______．参考答案：22.5根据频率分布直方图，得；∵0.02×5+0.04×5=0.3<0.5，0.3+0.08×5=0.7>0.5；∴中位数应在20～25内，设中位数为x，则0.3+(x?20)×0.08=0.5，解得x=22.5；∴这批产品的中位数是22.5.故答案为：22.5.点睛：用频率分布直方图估计总体特征数字的方法：①众数：最高小长方形底边中点的横坐标；②中位数：平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；③平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和.16.某同学在研究函数的性质时，得到如下的结论：①的单调递减区间是；②无最小值，无最大值；③的图象与它在（0，0）处切线有两个交点；④的图象与直线有两个交点．其中正确结论的序号是

.参考答案：①④17.如图，是以为圆心，半径为的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用表示事件“豆子落在正方形内”，表示事件“豆子落在扇形（阴影部分）内”，则（）__________；（）__________．参考答案：（）（）圆面积，正方形面积，∴，∵表示事件“已知豆子落在正方形中，则豆子落在扇形”的概率，∴．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某城市随机抽取一年内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如表：API[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]＞300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数413183091115（1）若某企业每天由空气污染造成的经济损失S（单位：元）与空气质量指数API（记为ω）的关系式为：S=，试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？附：P（K2≥k0）0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k01.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828k2=

非重度污染重度污染合计供暖季22830非供暖季63770合计8515100参考答案：【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）由200＜S≤600，得150＜ω≤250，频数为39，即可求出概率；（2）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，即可得出结论．【解答】解：（1）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A…由200＜S≤600，得150＜ω≤250，频数为39，…∴P（A）=…．（2）根据以上数据得到如表：

非重度污染重度污染合计供暖季22830非供暖季63770合计8515100…．K2的观测值K2=≈4.575＞3.841…．所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．…．19.如图，在三棱锥中，底面，点，分别在棱上，且（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；（Ⅲ）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由.参考答案：解法：本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又，∴AC⊥BC.∴BC⊥平面PAC.（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，∴△ABP为等腰直角三角形，∴，∴在Rt△ABC中，，∴.∴在Rt△ADE中，，∴与平面所成的角的大小.（Ⅲ）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP为二面角的平面角，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴.∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时，故存在点E使得二面角是直二面角.

20.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边长，且c=﹣3bcosA．（1）求的值；

（2）若tanC=．试求tanB的值．参考答案：【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）由余弦定理得c=﹣3b×，由此能求出的值．（2）由正弦定理，得sinC=﹣3sinBcosA，从而sinAcosB=﹣4sinBcosA，进而tanA=﹣4tanB，由tanC=﹣tan（A+B）==，能求出tanB．【解答】解：（1）∵△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边长，且c=﹣3bcosA．∴c=﹣3b×，整理，得：3（a2﹣b2）=5c2，∴=．（2）∵c=﹣3bcosA，∴由正弦定理，得sinC=﹣3sinBcosA，即sin（A+B）=﹣3sinBcosA．∴sinAcosB+cosAsinB=﹣3sinBcosA．从而sinAcosB=﹣4sinBcosA．∵cosAcosB≠0，∴=﹣4．∴tanA=﹣4tanB，又tanC=﹣tan（A+B）==，∴=，解得tanB=．21.已知点A（-2，0），B（2，0），直线AP与直线AB相交于点P，它们的斜率之积为，求点P的轨迹方程（化为