山西省运城市绛县县直中学高三数学文测试题含解析

山西省运城市绛县县直中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知复数满足，则A. B. C. D.参考答案：C本题主要考查复数的四则运算与共轭复数.因为，所以，则2.一个容器装有细沙，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，后剩余的细沙量为，经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过（）min，容器中的沙子只有开始时的八分之一。A．8

B．16

C．24

D．32参考答案：B依题意有=,即，两边取对数得当容器中只有开始时的八分之一，则有两边取对数得，所以再经过的时间为24-8=16.故选B.

3.一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（

）A．AB∥CD

B．AB与CD相交C．AB⊥CD

D．AB与CD所成的角为60°

参考答案：D4.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列条件，其中能够推出的是（

）A．，，

B．，，

C．，，

D．，，参考答案：B5.函数的定义域为（

）A.R

B.(-∞，4)∪(4，∞)

C.(-∞，4)

D.(4，∞)参考答案：D6.正项等比数列{an}中，，则的值为（

）A．100

B．10000

C．1000

D．10参考答案：B略7.已知向量等于

A．6

B．-6

C．12

D．-12参考答案：C8.命题“，”的否定是（

）A．不存在，使 B．，使C．，使≤ D．，使≤参考答案：C9.某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40个检测，如图是根据抽样检测后零件的质量（单位：克）绘制的频率分布直方图，样本数据分8组，分别为[80，82），[82，84），[84，86），[86，88），[88，90），[90，92），[92，94），[94，96]，则样本的中位数在（）A．第3组 B．第4组 C．第5组 D．第6组参考答案：B【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图求出前4组的频数为22，且第四组的频数8，即可得到答案．【解答】解：由图可得，前第四组的频率为（0.0375+0.0625+0.075+0.1）×2=0.55，则其频数为40×0.55=22，且第四组的频数为40×0.1×2=8，故中位数落在第4组，故选：B【点评】本题是对频率、频数灵活运用的综合考查．频率、频数的关系：频率=频数÷数据总和，以及中位数的定义，属于基础题．10.△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且，则向量在方向上的投影为(

)A．

B．3

C．

D．-3参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前8项和等于

参考答案：4

略12.设不等式组所表示的平面区域为，则区域的面积为

▲

；若直线与区域有公共点，则的取值范围是

▲

．参考答案：13.一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P，如果：将容器倒置，水面也恰好过点P有下列四个命题：

①正四棱锥的高等于正四棱柱的高的一半；

②若往容器内再注a升水，则容器恰好能装满；

③将容器侧面水平放置时，水面恰好经过点P；

④任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P．

其中正确命题的序号为

（写出所有正确命题的序号）参考答案：【知识点】棱锥棱柱G7②③解析：设图（1）水的高度h2几何体的高为h1，底面边长为b，

图（1）中水的体积为，图（2）中水的体积为b2h1-b2h2=b2（h1-h2），

所以b2h2=b2（h1-h2），所以h1=h2，故①错误；又水占容器内空间的一半，所以②正确；当容器侧面水平放置时，P点在长方体中截面上，所以③正确；假设④正确，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，经计算得水的体积为b2h2＞b2h2，矛盾，故④不正确．故答案为：②③．【思路点拨】可结合已知条件先判断出水的体积占整个容积的一半，再通过计算判断①④是否正确即可.14.已知，，则

。参考答案：

15.在等比数列中，若，，则

▲

参考答案：816.已知函数，则满足的x的取值范围是

_____．参考答案：17.设⊙O为不等边△ABC的外接圆，△ABC内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c，P是△ABC所在平面内的一点，且满足（P与A不重合）.Q

为△ABC所在平面外一点，QA=QB=QC.有下列命题：①若QA=QP，∠BAC=90°，则点Q在平面ABC上的射影恰在直线AP上；

②若QA=QP，则；

③若QA>QP，；

④若QA>QP,则P在△ABC内部的概率为

的面积）．

其中不正确的命题有＿＿＿＿＿（写出所有不正确命题的序号）．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面分别为的中点．（1）证明平面；（2）设，求二面角的大小．参考答案：解法一：（1）作交于点，则为的中点．连结，又，故为平行四边形．，又平面平面．所以平面．

--------4分（2）不妨设，则为等腰直角三角形．取中点，连结，则．又平面，所以，而，所以面．

--------8分取中点，连结，则．连结，则．故为二面角的平面角

--------10分 ．所以二面角的大小为．

--------12分解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系．设，则，．取的中点，则．平面平面，所以平面．--------4分（2）不妨设，则．中点又，，所以向量和的夹角等于二面角的平面角． ．所以二面角的大小为．（其他方法酌情给分）19.

已知直线y＝2与函数f(x)＝2sin2ωx＋2sinωxcosωx－1(ω>0)的图像的两个相邻交点之间的距离为π．（I）求f(x)的解析式，并求出f(x)的单调递增区间；（II）将函数f(x)的图像向左平移个单位长度得到函数g(x)的图像，求函数g(x)的最大值及g(x)取得最大值时x的取值集合．参考答案：(1)f(x)＝2sin2ωx＋2sinωxcosωx－1＝1－cos2ωx＋sin2ωx－1＝2sin，由题意可知函数的最小正周期T＝＝π(ω>0)，所以ω＝1，所以f(x)＝2sin，令2kπ－≤2x－≤2kπ＋其中k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，其中k∈Z，即f(x)的递增区间为，k∈Z．(2)g(x)＝f＝2sin＝2sin，则g(x)的最大值为2，此时有2sin＝2，即sin＝1，即2x＋＝2kπ＋，其中k∈Z，解得x＝kπ＋，k∈Z，所以当g(x)取得最大值时x的取值集合为20.（13分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+1，曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线为l（Ⅰ）若直线l的斜率为﹣3，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数是f（x）区间[﹣2，a]上的单调函数，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】转化思想；分类法；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由条件可得a=﹣3，由导数大于0，可得增区间，由导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）由题意可得当函数在[﹣2，a]递增（或递减），即有f′（x）≥0（或≤0）对x∈[﹣2，a]成立，只要f′（x）=x2+2x+a在[﹣2，a]上的最小值（或最大值）大于等于0即可．求出二次函数的对称轴，讨论区间[﹣2，a]和对称轴的关系，求得最小值（或最大值），解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）因为f（0）=1，所以曲线y=f（x）经过点（0，1），又f′（x）=x2+2x+a，曲线y=f（x）在点（0，1）处切线的斜率为﹣3，所以f′（0）=a=﹣3，所以f′（x）=x2+2x﹣3．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，﹣3）﹣3（﹣3，1）1（1，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）增极大值减极小值减所以函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣3），（1，+∞），单调递减区间为（﹣3，1）；（Ⅱ）因为函数f（x）在区间[﹣2，a]上单调，①当函数f（x）在区间[﹣2，a]上单调递减时，f′（x）≤0对x∈[﹣2，a]成立，即f′（x）=x2+2x+a≤0对x∈[﹣2，a]成立，根据二次函数的性质，只需要，解得﹣3≤a≤0．又a＞﹣2，所以﹣2＜a≤0；②当函数f（x）在区间[﹣2，a]上单调递增，所以f′（x）≥0对x∈[﹣2，a]成立，只要f′（x）=x2+2x+a在[﹣2，a]上的最小值大于等于0即可．因为函数f′（x）=x2+2x+a的对称轴为x=﹣1，当﹣2≤a≤﹣1时，f′（x）在[﹣2，a]上的最小值为f′（a），解f′（a）=a2+3a≥0，得a≥0或a≤﹣3，所以此种情形不成立；当a＞﹣1时，f′（x）在[﹣2，a]上的最小值为f′（﹣1），解f′（﹣1）=1﹣2+a≥0得a≥1，所以a≥1，综上，实数a的取值范围是﹣2＜a≤0或a≥1．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．21.已知分别是的三个内角的对边，.(1)求角的大小；（2）求函数的值域.参考答案：解：（I）由正弦定理，得：

即

故

所以

（II）

所以所求函数值域为略22.（本小题14分）已知函数，斜率为的直线与相切于点.（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）当实数时，讨论的极值点。（Ⅲ）证明：.参考答案：解：（Ⅰ）由题