山东省济南市第十三中学高三数学文期末试题含解析

山东省济南市第十三中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.为了解一片大约一万株树木的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：㎝）.根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图，那么在这片树木中，底部周长小于110㎝的株树大约是（）A.3000

B.6000C.7000

D.8000参考答案：C2.设均为小于1的正数，且，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B分析：先设=m,再求出，再作商比较它们的大小关系.详解：设=m,因为均为小于1的正数，所以m＜0，所以所以所以，同理，故答案为：B

3.下列各组函数是同一函数的是（

）①与；

②与；③与；

④与。A.①②

B.①③

C.③④

D.①④参考答案：C4.i为虚数单位，则=(

)A．﹣i B．﹣1 C．i D．1参考答案：A【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】根据两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质化简为i，根据=i4×503+3=i3，求得结果．【解答】解：∵===i，则=i4×503+3=i3=﹣i，故选：A．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．5.直线和圆交于两点，则的中点坐标为（

）A

B

C

D

参考答案：D略6.如图的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的A.?

B.

?

C.

?

D.?参考答案：A由于要取，，中最大项，输出的应当是，，中的最大者，所以应填比较与大小的语句，故选A.7.已知点P是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上的动点，F1，F2分别是其左、右焦点，O为坐标原点，若的最大值是，则此双曲线的离心率是（） A． B． C． D． 2参考答案：B8.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，当x＞0时，有＞0成立，则不等式f（x）＞0的解集是（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣1，0） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）参考答案：A【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据当x＞0时，有＞0成立，可得为增函数，结合函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，可分析出在各个区间上，和f（x）的符号，进而可得不等式f（x）＞0的解集．【解答】解：∵当x＞0时，有＞0成立，∴当x＞0时，为增函数，又∵f（1）=0，∴当x＞1时，＞0，f（x）＞0，当0＜x＜1时，＜0，f（x）＜0，又∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，故当x＜﹣1时，＞0，f（x）＜0，当﹣1＜x＜0时，＜0，f（x）＞0，故f（x）＞0的解集是（﹣1，0）∪（1，+∞），故选：A9.记，则的值为A.1 B.2 C.129 D.2188参考答案：C【详解】中，令，得.∵展开式中∴故选C.点睛：二项式通项与展开式的应用：(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定项或指定项的系数等.(2)展开式的应用：①可求解与二项式系数有关的求值，常采用赋值法.②可证明整除问题(或求余数).关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判断.③有关组合式的求值证明，常采用构造法.10.在复平面上的平行四边形ABCD中，向量、对应的复数分别为、，则向量对应的复数为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.抛物线的顶点为，，过焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，则的面积是

．参考答案：12.已知三棱锥S-ABC的三条侧棱SA，SB，SC两两互相垂直，且，此三棱锥的外接球的表面积为14π，设，，则的取值范围是_________________。参考答案：.【分析】设，先求出，再求出，最后利用基本不等式求的取值范围得解.【详解】由题意设，则在中，由勾股定理得，即

①；在中，由勾股定理得，即

②；在中，由勾股定理得，即

③；由①+②+③，得

④；∵三棱锥的外接球的表面积为，设外接球的半径为，则，∴，代入④中，得，即，∵，∴，∴，∴，当且仅当时等号成立.又在中，由两边之和大于第三边，可知，综上，的取值范围是.故答案为：【点睛】本题主要考查棱锥的外接球问题，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.13.设，则的值为 .参考答案：214.椭圆的长轴长是

，离心率是

．参考答案：4,15.设x，y满足的约束条件，则z=x+2y的最大值为．参考答案：7【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B时，直线y=﹣的截距最大，此时z最大．由，得，即B（3，2），此时z的最大值为z=1+2×3=1+6=7，故答案为：7．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．16.已知函数，给出如命题：①是偶函数；②在上单调递减，在上单调递增；③函数在上有3个零点；④当时，恒成立；其中正确的命题序号是__________.参考答案：①④略17.若，则的最小值是

。参考答案：4略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.参考答案：略19.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=AD=a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到如图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE．（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1﹣BCDE的体积为36，求a的值．参考答案：【考点】LZ：平面与平面垂直的性质；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（I）运用E是AD的中点，判断得出BE⊥AC，BE⊥面A1OC，考虑CD∥DE，即可判断CD⊥面A1OC．（II）运用好折叠之前，之后的图形得出A1O是四棱锥A1﹣BCDE的高，平行四边形BCDE的面积S=BC?AB=a2，运用体积公式求解即可得出a的值．【解答】解：（I）在图1中，因为AB=BC==a，E是AD的中点，∠BAD=，所以BE⊥AC，即在图2中，BE⊥A1O，BE⊥OC，从而BE⊥面A1OC，由CD∥BE，所以CD⊥面A1OC，（II）即A1O是四棱锥A1﹣BCDE的高，根据图1得出A1O=AB=a，∴平行四边形BCDE的面积S=BC?AB=a2，V==a=a3，由a=a3=36，得出a=6．20. 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，已知c=1，． (Ⅰ)若a=，求b的值； (Ⅱ)求cosAcosB的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）解法一：由余弦定理得，所以b=1或b=2. 解法二：由正弦定理，． 当;当 综上，b=1或b=2. (Ⅱ) 因为,所以, 所以cosAcosB的取值范围是．

略21.在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆C的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．参考答案：【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）求出圆的普通方程，然后求解圆C的参数方程；（Ⅱ）利用圆的参数方程，表示出x+y，通过两角和与差的三角函数，求解最大值，并求出此时点P的直角坐标．【解答】（本小题满分10分）选修4﹣4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）因为ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6，所以x2+y2=4x+4y﹣6，所以x2+y2﹣4x﹣4y+6=0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2=2为圆C的普通方程．…所以所求的圆C的参数方程为（θ为参数）．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，…当时，即点P的直角坐标为（3，3）时，…x+y取到最大值为6．…22.（本小题满分12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.（Ⅰ）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系；年入流量X40＜X＜8080≤X≤120X＞120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？参考答案：（Ⅰ）依题意，,,.由二项分布，在未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为：.（Ⅱ）记水电站年总利润为Y（单位：万元）（1）安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y=5000，E(Y)=5000×1=5000.（2）安装2台发电机的情形.依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000-800=4200，因此P(Y=4200)=P(40＜X＜80)=p1=0.2；当X≥80时，两台发电机运行，此时Y=5000×2=10000，因此P(Y=10000)=P(X≥80)=p2+p3=0.8；由此得Y的分布列如下Y4200