河北省秦皇岛市印庄乡大横河中学2021-2022学年高三数学理期末试卷含解析

河北省秦皇岛市印庄乡大横河中学2021-2022学年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，在直角梯形ABCD中，DA=AB=1，BC=2，点P在阴影区域（含边界）中运动，则有?的取值范围是（）A． B． C．[﹣1，1] D．[﹣1，0]参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】在直角梯形ABCD中，DA=AB=1，BC=2，由此求得BD，进一步利用向量的三角形法则以及向量的运算得到?的最值．【解答】解：∵在直角梯形ABCD中，DA=AB=1，BC=2，∴BD=．如图所示，过点A作AO⊥BD，垂足为O．则，．∴?=（）=．所以当点P取点B时，则?===1，当点P取BC边上的任意一点时，?取得最小值=﹣=﹣1．∴?的取值范围是[﹣1，1]．故选C．．【点评】本题考查了向量的数量积定义及其性质、投影的定义、向量的三角形法则、直角梯形的性质等基础知识与基本技能方法，考查了转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．2.一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为10，

则判断框中应填入的条件是（）A．

B．

C．

D．

参考答案：A3.函数,,设函数，且函数的零点均在区间内，则的最小值为

（

）

(A)8

(B)9

(C)10

(D)11参考答案：C略4.已知x，y满足，则使目标函数z=y﹣x取得最小值﹣4的最优解为（）A．（2，﹣2） B．（﹣4，0） C．（4，0） D．（7，3）参考答案：C【考点】简单线性规划．【专题】计算题；作图题；不等式的解法及应用．【分析】由题意作出其平面区域，将z=y﹣x化为y=x+z，z相当于直线y=x+z的纵截距，由图象可得最优解．【解答】解：由题意作出其平面区域，将z=y﹣x化为y=x+z，z相当于直线y=x+z的纵截距，则由平面区域可知，使目标函数z=y﹣x取得最小值﹣4的最优解为（4，0）；故选C．【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．5.记函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）对应的曲线在点（x0，f（x0））处的切线方程为y=﹣x+1，则（）A．f′（x0）=2 B．f′（x0）=1 C．f′（x0）=0 D．f′（x0）=﹣1参考答案：D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用；直线与圆．【分析】由导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，可得f（x）对应的曲线在点（x0，f（x0））处的切线斜率为f′（x0），再由切线方程，即可求得切线的斜率．【解答】解：由导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，可得f（x）对应的曲线在点（x0，f（x0））处的切线斜率为f′（x0），曲线在点（x0，f（x0））处的切线方程为y=﹣x+1，即有f′（x0）=﹣1．故选D．【点评】本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，同时考查直线的斜率的求法，属于基础题．6.如图所示，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等腰梯形，等腰直角三角形和长方形，则该几何体体积为（）A．

B． C．

D．参考答案：A7.已知等差数列的前项和为，若，则(

)

参考答案：D由题意，等差数列中，所以，故选8.下列命题中，真命题是(

) A．?x0∈R，使得ex0≤0 B．sin2x+≥3（x≠kπ，k∈Z） C．?x∈R，2x＞x2 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件参考答案：D考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：根据指数函数的值域为（0，+∞），可判断A；举出反例，sinx=﹣1可判断B；举出反例x=3，可判断C；根据充要条件的定义，可判断D．解答： 解：∵ex＞0恒成立，故A?x0∈R，使得ex0≤0错误；当sinx=﹣1时，sin2x+=﹣1，故B错误；当x=3时，23＜32，故C错误；当a＞1，b＞1时，ab＞1成立，反之，当ab＞1时，a＞1，b＞1不一定成立，故a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件，故D正确；故选：D点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了全称命题，特称命题，充要条件等知识点，难度不大，属于基础题．9.要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点的()A.横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）,所得图象再向左平移个单位长度.B.横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），所得图象再向右平移个单位长度.C.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象再向左平移个单位长度.D.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象再向右平移个单位长度.参考答案：C略10.已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（2015）=（） A．2 B． ﹣2 C． 8 D． ﹣8参考答案：考点： 函数解析式的求解及常用方法．专题： 计算题；函数的性质及应用．分析： 由题意知函数的周期为4，故f（2015）=f（﹣1），又由奇函数可求f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．解答： 解：∵f（x+4）=f（x），∴f（2015）=f（504×4﹣1）=f（﹣1），又∵f（x）在R上是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．故选B．点评： 本题考查了函数的奇偶性与周期性的应用，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.的展开式中含项的系数为

．参考答案：1812.已知.若时，的最大值为2，则的最小值为

参考答案：13.函数函数的反函数是

参考答案：略14.在中，角所对的边分别是，，且，则面积的最大值为____________．参考答案：考点：1、正弦定理；2、基本不等式；3、余弦定理．【思路点睛】利用二倍角公式，将已知的的值代入即可求出值，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，再利用余弦定理分别表示出和，代入到已知的等式中，化简后即可求出的值，然后利用余弦定理，把及的值代入后，利用基本不等式即可求出的最大值，利用三角形的面积公式表示出的面积，把的最大值及的值代入即可求出面积的最大值．此题考查了二倍角的余弦函数公式，基本不等式，余弦定理及三角形的面积公式．熟练掌握公式及定理是解本题的关键，属于中档题．15.已知中，为边上靠近点的三等分点，连接为线段的中点，若，则

．参考答案：16.在△ABC中，E为AC上一点，且，P为BE上一点，且满足，则取最小值时，向量的模为

．参考答案：17.已知A（1，2），B（﹣2，1），O为坐标原点，若直线l：ax+by=2与△ABO所围成区域（包含边界）没有公共点，则a﹣b的取值范围为

．参考答案：[﹣2，+∞）【考点】7C：简单线性规划．【分析】根据所给的三个点的坐标和直线与两条直线都有公共点，得到关于a，b的不等式组，根据不等式组画出可行域，求出目标函数的最小值．【解答】解：A（1，2），B（﹣2，1），O为坐标原点，若直线l：ax+by=2与△ABO所围成区域（包含边界）没有公共点，得不等式组，令z=a﹣b，画出不等式组表示的平面区域，判断知，z=a﹣b在A取得最小值，由解得A（0，2），a﹣b的最小值为：﹣2．a﹣b的取值范围是[﹣2，+∞）．故答案为：[﹣2，+∞）．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知集合,，设是等差数列的前项和,若的任一项,且首项是中的最大数,.（Ⅰ）求数列的通项公式;（Ⅱ）若数列满足，求的值.参考答案：（Ⅰ）由题设知:集合中所有元素可以组成以为首项,为公差的递减等差数列；集合中所有的元素可以组成以为首项,为公差的递减等差数列.由此可得,对任意的,有中的最大数为,即

…………………3分设等差数列的公差为,则,因为,,即由于中所有的元素可以组成以为首项,为公差的递减等差数列,所以,由，所以所以数列的通项公式为（）…………………8分（Ⅱ）…………9分于是有 ……12分19.据IEC（国际电工委员会）调查显示，小型风力发电项目投资较少，且开发前景广阔，但受风力自然资源影响，项目投资存在一定风险.根据测算，风能风区分类标准如下：风能分类一类风区二类风区平均风速m/s8.5～106.5～8.5假设投资A项目的资金为（≥0）万元，投资B项目资金为（≥0）万元，调研结果是：未来一年内，位于一类风区的A项目获利的可能性为，亏损的可能性为；位于二类风区的B项目获利的可能性为，亏损的可能性是，不赔不赚的可能性是.（1）记投资A，B项目的利润分别为和，试写出随机变量与的分布列和期望，；（2）某公司计划用不超过万元的资金投资于A，B项目，且公司要求对A项目的投资不得低于B项目,根据（1）的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和的最大值．参考答案：（1）A项目投资利润的分布列

PB项目投资利润的分布列0P…………………6分(2)由题意可知满足的约束条件为………………9分由(1)可知，当，取得最大值15.∴对A、B项目各投资50万元，可使公司获得最大利润，最大利润是15万元.…………12分

略20.（12分）设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n－1)an=2n.（1）求{an}的通项公式；（2）求数列的前n项和.参考答案：

21.（本题12分）已知函数（I）如果对任意恒成立，求实数a的取值范围；（II）设函数的两个极值点分别为判断下列三个代数式：①②③中有几个为定值？并且是定值请求出；若不是定值，请把不是定值的表示为函数并求出的最小值.参考答案：解：（1）由得，对任意恒成立，即，对任意恒成立，又x-3<0恒成立，所以恒成立，所以恒成立，所以a<-2.

………………4分（2）依题意知恰为方程的两根，所以解得

………………5分所以①=3为定值，

………………6分②为定值，………………7分③不是定值即（）所以，当时，，在是增函数，当时，，在是减函数，当时，，在是增函数，所以在的最小值需要比较，因为；所以（）的最小值为15（a=2时取到）.……12分22.如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=BB1，D为AC的中点．（I）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）若AC1⊥平面A1BD，求证：B1C1⊥平面ABB1A1；（Ⅲ）在（II）的条件下，求二面角B﹣A1C1﹣D的大小．参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（I）利用三角形中位线的性质，证明B1C∥ED，利用线面平行的判定，可得B1C∥平面A1BD；（II）证明A1B⊥B1C1，BB1⊥B1C1，利用线面垂直的判定，即可得出结论；（III）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可得出结论．【解答】（I）证明：连结AB1交A1B于E，连ED．∵ABC﹣A1B1C1是三棱柱中，且AB=BB1，∴侧面ABB1A是一正方形．∴E是AB1的中点，又已知D为AC的中点．∴在△AB1C中，ED是中位线．∴B1C∥ED．∴B1C∥平面A1BD．…（II）证明：∵AC1⊥平面A1BD，∴AC1⊥A1B，又∵侧面ABB1A是一正方形，∴A1B⊥AB1．∴A1B⊥平面AB1C1．∴A1B⊥B1C1．又∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱