高中数学必修二综合测试题(含答案)

高中数学必修二综合测试题(含答案)

高二数学必修二综合测试题班级：_______________姓名：___________________总分：_________________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.下面四个命题：①分别在两个平面内的两直线是异面直线；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面；③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行。其中正确的命题是（）A.①②B.②④C.①③D.②③2.过点P(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为（）A.2x+y-1=0B.2x+y-5=0C.x+2y-5=0D.x-2y+7=03.圆(x-1)²+y²=1的圆心到直线y=3x的距离是（）A.2B.2√2C.1D.34.已知F₁,F₂是椭圆(x²/4)+(y²/9)=1的左右焦点，P为椭圆上一个点，且PF₁:PF₂=1:2，cos∠F₁PF₂等于（）A.2/3B.11/12C.2/34D.2/3√345.已知空间两条不同的直线m,n和两个不同的平面α,β，则下列命题中正确的是（）A.若m//α,n⊥α，则m//nB.若α∩β=m,m⊥n，则n⊥αC.若m//α,n//α，则m//nD.若m//α,m⊥β,αβ=n，则m//n6.圆x²+y²-2x+4y-20=0截直线5x-12y+c=0所得的弦长为8，则c的值是（）A.10B.10或-68C.5或-34D.-687.已知ab<0,bc>0，则直线ax+by=c通过（）A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限8.正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是AA₁与CC₁的中点，则直线ED与D₁F所成角的大小是（）A.45°B.113°C.67°D.23°9.在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱长相等，侧面BB₁C的中心为点D，则AD与平面BB₁C的夹角为（）1.C所成角的大小是()答案：缺失上下文，无法判断如何改写。10.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角；④AB与CD所成的角是60°.其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.4改写：正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，下列结论正确的个数是（）A.1B.2C.3D.411.如图:直三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA1和CC1上，AP=C1Q，则四棱锥B—APQC的体积为()A．QCAVVVVB．C．D．（11题）改写：如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA1和CC1上，且AP=C1Q，求四棱锥B—APQC的体积。A.QCAVVVVB.C.D.（11题）12.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点1E、F，且EF＝，则下列结论错误的是()2A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCD（12题）C．三棱锥A—BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相改写：如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点1E、F，且EF＝，下列结论中错误的是()A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.三棱锥A—BEF的体积为定值D.△AEF的面积与△BEF的面积相等。13.一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)如图所示，则该几何体的侧面积为_______cm222558正(主)视图58侧(左)视图5改写：一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)如图所示，该几何体的侧面积为______cm²。正(主)视图：85侧(左)视图：225814.两圆xy1和(x4)(ya)25相切，则实数a的值为2PF1PQ且PF改写：已知两圆x+y=1和(x+4)+(y-a)=25相切，求实数a的值使得PF⊥PQ。注：原文中的符号可能存在问题，已修正。15.已知F1,F2是椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于P、Q两点，1PQ，则椭圆的离心率为改写：已知F1,F2是椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于P、Q两点，且FP=FQ=2，求椭圆的离心率。17.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点．求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.改写：如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点，证明：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1。18.已知点P(x,y)在圆x2(y1)21上运动.改写：已知点P(x,y)在圆(x-0)²+(y-1)²=1上运动。17.证明：(1)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，因为F和F1分别是AC和A1C1的中点，所以B1F1||BF，AF1||C1F。又因为B1F1∩AF1=F1，C1F∩BF=F，所以平面AB1F1||平面C1BF。(2)在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，所以B1F1⊥AA1。又因为B1F1⊥A1C1，所以A1C1∩AA1=F1，所以AF1=A1F1。同理，CF1=C1F1。所以AF1C1和A1F1C1都是等腰三角形，所以∠A1AF1=∠C1CF1=60°。因为AB=AC，所以∠BAC=60°，所以∠A1AC1=120°。所以∠FA1C1=30°，所以∠B1F1C1=90°-∠FA1C1=60°。所以B1F1⊥C1F，即B1F1||BF，C1F||AF1。所以平面B1F1C1||平面BFAF1。18.（1）解：设y=sinx，则y-1=sinx-1=-2sin^2(x/2)。所以y-1的最大值为0，最小值为-2。所以y的最大值为1，最小值为-1。（2）解：2x+y=2(x-1)+y+2=2(x-1)+(y-1)+3。所以2x+y的最大值为3，最小值为-1。19.（1）证明：因为EB||DC，所以∠EBD=∠DCB=60°。所以∠EDC=30°。又因为AC=BC=EB=2DC，所以AC=4DC。所以∠ADC=90°，所以PQ⊥AC。又因为P和Q分别是AE和AB的中点，所以PQ||BE。所以PQ||平面ACD。（2）解：因为AC=BC，所以∠ACB=60°。所以∠BAD=30°。所以AD=2sin30°=1。因为AB=2，所以AE=BE=√3。所以平面ABE的法向量为n=(0,√3,-1)。所以平面ABE的方程为√3y-z=0。所以平面ACD的法向量为m=(1,1,1)。所以∠ACD=arccos((m·n)/|m||n|)=arccos(√3/3)。所以sin∠ACD=√2/2。20.（1）解：将圆C1的方程化简，得x^2-2x+y^2-4y+m=0，即(x-1)^2+(y-2)^2=5-m。所以当5-m>0时，圆C1存在；当5-m≤0时，圆C1不存在。（2）解：将直线l的方程代入圆C1的方程，得x^2+2x-3+4y-m=0。所以M和N的横坐标之和为-2，即OM=ON。所以M和N在圆C1上对称。所以直线l与圆C1的交点为(1,1)和(3,-2)。所以OM=ON=√10/2。所以圆心O的坐标为(2,0)。所以m=3。21.（1）证明：因为PCD是等边三角形，所以PM⊥CD。又因为平面PCD垂直于平面ABCD，所以PM⊥AM。所以AM⊥PM。（2）解：∠DPM=90°，所以cos∠DPM=DM/DP=1/2。所以DM=√3。所以AM=√(AD^2-DM^2)=√(4-3)=1。所以PM=√(DP^2-DM^2)=√(22-3)=√19。所以cos∠PAM=PM/PA=(√19)/2。所以sin∠PAM=√(1-cos^2∠PAM)=√(1-19/4)=√(5/4)。所以∠PAM=arctan(√5/2)。所以二面角P-AM-D的大小为2π-2arctan(√5/2)。22.（1）证明：设H为ABED的中心，则GH=1/2EC=1/4BC=1/4AB。又因为AB=AC，所以AH=1/2AB。所以AHG和ABC都是等腰三角形，所以∠AHG=∠ABC=60°。所以GF||BC，即GF||底面ABC。（2）证明：设I为AC和平面EBC的交点，则∠AIB=90°。又因为AB=AC，所以∠ABI=∠ACI=30°。所以∠BIC=60°。又因为平面EBC垂直于平面ABC，所以BI⊥CI。所以∠IBF=30°，所以∠BGF=60°。所以GF⊥BI。又因为GF||底面ABC，所以GF⊥AC。所以AC⊥平面EBC。（3）解：设ADEBC的高为h，则h^2+(1/2)^2=1^2，所以h=√3/2。所以ADEBC的体积V=SABC×h/3=(1/4)AB^2×√3/2×1/3=√3/24。18.解：（1）设$y-1=k$，则$k$表示点$P(x,y)$与点$(2,1)$连线的斜率。当该直线与圆相切时，$k$取得最大值与最小值。由$\frac{2k}{k^2+1}=1$，解得$k=\pm\frac{3y-13}{3x-2}$，故最大值为$\frac{33x-2}{3}$，最小值为$-\frac{3}{\sqrt{3x^2-4x+1}}$。（2）设$2x+y=m$，则$m$表示直线$2x+y=m$在$y$轴上的截距。当该直线与圆相切时，$m$取得最大值与最小值。由$\frac{1-m}{5}=1$，解得$m=1\pm5$，故$2x+y$的最大值为$6$，最小值为$-4$。19.（1）证明：因为$P$，$Q$分别为$AE$，$AB$的中点，所以$PQ\parallelEB$。又$DC\parallelEB$，因此$PQ\parallelDC$，又$PQ\not\subset$平面$ACD$，从而$PQ\parallel$平面$ACD$。（2）如图，连接$CQ$，$DP$，因为$Q$为$AB$的中点，且$AC=BC$，所以$CQ\perpAB$。因为$DC\perp$平面$ABC$，$EB\parallelDC$，所以$EB\perp$平面$ABC$，因此$CQ\perpEB$。故$CQ\perp$平面$ABE$。由(1)有$PQ\parallelDC$，又$PQ=EB=DC$，所以四边形$CQPD$为平行四边形，故$DP\parallelCQ$，因此$DP\perp$平面$ABE$，$\angleDAP$为$AD$和平面$ABE$所成的角，在$\triangleDPA$中，$AD=5$，$DP=1$，$\sin\angleDAP=\frac{1}{\sqrt{26}}$，因此$AD$和平面$ABE$所成角的正弦值为$\frac{1}{\sqrt{26}\cdot5}$。20.解：（1）配方得$(x-1)+(y-2)=5-m$，所以$5-m>0$，即$m<5$。（2）设$M(x_1,y_1)$、$N(x_2,y_2)$，$\becauseOM\perpON$，所以$x_1x_2+y_1y_2=0$，由$\begin{cases}5x-16y+m+8=0,\\x+y-2x-4y+m=0,\end{cases}$解得$x_1+x_2=\frac{24}{5}$，$x_1x_2=\frac{16m-84}{5(5+m)}$，$y_1y_2=\frac{m-4}{5+m}$。因为直线与圆相交于$M$、$N$两点，所以$\Delta=16-20(m+8)>0$，即$m<-\frac{6}{5}$，故$m\in\left(-\frac{6}{5},5\right)$.21.题目：证明△PDE与△ECM以及△ABM均为直角三角形，求出EM、AM和AE的长度。证明：如图所示，取CD的中点E，连接PE、EM、EA。因为△PCD为正三角形，所以PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°=3。因为平面PCD⊥平面ABCD，所以PE⊥平面ABCD，而AM⊂平面ABCD，所以PE⊥AM。因为四边形ABCD是矩形，所以△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形，由勾股定理可求得EM=3，AM=6，AE=3，所以EM+AM=AE。又因为P