北师大版九年级数学下册《圆》单元测试卷及答案解析

北师大版九年级数学下册《圆》单元测试卷及答案解析

1.如图，三角形ABC是内切于圆O的三角形，且∠C＝30°，AB＝3。求圆O的半径。解：由于三角形ABC是内切于圆O的三角形，所以∠C是圆心角，且∠C＝∠AOC。又因为∠C＝30°，所以∠AOC＝60°。设圆O的半径为r，则由三角函数可得：sin60°＝r/3所以r＝3sin60°＝3×√3/2＝3√3/2，选项C。2.圆心角等于30°，半径等于6的弧的长度等于多少？解：圆心角等于30°的弧长为1/12的圆周长，即2π/12＝π/6。所以半径等于6的弧长为6×π/6＝π，选项A。3.从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是多少？解：30分钟是钟面上的1/2圆周，所以扫过的面积是1/2×π×1×1＝π/2，选项B。4.一个扇形的圆心角是120°，半径是3cm，那么这个扇形的面积是多少？解：扇形的面积是1/3的圆周长乘以扇形的半径的平方。圆周长等于2πr，所以这个扇形的面积是1/3×2π×3×3×120°/360°＝π，选项A。5.平面直角坐标系xOy中，半径为2的圆心P的坐标为（－3，k），将圆沿x轴正方向平移，使圆与y轴相切，则平移的距离为多少？解：由于圆心在直线x＝－3上，所以圆的方程为(x＋3)²＋(y－k)²＝4。将圆沿x轴正方向平移d个单位，则新圆的方程为(x＋3＋d)²＋(y－k)²＝4。由于新圆与y轴相切，所以新圆的圆心到y轴的距离等于新圆的半径2，即d＋3＝2，解得d＝－1，选项A。6.如图，在圆O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC。若∠BCD＝50°，则∠AOC的度数为多少？解：由于BC是弦，所以∠BCD＝1/2∠BOD。又因为CD是切线，所以∠BCD＝∠OCD，所以∠OCD＝50°/2＝25°。又因为∠AOC是圆心角，所以∠AOC＝2∠OCD＝50°，选项B。7.已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3，此时直线和圆的位置关系为什么？解：如果圆心到直线的距离等于圆的半径，那么圆与直线相切；如果圆心到直线的距离小于圆的半径，那么圆与直线相交；如果圆心到直线的距离大于圆的半径，那么圆与直线相离。根据已知条件，圆心到直线的距离为3，圆的半径为5，所以圆与直线相离，选项A。8.如图，PA、PB是圆O的切线，切点分别是A、B，如果∠P＝60°，那么∠AOB等于多少？解：由于PA、PB是圆O的切线，所以∠APB＝90°。又因为∠P＝60°，所以∠APB＝2∠AOB，即∠AOB＝45°，选项B。9.如图，AB是圆O直径，D是半圆弧AB中点，P是BA延长线上一点，连接PD交圆O于点C，连接BC，若∠P=25°，则∠ABC等于多少度？解：由于AD是半径，所以∠ABD＝90°。又因为D是半圆弧AB的中点，所以∠APD＝90°。又因为PD交圆O于点C，所以∠ACB＝90°。所以∠ABC＝∠ABD＋∠P＝90°＋25°＝115°，答案为115°。10.一个扇形的圆心角为120°，扇形的弧长12π，则扇形半径是多少？解：扇形的面积是1/3的圆周长乘以扇形的半径的平方。圆周长等于2πr，所以这个扇形的面积是1/3×2πr×r×120°/360°＝2πr²/3×1/3。又因为扇形的弧长是圆周长的1/3，所以2πr/3＝12π，解得r＝18，答案为18。11.如图，将边长为的正方形绕点顺时针旋转到的位置，旋转角为30°，则点运动到点时所经过的路径长为多少？解：将正方形绕中心点旋转30°后，点移动到了正方形上的另一个顶点。由于正方形的周长是4a，所以点所经过的路径长是4a，答案为4a。12.在一个圆中，如果60°的圆心角所对弧长为6πcm，那么这个圆所对的半径为多少？解：由于60°的圆心角所对弧长为1/6的圆周长，所以这个圆的圆周长为6×6π＝36π。设这个圆的半径为r，则2πr＝36π，解得r＝18，答案为18。13.如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=10，CD=6，则BE等于多少？解：由于CD⊥AB于点E，所以AE＝EB＝5。又因为AC＝AD＝5，所以三角形ACD是等腰直角三角形，所以CD＝√2AC＝√2×5。所以BE＝AB－AE－CD＝10－5－√2×5＝5－√2×5，答案为5－√2×5。14.如图AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=4，则阴影部分图形的面积是多少？解：由于CD⊥AB，所以∠CDB＝1/2∠COB，即∠COB＝60°。又因为CD=4，所以CO=2√3。所以阴影部分是1/6的圆O减去△COB和梯形ABED的面积。圆O的面积是πr²/6＝π，△COB的面积是1/2×CO×CB＝2√3，梯形ABED的面积是1/2×(AB＋DE)×CD＝1/2×(2r＋2r/√3)×4＝4r(1＋1/√3)。所以阴影部分的面积是π－2√3－4r(1＋1/√3)。由于AB是圆O的直径，所以r＝AB/2＝2，代入可得阴影部分的面积为π－2√3－8(1＋1/√3)。15.如图，在圆O中，已知∠AOB=120°，求∠ACB的度数。解：由于∠AOB是圆心角，所以∠A＝1/2∠AOB＝60°。又因为AC=BC，所以∠ACB＝1/2(180°－∠A)＝1/2×120°＝60°，答案为60°。16.圆弧形桥拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米，求拱桥的半径。解：设拱桥的半径为r，则由勾股定理可得：r²＝(AB/2)²＋CD²代入AB＝12，CD＝4，解得r＝2√13，答案为2√13米。17、根据题意，连接AP和BP，可得到一个直角三角形APB，其中PB=AB/2，CD=6cm。根据勾股定理，可得：AB=√(AP²+PB²)=√(6²+(AB/2)²)，两边平方化简可得AB=12cm。18、根据题意，连接OA和OC，可得∠AOC=2∠C=80°。又因为AB=2DE，所以DE=AB/2，因此∠E=∠OED=∠OEA，由此可得∠E=40°。根据角平分线定理，可得∠BEC=∠AEC=20°，再利用直角三角形OEC，可得tan20°=OE/OC=OE/(AB/2)，解得OE=AB/2×tan20°=0.364AB。19、（1）由于∠CDA=∠CBD，所以CD与BD共线，即CD与⊙O相切，且切点为D。（2）连接BE并延长交⊙O于点F，由于∠OFE=90°，所以OF=OE+EF=OE+BE。根据勾股定理，可得OF²=OE²+EF²，代入已知数据，得到OF=√(OE²+BE²)=√(9+BE²)。又因为∠OAB=90°，所以AB=2OA=6，因此BE=AB-AE=4。代入公式得OF=√25=5。20、如图所示，作出三角形ABC的外接圆，其圆心为O，半径为R。连接OA、OB、OC，并作垂线OD，可得OD=R-1。又因为OD²=AD²-AO²=(3-R)²-R²，解得R=1/2。因此，最小覆盖圆的半径为1/2。21、（1）连接AC、BD，可得∠ACD=∠CBD，因此三角形ACD与三角形BCD相似，故∠ACD=∠B。（2）连接DE，可得∠BDC=∠EDC，因此BE是三角形EDC的角平分线。又因为∠EDC=90°，所以三角形BEC是直角三角形，由此可得∠BCE=45°。再利用∠BEC=∠BCE+∠CEF，可得∠CEF=45°。7、根据圆和直线的位置关系，当圆的半径大于圆心到直线的距离时，圆和直线会相交。由于题中给出半径r=5，圆心到直线的距离d=3，且r>d，因此直线和圆相交，故选C。8、根据切线的性质，当PA为圆的切线时，∠OAP=90°，同理∠OBP=90°。由四边形内角和定理可得，∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P=360°-90°-90°-60°=120°，故选C。9、连接DB、DA，根据圆周角定理的推论，得到△ADB为等腰直角三角形。然后根据三角形的外角的性质得到∠PDA的度数，再利用等弧所对的圆周角求解即可。具体地，由于D为弧AB的中点，AB为直径，因此△ADB为等腰直角三角形，且∠DAB=45°。由外角和定理可得，∠P+∠PDA=45°，又已知∠P=25°，因此∠PDA=45°-25°=20°，即∠PBC=20°，故答案为20°。10、根据扇形弧长公式求得该扇形的半径。设该扇形的半径为R，则R×60°=30cm，解得R=18，故答案为18。11、连接AC、A′C，利用勾股定理可求出AC的长，即C点运动到C′点所在圆的半径，又因为旋转角为30°，所以根据弧长公式计算即可。具体地，由于AB=BC=2cm，正方形ABCD绕点A顺时针旋转到AB′C′D′的位置，因此C和C′是对应点，旋转角为30°，因此∠CAC′=30°，由勾股定理可得AC=√(AB²+BC²)=2√2，又根据弧长公式可得C点运动到C′点的路径长为2πR×30°/360°=πR/6，因此πR/6=2√2，解得R=12/π，故答案为12/π。12、设这个圆的半径为r，则由题意可得r×(2π-60°)/2=6，解得r=6/(π-1)，故答案为6/(π-1)。13、连接OC，由于弦CD垂直于AB，因此在Rt△OCE中，OC=5，CE=3，利用勾股定理可得OE=4，由于OE=OC=OB=2，因此OE=BE，则在△OEC和△BED中，∠OCE=∠BDE=90°，OE=BE，CE=DE，因此△OEC≌△BED，故S△OEC=S△BED=1。14、由于∠COB=2∠CDB=60°，又CD⊥AB，因此∠OCB=30°，CE=DE，因此OE=OC=OB=2，OC=4，因此OE=BE。则在△OEC和△BED中，∠OCE=∠BDE=90°，OE=BE，CE=DE，因此△OEC≌△BED，故S阴影=2S△OEC=2×(1/2)×OE×CE=2×(1/2)×2×3=6。扇形OCB此题考查了扇形面积的计算以及垂径定理、全等三角形的判定和性质。解答此题的关键是理解性质和判定，注意掌握扇形的面积公式。15、解：∠AOB=120°，∴∠ACB=∠AOB=60°。故答案为60。16、如图，设圆弧的圆心为点O，连接AO，DO，则由题意可知：O、D、C在同一直线上，且OD⊥AB于点D。因此，∠ADO=90°，AD=AB=6。设拱桥的半径为r，则AO=r+6，OD=r-0.5，OC=r+3。在Rt△ADO中，由勾股定理可得：r^2=（r+6）^2+（r-0.5）^2。解得：r=6.5。17、由垂径定理得：CP=DP=3，再用勾股定理解答即可。18、连接OD，根据等边对等角可得∠ODC=∠C=40°，再根据AB=2DE，OD=可得OD=DE，再根据三角形外角的性质可得∠E的度数，进而可得∠AOC的度数。因此，∠ODC=∠C=40°，∠E=∠EOD=∠ODC=20°，∠AOC=∠C+∠E=40°+20°=60°。19、（1）连接OD，根据圆周角定理求出∠DAB+∠DBA=90°，求出∠CDA+∠ADO=90°，根据切线的判定推出即可；（2）根据勾股定理求出DC，根据切线长定理求出DE=EB，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可。（1）直线CD和⊙O的位置关系是相切。连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠DBA=90°，∵∠CDA=∠CBD，∴∠DAB+