空间向量测试题110

空间向■练习在空Wlfft坐标集中•点p(1.2.3)关于平面X。二对称的点的坐标足A.(1.-23)8.(-12-3)c.(-1.-2.3)D.(L-2.-3)若直线/的•个方向向h2=(22,-2)・平而a的•个法向球为6=(1,1-1)・WJ()A.f丄a8.///aC./CaD.A、C部有可能3・以下四组向iit中.互相平行的冇()组.(1)=(1,2,1)・石=山一2,3)・(2)n=(S,4,HJ)・5=(4,2,-3).(3)«=(O.l,-l)・b=(O53,-3)・<4)«=(-3,2,0)・6=(4,-33).A.-&二C.三6四4.TiABCD为平行四边形•且A(4丄3)・8(2,-5,1)・0(-3,7,—5)•则顶点。的坐标为().a.(-143,-3)B.(2,34)c.(-3,1,5)D.|5•如上图・向扯舌・匚&的起点与终点均在止力形网格的格点上•则向城釧]垄底&・&衣示为(>A.q+色B.2©_©C.—2q+色D.2©+©6•已知川4・6)・片-3,計•有下列向ft：(Da=(14.9)：②円7勻；③心-牛,-3)：④T=(-7.9)其中•与目线AB平行的向fit()A.①②B・①③C.①(D③D.①②7.己知三梭懺)・ABC・点MN分别为AB,0C的中点.且OA=S,0B=b.OC=用；.5・撤示丽・則丽等于()OA.^(b♦c-a|B--(a>b-cpC.^(a-b♦c]0.J(c-a-b)TOC\o"1-5"\h\z8•已知向fita=(2-L3),fe=H，2,x).使N丄6成立的x与使N//b成立的％分别为()1010—r10<A.—,—6B.-—66C.—.—60.6,-—,-69•若3-(2.3).6=(4,-l+y).且a//b・则y=()A.6B5C.70.810.已知向a5=(2,-l,2),ft=(2,2,l).以N&为邻边的平行四边形的而枳(>11.如图所示.空间四边形OABC中・OA=a,OB=b.OC=c.点M在OA上.且OM=2MA・N为中点.则等干()A.—a———cB.——a+—cC.—a+—0.Za+—ft——r232322223332在空何直角坐标集O-Ay：中.点(1,2,-2)关干点(-1.0,1)的对称点兄()A.(7-2,4)8.(3,-2,7)C.(-3,2,7)0.(-3,2,4)已知向量玄=(胡0)/=(70,2),且肪+5与&互相垂直.则I<>A.-B.—C.--D.一一3232U.设球的球心为空间直角坐标集的廉点0・球面1：冇两个点A.B・我坐标分别为(1,2,2)・(2,-24).«J|AB|=()A.18B.12C.3五D.2石15.已知州2,5.・6卜点P在申上・|PA|=则点P的坐标足()A.©8,0)B.©2,0)C.(0.8,01^(0.2,01°(0,-8,0|16・与向tta=(0.2.一4)共线的问kt足()A.(2.0・一4〉B.<3,6・-12>C.(1-1.-2>0.|(>4，-1]17・若向Ma=(1,2,0).=(-2,0,1)・Mco5^ct,^=120B.a丄厶C・a//bD・|u|=|fc|若向fka.&的坐标滿足=—：一匚=(4,一3,—2)・则：邹于A.5-5C.7D.-1TOC\o"1-5"\h\z已知点4(一23,6)与点3(3.5,4)・MlAB的中点坐标为.在如图听示的长力'体人BCO•人：6G6中•己知人(。,0,c)tC[0tb,0)•则点6的坐标为-21.如图所示的长方体ABCAA1BCD1中・|DA|=8・|DC|=6・IDDi|=3・WJDiB)的中点M的坐标为•|0M|=点户(2,—1,3)在坐标平而金内的投影点坐标为:已知I向ffla=(1,1,0)•b=(-1,0.2)•且与2冇互相垂直•则k的值是24・己知“=的夹和为60.则点=.25•若A(0,X—).fi(l-L-)・平而°内的三点・设平面的法向債2=888W|x:y：c=・己知向=(2,-1,2)>b=(-4,2,/??)»“丄几則〃?的(ft为在空间坐杯系中.己知三点A(1.0.0).B(0.1.0).C(0.0.1).則平面ABC的单位法向債地.28•若向M5=<4,2,-4),t=(<5-3,2).H|(25-b)(5+2A)=29.如图・在•个60・的二面角的棱I：有两个点A,B,ACrBD分别兄在这个二而角的两个半平而内垂直干AB的线段.QA8=4,AC=6,BD=8•则CD的长为。30.如图建立空何直角坐杯系・L1知止力体的棱长为2・(1)求正方体各顶点的坐标:(2>求A1C的长度.31・(2015秋・河西区期木〉己知:二(1.5.-1),(-2,3,5)・⑴若朋兀)R(a-3b)-求实数k的(ftBB<2>若(k；十匸)丄(；-3匸)・廉实数k的(fi・P足平ffiABCD外的点.四边形ABCDft平行PI边形.4^=(2.-L-4),4D+(42,0),4P=(-L2-1),求证PA垂直平面ABCD.长方体4Z?=2.Z?C=LA/\=1(1＞求立线人9与场QI祈成加(2〉求直线人卩与平面比Bg所成角的止弦.35.如图四梭椎S・ABCD中.SD±AD・SD丄CD.EftSC的中点.0足底而疋方形ABCD(f)中心.4B-SD-631.(本大題12分)如图・在较长为d的疋力休ABCD7比CD中・E、F、G分别足CB、CD、CG的中点.(1＞求宜纽AC与平BflABCD所成粕的正弦的(ft：(2＞求证：平面ABJh〃平面EFG：(3＞求证：平面AAI丄面EFG・(1＞求i&E0〃面SAD：(II＞求丸线E0与平面ABCDififA的角.37.37.(本小胚満分13分)已知人/広”-人/匚卩圧边长为1的止力体.求:36・在长力休ABCD-AbGD,中.AB=2.BCzB^l.*、X分别是AD、DC的中点.(1>求iEMXZ/AxCx：(2>求：异面“线心与BCJH成角的余裁値.(1)直线M：与平而AA帥所成角的用切(ft：(II)二而角B・A—®的大小.38.在边长是2的正力体ABCD•人BH中.£F分别为AB.A.C的中点•应用空何向fit方法求解下列何题・(2>证明：EF//平面AAD^Dt解出：解出：xQ=-1,凡=13,=-3・参考答案A【解析】在空间直角坐标系中，两点关于平面XOZ对称，竖坐标互为相反数，点的坐标是点P(l,2,3)关于平面xoz对称的点的坐标是(1-2,3),选A.A【解析】直线/的一个方向向量&=(2,2,—2),平面a的一个法向量为5=(1丄一1)且a=2b,即a//b.所以/丄a.故选A.TOC\o"1-5"\h\zB【解析】若T与T平行，则存在实数；I使得ahah经过验证，只有(2)t=2〒‘(3)亍=_3t,两组满足条件。故答案选BA【解析】设。(无,儿,$)，•・•而=(2_4,_5_1,1_3)=(-2,-6,-2).DC=(-3-Xo,7-yo，-5-Zo)，在平行四边形ABCD中，SB||DC,・_3_兀_7_凡__5_為①又•・•BC=(-3-2,7-(-5),-5-1)=(-5,12-6),AD=(兀一4,儿一1,-3)，BC\\AD,・・.g=g=g②，-512-6联立①②Z

故选A・C【解析】以向量乙的起点为原点，向量哥所在直线为x轴建立平面直角坐标系。设正方形的边长为1»则可=(1,0),巨2=(—1,1)皿=(—3,1)。设a=xeY+ye2,贝ij(-3,1)=x(l,0)4-y(-1,1)=(x-y,y),x-y=-3…x=-2十•••{丿，解得{,妙以a=-2el+e^选C。yiy=i'点睛：由平面向量基本定理可知，在确定了平面的基底后，平面内的任一向量都可以用这组基底唯一表示，但并没有给出分解的方法。常用的方法有两种：(1)根据向量的线性运算，将已知向量向着基底转化；(2)先确定向量和基底的坐标，根据待定系数法建立方程组，通过代数方法求解。【解析】由题意可得AB=【解析】由题意可得AB=由向量共线的条件可以判断向量a.b.c与向量恥平行，即向量a.b.c与直线AB平行。选Co7.D【解析】MN=ON-OM=^OC-|(OA+OB)==^(3-a-b),故选D・【解析】向量〃=(2厂【解析】向量〃=(2厂1,3)上=(—42小,——42x若a//b9则——=—解得x=—6・2-13故选A.9.C【解析】由a//b,a=(2,3),b=(4-l+y),得2(—l+y)=4x4,解得y=7.故选c.10.A【解析】由题意，cos〈N，5〉【解析】由题意，cos〈N，5〉=ab_2x2-lx2+2xl+2'・j2'+2，+F乎，所以平行四边形的面积为故选A.S=2xix|j||/?|siii(«,£>)=3x3x=故选A.【解析】由题意，以OA.OB^OC为基底建立空间向量，【解析】由题意，以OA.OB^OC为基底建立空间向量，MN=ON-OM=OB+丄呢-餌一I乐務扌（无亠）一糾护寺12・A【解析】设所求点为则x+l=—2,y+2=o,z—2=2,解得x=_3,y=—2,z=4,故选A.13.B【解析】根据题意，肋+方=£(1丄°)+(一1，°，2)=伙一1，仁2)，因为(kd+b)丄&,所以(Rd+b)/=O,贝ijlx(k—l)+kxl+0x2=0,即k=—,故选314・C【解析】TA,B两点的坐标分别是A(1,2,2),B(2-2,1)，・•・|AB|=V(2-l)2+(-2-2)2+(l-2)2=3\12,故选C.15・C【解析】依题意设p(o,b,O)，根据IPA|=\>22+(b-5)2+62=7，解得b=2,8，所以选C・16・D【解析】A（1\试题分析：•••（02—4）=40,-,-l,所以向量（0,2,-4）与|0,-,一1共线）考点：向量共线17・D【解析】试题分析：因为向量方=(1,2,0),厶=(一2,0,1),所以Nb=lx(—2)+2x0+0xl=—2,排除B：a=J1‘+2,+0,=|b\=^(-2)2+02+12=书,所以a=冋，应选D.1x(-2)+2x0+0xl如果万兀则存在实数几使a=Ab显然

1x(-2)+2x0+0xl如果万兀则存在实数几使a=Ab显然不成立，所以答案为D・考点：向量的有关运算.18・B【解析】试题分析：因为：+&=(—2,—1,2),方一3=(4,—3,—2),所以a=(1,一2、0),b=(一3丄2),所以d・5=1x(—3)+(-2)xl+2x0=-5.考点：本小题注意考查向量的坐标运算.点评：向量的坐标运算是高考经常考查的内容，难度一般较低，灵活运用公式计算即可.传,4,5【解析】4【解析】4〃中点为(-2+33+54+6](a,b,c)【解析】•••在如图所示的长方体ABCD—ABCD中，已知A(g0,c),C(0,M),•:可以得知AD=cbDC=b、DD、=c,又•・•长方体ABCD-AQCp,・••可以得知Q的坐标为(gb,c)故答案为(a,b,c).(4,3,引V^4【解析】由图可知:Di(O,O,3),Bi(8,6,3).M为DiBi的中点，由中点坐标公式可得M(4,3,3).由两点间距离公式有：DM=\d+32+32=^34故答案为:(4,3,3),.\i'34.(2,0,3)【解析】设所求的点为Q(X,y,z),P、Q两点的横坐标和竖坐标相等，而纵坐标为0,即x二2,y=0,z二3,得Q坐标为(2,0,3)【解析】由已知，据向量坐标的线性运算可得k；+b=(k-l,k,2)，2a-b=(3,2厂2)，两向量互相垂直，则数量积为0・则有3x(k-l)+2k-2x2=O,解得“右故本题填右

V2—2【解析】试题分析：有已知可得a=2,b=7F+T忑=2』k2+1cos60=羽kk=考点：向量的数量积运算2：3：(-4)【解析】所以由向量的数量积的运算法则有解得，=-*"•=-女23(-4)试题分析：由人(0,2,普),3(1,-1,看),(7(一2,1寻)得亦=(1,-3再),必=(-2,-1,-孑)因为为平面的法向量，则有ABa=0,ACa=0所以由向量的数量积的运算法则有解得，=-*"•=-女23(-4)故正确答案为2:3:(-4)考点：空间向量的法向量.5【解析】试题分析：由题可知:&=(2厂1,2)$=(-42加)，且万丄方，有2x(-4)+(_l)x2+2〃7=0,即m二5.考点：空间向量垂直的充要条件27.土徑迴日.(333}【解析】试题分析：三点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),所以AB=(-1,1,0),AC=(丄0,1),令平面ABC的法向量为〃二(x,y,z),n・ABn・AB=0可得彳n-AC=0x=y=z•••平面ABC的法向量为77=(x,y,z)为单位法向量，二/+b+Z?=1,解得x=y=z=±^,故平面ABC的单位法向量是』至，逅，逅(333丿考点：平面的法向量.4【解析】试题分析：因为a=(4,2-4),^=(6-3,2),所以+=(2(4,2,—4)—(6,-3,2))・((4,2,-4)+2(6,—3,2))=(2,7,-10)(16,—4,0)二4.考点：本题主要考查空间向量的坐标运算。点评：简单题，利用空间向量的坐标运算公式，计算要细心。2>/17【解析】•・•在一个60°的二面角的棱上，有两个点A、E,AC、ED分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB=4cm»AC=6cm,BD=8cm,CD=(C4+AB+3D)=C"+AB~+BD~+2CA•AB+2CA•BD+2AB•BD=36+16+64+2x6x8xcosl20°=68CD=2奶故答案为2JI7(1)详见解析：(2)2石.【解析】试题分析：(1)根据空间坐标系的定义，易得各点的坐标；(2)要求空间中两点的距离，可直接利用空间两点的距离公式4=\i'(xi-x2)2+(yi-y2)?+(zi-Z2)2^解出来.试题解析：(1)正方体各顶点的坐标如下：Ai(0,0,0),Bi(0,2,0),Ci(2,2,0),Di(2,0,0),A(0,0,2),B(0,2,2),C(2,2,2),D(2,0,2).(2)解法一：|AiC|=^22+22+22=2\&解法二：V|AiCi|=2V2JAA1I=2，在RtAAA1C1中，|ACi|2=IAA1I2+|AiCi|2»|ACi|2=22+(2^2)2=12,|ACiI=2屉,:•|AiC|=2运.(1)k二-*⑵k二【解析】试题分析：(1)根据空间向量的坐标运算以及向量的共线定理，列出方程求出k的值；(2)根据两向量垂直，数量积为0,列出方程求出k的值.解：⑴7a=(1,5,-1),b=(~2,3,5)，

ka+b=(k-2,5k+3,5-k),a-3b=(了，-4,-16)；又(kq+b)”(圧-3b)，TOC\o"1-5"\h\z.k_25k+35_k••'二，二，■,7-4-16解得k=-^:3(2)*/J1(kq+b)丄(a_3b)»••(ka+b)■(a"3b)二6即7(k-2)-4(5k+3)-16(5-k)=0,解得kJ导.考点：空间向量的数量积运算.32.【解析】证明：乔•乔=2x(—1)+(—l)x2+(—4)x(—1)=0=>乔垂直于乔即4P垂直于AB.乔•乔=(-1)x4+2x2+(-l)x0=0=>乔垂直于莎即4P垂直于AD..•.PA垂直平面ABCD.33.(1)33.(1)直线49与所成角为90。；(2)【解析】试题分析：以D为原点建系1分(1)cos(AD［、Bp)=03分直线力2与B/)所成角为90°5分(2)平面的法向量为齐=(-2丄0)7分siii0=|cos〈“,AD{)|=所求角的正弦值为乎10分考点：立体几何中的角的计算，空间向量的应用。点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、

体枳的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用空间向量，省去繁琐的证明，也是解决立体几何问题的一个基本思路。注意运用转化与化归思想，将空间问题转化成平面问题。34.（1）SU1ACA=^4=—:（2）见解析；（3）见解析。【解析】试题分析：（1）因为人人丄平面ABCD,所以Z&C4为4C与平面ABCD所成角，然后解三角形求出此角即可.（2）证明面面平行根据判定定理只须证明平面平面ABQ内两条相交直线和分别平行于平面EFG即可.在证明线面平行时又转化为证明线线平行.（3）易证：BD丄平面AAiC,再证明EF//BD,因而可证出平面AA’C丄面EFG.（1）VA]Cc平面ABCD=C,在正方体ABCD-A1B1C1D14/丄平面ABCDAAC为A.C在平面ABCD的射影・•・ZA.CA为A.C与平面ABCD所成角2分正方体的棱长为d/.AC=y[la,A】C二y/3a=&C3(2)在正方体ABCD-AxBxCxDi连接BD,DD、〃B、B,DDhBDD、为平行四边形:.D'BJ/DB•:E,F分别为BC,CD的中点•••EF〃BD・：EF〃pB]3分IEFu平面GEF,D[Bl(Z平面GEF・・4分•••DlBl//平面GEF7分同理〃平面GEFVD1BlcABl=B・・4分•••平面AB0〃平面EFG1010(3)在正方体ABCD-ABCD:.A41丄平面ABCDTEFu平面ABCDTOC\o"1-5"\h\z/.A4]1EF10分VABCD为正方形•••AC丄BDVEF/7BD•••AC丄EF・・11分AA{r>AC=A•'•EF丄平面AA】CTEFu平面EFG•••平面AA：C丄面EFG・12分.考点：斜线与平面所成的角，线面垂直，面面垂直，面面平行的判定.点评：斜线与平面所成的角就是斜线与它在这个平面内的射影所成的角，因而关键是找到它在这个平面内的射影.面面垂直（平行）证明要转化为证明线面垂直（平行）再转化为线线垂直（平行）.35.（I）证明：面SAD；EO//AS面SAD；ASu面SAD•(【I)解：SD丄ADSD丄CDOSD丄面ABCDADcCD=D所以ZSAD是SA与WiABCD所成角。在©SAD中AD=SD,所以ZSAD=-94n又EO//AS,所以劭与平面ABCD所成的角为一。4【解析】略2.（1）连结AC,vM.N分别为AD、DC中点・•.MN//AC且AC//A1C1,AC二AG/.MN//AG（2）连结A：B,由（1）知ZAiQB为所求角•/AxB^CfJS,BCi=V2由余弦定理得•/AxB^CfJS,BCi=V2由余弦定理得ZAGB二5+2-52xV5xV2【解析】略37.(I)当;37.(I)当;(II)60°【解析】试题分析：（I）先根据其为正方体得到ZC：ABi就是AC’与平面AAbB所成的角：然后在RTACiABi中求其正切即可；（II）先过B】作B：E丄BG于E,过E作EF丄AG于F,连接B】F；根据AB丄平面