第一章第九十节连续函数运算与性质

第九节连续函数的运算与性质一、四则运算的连续性二、反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性四、小结一、四则运算的连续性定理1

若函数

f

(

x),

g(

x)在点x0处连续,例如,sin

x,cos

x在(-¥

,+¥

)内连续,0g(

x)则

f

(

x)

–

g(

x),

f

(

x)

g(

x),

f

(

x)

(

g(

x

)

„

0)在点x0

处也连续.故tan

x,cot

x,sec

x,csc

x

在其定义域内连续.三角函数在其定义域内连续二、反函数与复合函数的连续性例如,2

2y

=sin

x在[-p

,p

]上单调增加且连续,故y

=arcsin

x

在[-1,1]上也是单调增加且连续.同理y

=arccosx

在[-1,1]上单调减少且连续;y

=arctan

x,y

=arc

cot

x

在(-¥

,+¥

)上单调且连续.反三角函数在其定义域内皆连续.定理2

若函数

y

=

f(x)

在区间

I

x上单调增加（或单调减少）且连续，则它的反函数x=j

(y)在对应的区间I

y

={y

|

y

=f

(x),x

˛

Ix

}上也单调增加（或单调减少）且连续。定理3若

lim

j

(

x)

=

a,

函数

f

(u)在点a连续,xfi

x0则有

lim

f

[j

(

x)]

=

f

(a)

=

f

[

lim

j

(

x)].xfi

x0

xfi

x0意义1.极限符号可以与函数符号互换;2.变量代换(u

=j(x))的理论依据.例1xxfi

0求lim

ln(1

+x).1xfi

0原式=lim

ln(1

+x)x1xfi

0=

ln[lim(1

+

x)x

]=

ln

e

=

1.解定理3xfi

x0若

lim

j

(

x)

=

a,

函数

f

(u)在点a连续,则有

lim

f

[j

(

x)]

=

f

(a)

=

f

[

lim

j

(

x)].xfi

x0

xfi

x0定理3xfi

x0若

lim

j

(

x)

=

a,

函数

f

(u)在点a连续,则有

lim

f

[j

(

x)]

=

f

(a)

=

f

[

lim

j

(

x)].xfi

x0

xfi

x0进一步，假设lim

j

(

x)

=

j

(

x0

)xfi

x0则有

lim

f

[j

(

x)]

=

f

[

lim

j

(

x)]

=

f

[j

(

x0

)]xfi

x0

xfi

x0定理4

设函数

u

=

j

(

x)

在点

x0

处连续,

且j

(

x0

)

=

u0

,

而函数

y

=

f

(u)

在点

u

=

u0

处连续

,则复合函数y

=f

[j

(x)]在点x

=x0

处也连续.注意

定理4是定理3的特殊情况.例如,u

=1

在(-¥

,0)

(0,

+¥

)内连续,xy

=sin

u

在(-¥

,+¥

)内连续,x\y

=sin

1

在(-¥

,0)

(0,+¥

)内连续.三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★(a

>

0,

a

„

1)★指数函数y=a

x在(-¥

,+¥

)内单调且连续;(a

>

0,

a

„

1)★

对数函数

y

=

log

xa在(0,+¥

)内单调且连续;★y

=

xm=

am

loga

xy

=

au

,u

=

m

loga

x.在(0,

+¥

)内连续,可以证明幂函数在其定义域内连续定理5 基本初等函数在定义域内是连续的.定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.1.

初等函数仅在其定义区间内连续,

在其定义域内不一定连续;y

=

cos

x

-

1,例如,

D

:

x

=

0,–2p,–4p,这些孤立点的邻域内没有定义.y

=

x

2

(

x

-

1)3

,D

:x

=0,

及x

‡1,注意在0点的邻域内没有定义.函数在区间[1,+¥

)上连续.注意

2.

初等函数求极限的方法：代入法.lim

f

(x)=f

(x0

)

(x0

˛

定义区间)xfi

x0例2x

fi

1e

x

-

1.求lim

sin原式=sine1

-

1

=

sine

-

1.例3.x1

+

x

2

-

1求limx

fi

0解解( 1

+

x2

-

1)( 1

+

x2+

1)x( 1

+

x2

+

1)xfi

0原式=lim=

lim1

+

x2

+

1xxfi

002==

0.例4求

lim

arctan(

x2

+

x

-

x).xfi

¥解xx2

+

x

+

x原式=

lim

arctanxfi

¥11

+

1

+

1x=

lim

arctanxfi

¥)11

+

1

+

1x=

arctan(

limxfi

¥2=

arctan

13sin

x3ln(1+2

x

)解3ln(1+2

x

)xfi

0例5

求lim(1

+2

x)sin

x

.xfi

03lim

(1

+

2

x)sin

x

=

lim

e

sin

xxfi

0lim=

e

xfi

0=

e6u(

x)v(

x)

=

eln

u(

x)v(

x

)

=

ev(

x)ln

u(

x)lim3·2

x=

e

xfi

0

sin

x幂指函数u(x)v(x

)的极限计算：若

lim

u(

x)

=

a

>

0,xfi

x0lim

v(

x)

=

b,xfi

x0lim

v(

x

)则有

lim

u(

x)v(

x

)

=

[

lim

u(

x)]

xfi

x0xfi

x0

xfi

x0=

ab

.1例6

求lim(x

+2ex

)x-1

.xfi

01lim1解：

lim

(

x

+

2ex

)

x-1

=

[

lim

(

x

+

2ex

)]

xfi

0

x-1xfi

0

xfi

02=

2

-1

=

1作业P65

3

(5)

, (6)

, (7)

;4

(4)

,(5) ,(6)

;

6第十节、闭区间上连续函数的性质一、有界性与最大值最小值定理二、零点定理与介值定理x2a

x1bxyy

=

f

(

x)一、有界性与最大值最小值定理定义：设f

(x)在区间I

上有定义，如果存在x0

˛

I

,

使得"x

˛

I

,都有f

(x)£

f

(x0

) (或f

(x)‡f

(x0

))则称f

(x0

)为f

(x)在I

上的最大值（或最小值）f

(x1

)为f

(x)在闭区间[a,b]上的最大值,f

(x2

)为f

(x)在闭区间[a,b]上的最小值,-1

,

x

<

01

,

x

>

0例1

y

=

sgn

x

=

0

,

x

=

0例2

y

=

x

+1

,I

=

(0,

1)x在[0,+¥

)上的最大值为1,最小值为0.而在(0,+¥

)上的最大值和最小值都为1.最大值和最小值与所考虑的区间有关。y112

y

=

x

+1在(0,1)上即无最大值，又无最小值

函数在一个区间上不一定有最大值或最小值

问题：在什么条件下函数在一个区间上一定有最大值或最小值？在(-¥

,+¥

)上的最大值为1,最小值为-1.注记：（1）区间一定要是闭区间。x例3

y

=

1

,I

=

(0,

1)x定理7：设函数f

(x)在闭区间[a

,b

]上连续，则（1）f

(x)在[a

,b

]上有界，即$

M

>0,使对"x˛

[a,b],都有|

f

(x)|£

M（2）

f

(x)在[a

,b

]上一定能取得它的最大值和最小值即至少一点x1

˛

[a,b],使f

(x1

)为最大值,和至少一点x2

˛

[a,b],使f

(x2

)为最小值.y11xy

=

1在I

=(0,1)上连续,但无界,也无最大值和最小值。（2）f

(x)一定要在闭区间上连续，即不能有间断点。-

x

+1

, 0

£

x

<

1,例4

y

=

,

x

=

11-

x

+

3

, 1

<

x£

2y11•2

xf(x)在I=[0,2]上有定义，且有界，但无最大值和最小值。（3）最大值或最小值不一定唯一。xy11xy二、零点定理和介值定理若x0使f

(x0

)=0,则称x0

为f

(x)的零点.定理9：设f

(x)在[a

,b

]上连续，且在端点的函数值异号，即f

(a)·

f(b)<0,则至少存在一点x

˛

[a

,b

],使f

(x

)=0。xy•xabf

(a)

<

0f

(b)

>

0f

(x)

=

02f

(x

)

=

f

(x

)xabyf

(a)

>

0f

(b)

<

0•

•

•x1

x2x3（1）区间一定要是闭区间。（2）f

(x)一定要连续。1=

f

(x3

)

=

0零点定理的推广：设f

(x)在(-¥

,+¥

)上连续，(1)

lim

f

(

x)

=

A

,xfi

-

¥lim

f

(x)=B

,且A

B

<0,xfi

+

¥则f

(x)在(-¥

,+¥

)内至少有一个零点lim

f

(x)=+¥

(或-¥

),xfi

+¥(2)

lim

f

(x)=-¥

(或+¥

),xfi

-

¥x则f

(x)在(-¥

,+¥

)内至少有一个零点y•AxBxy••

•x1

x2x3定理10：设

f

(x)

在

[

a

,

b

]

上连续，且

f

(a) =

A

，f

(b)

=

B

,

A

„

B

，则对

介于

A

和

B

之间的任一个数

C

，至少存在一点

x

˛(

a

,

b

)

,

使

f

(x

)

=

C。y•

•

•ax1

x2x3

b

xBCA证明：设j

(x)=f

(x)–C则j

(x)在[a

,b

]上连续，且j

(a)

=

f

(a)

–

C

=

A

–

C

<

0j

(b)

=

f

(b)

–

C

=

B

–

C

>

0由零点定理，至少存在一点x

˛

(a

,b),使j

(x

)=0.即

f

(x

)

–

C

=

0

,

f

(x

)

=

C

。推论：设f(x)在[a,b]上连续，M

和m分别为最大值和最小值，则f

(x)必取得介于M

和m

之间ya

x•

•MCm1

1

2

2x

x

x

b

x的任何值。对f

(x)在区间[x1

,x2

]上应用介值定理即可。例1

证明方程:

sin

x

+

x

+1

=

0证明：取f

(

x)

=

sin

x

+

x

+1,2

2,

]上连续,p在[-pp

)

p且

f

(-

=

-

<

0

,2

22

2由零点定理，至少存在一点x

˛(-p

,p

),使f

(x)=0在(-p

,p

)内至少有一实根.2

2p

pf

( )

=

2

+ >

0

.2

2102n+12n2n+1x

+

a例2

证明方程:

ax

+

+

a

=

0至少有一实根.证明：不妨设a0

>0,则)102n+12n+1x2n+1axaf

(

x)

=

x

(a

++

+lim

f

(

x)

=

+¥

,xfi

+

¥\

lim

f

(

x)