一元二次方程常见题型总结

一元二次方程常见题型总结

一元二次方程常见题型总结题型1：一元二次方程的概念1.若方程$(a-1)x^2-3x+2=0$是关于$x$的一元二次方程，则$a$的取值范围为【】（A）$a\neq1$（B）$a>1$（C）$a\neq1$（D）$a>1$答案：$a\neq1$2.若$1-3$是方程$x^2-2x+c=0$的一个根，则$c$的值为【】（A）$-2$（B）$4/3$（C）$3/2$（D）$4$答案：$4/3$3.已知关于$x$的一元二次方程$(k+4)x^2+3x+k^2+3k-4=0$的一个根为$0$，且$k$的值为【】答案：$k=-4$或$k=1$题型2：一元二次方程的解法4.一个等腰三角形的底边长是$6$，腰长是一元二次方程$x^2-7x+12=0$的一个根，则此三角形的周长是【】（A）$12$（B）$13$（C）$14$（D）$12$或$14$答案：$14$5.方程$(x+3)^2=5(x+3)$的解为__________。答案：$x=-2$或$x=2$6.用适当的方法解下列方程：（1）$4x^2-144=0$；（2）$2x^2+3x=3$；（3）$x^2-2x-24=0$；（4）$x(2x-5)=4x-10$。题型3：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系定理7.已知$a,b,c$为常数，点$P(a,c)$在第二象限，则关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的根的情况是【】（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根（D）无法判断答案：$B$8.若关于$x$的一元二次方程$x^2+(2k-1)x+k^2-1=0$没有实数根，则$k$的取值范围为__________。答案：$k<0$或$k>1$9.已知关于$x$的一元二次方程$x^2+(2k+1)x+k^2=0$有两个不相等的实数根。（1）求$k$的取值范围；（2）设方程的两个实数根分别为$x_1,x_2$，当$k=1$时，求$x_1^2+x_2^2$的值。答案：（1）$k<-1$或$k>0$；（2）$2$10.若$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2-4x+1=0$的两个实数根，求$(x_1+x_2)/(x_1-x_2)$的值。答案：$5$题型4：一元二次方程的应用11.收发微信红包是现在人们沟通感情的一种方式，已知小明2016年收到微信红包的金额为$300$元，2018年收到微信红包的金额为$675$元，若这两年小明收到微信红包的金额的年平均增长率为$x$，则根据题意可列方程为【】（A）$300(1+2x)=675$（B）$300(1+x^2)=675$（C）$300(1+x)=675$（D）$300+x^2=675/2$答案：（A）一块长5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹（如图中阴影部分）。已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的：（1）求配色条纹的宽度。（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价。解析：（1）设配色条纹的宽度为x，则有：（5-2x）×（4-2x）=2x×2x化简得：x²-4x+4=0解得：x=2所以，配色条纹的宽度为2米。（2）地毯的总造价=配色条纹部分的造价+其余部分的造价配色条纹部分的面积为：2×（5-2×2）+2×（4-2×2）=8其造价为：8×200=1600元其余部分的面积为：5×4-8=12其造价为：12×100=1200元所以，地毯的总造价为：1600+1200=2800元。11.解题思路：根据题意列方程，求解配色条纹的宽度和地毯的总造价。设配色条纹的宽度为x米，根据题意可列方程为：$\frac{17}{80}\times5\times4=\frac{1}{2}x\times5+\frac{1}{2}x\times4-2x^2$解得：$x=\frac{17}{4}$米，不符合题意的解舍去。因此，配色条纹的宽度为$\frac{17}{4}\times\frac{1}{4}=\frac{17}{16}$米。条纹造价为$2\times\frac{17}{16}\times5+2\times\frac{17}{16}\times4-4\times\left(\frac{17}{16}\right)^2\times5\times4\times100=850$元。其余部分造价为$\frac{63}{80}\times5\times4\times100=1575$元。故地毯的总造价为$850+1575=2425$元。12.解题思路：设时间为s后，$\trianglePBQ$的面积分别为8cm²和10cm²，列方程解得s的值。设xs后$\trianglePBQ$的面积为8cm²，根据题意可列方程为：$\frac{1}{2}\times(6-x)\times2x=8$解得：$x_1=2$，$x_2=4$。因此，2s或4s后$\trianglePBQ$的面积为8cm²。设ys后$\trianglePBQ$的面积为10cm²，根据题意可列方程为：$\frac{1}{2}\times(6-y)\times2y=10$整理得：$y^2-6y+10=0$由判别式$\Delta=(-6)^2-4\times10=-4<0$，可知该方程无实数根，因此$\trianglePBQ$的面积不能等于10cm²。13.改写后：设时间为s后，$\trianglePBQ$的面积分别为8cm²和10cm²，列方程解得时间的值。设xs后$\trianglePBQ$的面积为8cm²，根据题意可列方程$\frac{1}{2}\times(6-x)\times2x=8$，解得$x_1=2$，$x_2=4$，因此，2s或4s后$\trianglePBQ$的面积为8cm²。设ys后$\trianglePBQ$的面积为10cm²，根据题意可列