某大学2022年《1091应用概率统计》期末考试真题及答案（共2套）

试卷代号:1091

国家开放大学202I年秋季学期期末统一考试

应用概率统计试题

2022年1月

ー、判断题（回答对或错,每小题3分,共15分）

L设随机变量X的分布律为

X012

Pk

0.50.30.2

则2X+1的分布律为

2X+1135

Pk

0.50.30.2

()

2.P{X=xk}=Pt（k=l,2…）为随机变量X的分布律的必要条件是。WPk；<2。（）

3.设随机变量X和Y的方差存在且不为零,若D（X+Y）=D（X）+D（Y）成立,则X和Y一定相关。

（）

4.现有10张奖券,其中8张为2元,2张为5元，今某人从中随机地无放回地抽取3张,

则此人得奖金额的数学期望为7.8元。（）

5.设X],X2,…，Xn是来自总体X〜N3,メ）的样本，且盯2未知,用样本检验假设Ho：

バ

时,采用统计量是s。（）

二、填空题（每空格3分，共15分）

6.某人独立射击4次,每次的命中率为0.8,则恰好命中2次的概率为ー。

7.将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上与反面向上的次数,则X和Y的相

关系数等于ー«

8.若随机变量X服从正态分布N（4,メ）,则其概率密度函数P（x）==。

9.当事件A,B满足.时,P（AB）=P（A）P（B）

10.设总体ぐ〜N伊，メ）.若0•2已知,总体均值〃的置信度为トは的置信区间为:（

モ~5・脸）,则A的值为。

三、计算题（共50分）

11.设随机变量X与Y的方差分别为16和25,相关系数为0.5,求D（X+Y）,D（X-Y）。（7分）

12.由累积资料知道,甲、乙两煤矿的含灰率分别服从N（%，17.5）、N（42,2.6）。现从

两煤矿各抽几个样品，分析其含灰率分别为

甲矿（盼:24.3,20.8,23.7,21.3,17.4

乙矿（册:18.2,16.9,20.2,16.7

问甲、乙两矿所采煤的含灰率的数学期望〃1ル2有无明显年差异?（显著性水平a=0.10）

（提示：可采用U检验法）（10分）（提示:a=0.10时,标准正态分布表得〃a/2=l.64）

は小张要和小李通话,小李的电话为分机电话,假设小张挂通总机的概率为80%,小李的

分机占线的概率为10%,求小张与小李通话的概率。（7分）

14.中药厂从某种药材中提取某种有效成分,为了进ー步提高得率（得率是药材中提取的有

效成分的量与进行提取的药材的量的比）,改革提炼法。现在对同一质量的药材，用旧法与

新法各做了10次试验，其得率分别为

旧方法:75.5,77.3,76.2,78.1,74.3,72.4,77.4,76.7,76.0,78.4

新方法:77.3,79.1,79.1,81.0,80.2,79.1,82.1,80.1,77.3,79.1

设这两个样本分别抽自正态总体Nトい/），'（%"Q且相互独立。问新法的得率〃2是否比

旧法的得率的高?（取a=0.0率（16分）

（提示1：F分布表,尸9.9（3=尸9.9（0.005）=6.54；

提示2:对a=0.01,自由度为10+10-2=18,查t分布表得ス8（め=ス8（0.01）=2.5524）

15.设总体X的概率密度为

f（x-Q'）=（伊+1），,。＜x＜l,

八‘丿（〇,其他,

式中〇〉ー1是未知参数,X1.X2,…，Xn是来自总体X的ー个容量为れ的简单随机样本,

用最大似然估计法求o的估计量。（10分）

四、证明题（20分）

16.设f服从标准正态分布N（0,1）,证明り=琢+%其中a",仃为常数且。＞0服从

N（a4）分布。

试卷代号:1091

国家开放大学2022年春季学期期末统一考试

应用概率统计试题

2022年7月

ー、判断题(正确填“错误填“X”,每小题3分.共15分)

1.对于任意两个事件A,B.有P(A-B)=P(A)-P(B).()

2.设随机变量X,Y的方差D(X)=4,D(Y)=1,相关系数PXY=0.6,贝リ方差D(3X-2Y)

=17.6.()

3.一次投掷两颗骰子,则出现的点数之和为奇数的概率为3.()

4.设二维随机变量(X,Y)在区域D：OWxWl,y2Wx内服从均匀分布,则(X,Y)的

0WxW1,y2くx

联合概率密度为f(x,y)=l0.其他()

5.现有10张奖券，其中8张为2元,2张为5元,今某人从中随机地无放回地抽取3

张,则

此人得奖金额的数学期望为7.8元.()

二、填空题(每小题3分,共15分)

6.当r0,05<|r|Wro.oi,时,则认为变量Y与x的线性相关关系.

7.设A、B互不相容,P(A)=p,P(B)=q,则P(AB)=.

又一1

2

8.设随机变量x〜N(1,2),XPX2,-,Xn为取自X的简单随机样本,则统计量派

服从参数为的正态分布.

9.设“与。,是未知参数。的两个估计,且对任意的口满足D(厶)<D(幻,则

称。比冋有效。

10.设f(x,y)是二维随机变量(X,Y)的联合密度函数,fx(x)与0(y)分别是关于X

与Y的边缘概率密度，且X与Y相互独立,则有f(x,y)=.

三、计算题(每小题10分,共50分)

11.设随机变量X服从参数为A的泊松分布,且已知E(XT)(X-2)=1,求参数人的值,

12.设有10个零件,其中2个是次品，任取2个,试求至少有1个是正品的概率.

13.设总体X服从正态分布N(a,1),今对总体观察20次，其中有14次是取负值，

试求a的估计值.

附:供参考的标准正态分布分位数:

①(0.4677)=0.68,①(0.4959)=0.69,.(0.5244)=0.70,

①(0.5534)=0.71,西(0.5828)=0.72,①(0.6128)=0.73.

14.某人求得(X,Y)的分布律为表1.

ゝ01/31

-101/121/6

01/61/60

21/123/121/6

试说明他的计算结果是否正确.

fe-y,O<x<y;

15.设（g,n）的密度函数为W（x,y）=l0，其他求自,n的边缘密度函数.

四、证明题（本题20分）

16.已知随机变量序列X1，X2,Xn，…相互独立,且

P{Xn=±/+1}=田,P{Xn=O}=l一中,

试证明:对于任意正数£,有

间岡』ム冋=1

试卷代号:1091

国家开放大学2021年秋季学期期末统一考试

应用概率统计试题答案及评分标准

（供参考）

2022年1月

一、判断题（回答对或错,每小题3分,共15分）

1.对

2.错

3.错

4.对

5.错

二、填空题（每空格3分,共15分）

6.0.1536

7.-1

8.テ二eH

9,相互独立

10.ス=“.2

三、计算题(共50分)

11.解:由公式

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)...............................................................................................(1分)

=D(X)+D(Y)+2pxy7D(X)D(Y)..............................................................................(1分)

/

D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2(OxyvD(X)D(Y)..............................................................................(1分)

由已知条件得

D(X+Y)=61.............................................................................................................................................(2分)

D(X-Y)=21.............................................................................................................................................(2分)

12.解:设由题所给的甲、乙两矿采煤含灰率分别为总体X和总体Y的ー个简单样本。

原假设Ho：in=fi2

由所给样本观测值算得

a:=21.5,y=18,..............................................................（3分）

于是U=フユ==学=丝=2.39..................................................（3分）

匣T包座十红

ベゆへ!54

对a=0・1。,查标准正态分布表,得MO/2=1.64..................................................................................（2分）

因为ルI=2.39〉劭.M2=L64,所以拒绝H。,即可以认为外与也有显著差异。............（2分）

（1091号）应用概率统计答案第1页（共3页）

13.解:设

A-----｛挂通总机)

B——｛分机不占线)

C——｛张与李通话｝......................................................................（2分）

因为挂通总机与分机不占线是相互独立的,故

P(C)=P(AB)=F(A)P(B)=P(A)(1-P(B))..........................................................................（3分）

=80%X(l-10%)=0.72........................................................（..2...分....）...........................................

14.

解:分别把旧、新两种方法的得率作为总体X和Y,则X〜N(出,そ)，Y〜N(依,。わ。

首先在外,び2未知,在。=0.0I下来检验假设:次=后,用F检验法。

现m=m=10,由所给旧方法数据与新方法求出样本均值和样本方差。

（2分）

丄u，.一］

一]】0

k元さ"=79.43,.........（2分）

]10—

Sf=->（ーボ）ム=3.325（2分）

y.=1

!昌一

S名=7ゝ（yi~y）2=2.225（2分）

i=1

F=豆・〜FIOTJOT.....................（2分）

F=l.49,查F分布表,

F9,Sj=F9.9(0.005)=6.54

因为F=l.49VF9,9(0.005),所以接受H。,即认为两种方法的得率的方差相等。（2分）

下面来检验假设

Ho=〃2

H]:〃[〈び2

T___________・一y_________卜1犯（小+711—2）

，（"i-l）Sf+（n2-l）S：ラ如+也=-4.295（2分）

对a=0.01,自由度为10+10—2=18,査t分布表得

tjs(a)=tis(0.01)=2.5524

因为T=-4.295〈ー2.5524。因而拒绝H。.即我们得出新的提炼方法的得率在水平a=0.01

下比旧法高,因而可考虑采用新方法。.............................（.2..分..）....................

(1091号)应用概率统计答案第2页(共3页)

15.解:似然函数为

in(0+i)x?=(0+i)"[itx]

i〇<了1，…,攵”V1,

L(め一（3分）

!〇,其它

对。くス[VI,，=1,2,…,九,对L（。）取对数,则有

lnL(0)=nln(04-1)+02Inx,.......................................................（..3...分.....）...........................................

r=l

dlnL(0)_n

令=0（2分）

J(0)=0+l+“旧

得。=—1一七-----=0,

£Inム

所以参数Q的最大似然估计量为

6=-1--ーー..................................................................................................................................（2分）

SlnX;

t=]

四、证明题（20分）

16.证明:因为ミ〜N（0,1）.....................................................................................................................（3分）

12,

所以中（ズ）=^=ゼノ2,—8Vx<4-8...............................................................................................（3分）

岳

乂因为ヮ=びミ+Q

V--Q

所以ン，=（rr+a（单调）=エ—（单调）...............................................（4分）

于是％=チ（4分）

........................................................................................................................................（3分）

于是ヮ=熒+a服从N（Q,/）。（3分）

（1091号）应用概率统计答案第3页（共3页）

试卷代号:1091

国家开放大学2022年春季学期期末统一考试

应用概率统计试题答案及评分标准

（供参考）

2022年7月

ー、判断题（正确填"J”,错误填“X”,每小题3分,共15分）

1.X2.X3.X4.V5.V

二、填空题（每小题3分,共15分）

6.显著

7.1-（p+q）

8.（0,1）

9.无偏

10.fx（X）,fy（y）

三、计算题（每小题10分,共50分）

】.解:由题设知EX=A,DX=4,得EX"=ス+ぜ（4分）

再由假设1=E_（X-1）（X-2）]=EX2-3EX+2=だー2ス+2.（4分）

即有（スー1）2=0.所以ス=1,な分）

12.解:从有2个次品的10个零件中任意取两个零件的取法总数为:n=Cw=45；（2分）

而取出的2个零件中没有正品（即