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第三章复变函数的积分复变函数的积分柯西定理与柯西公式13.1复变函数的积分复变函数积分的概念有向线段若曲线C是开口弧段，若规定它的端点A为起点，B为中点，则沿曲线C从A到B的方向为曲线C的正向，而由B到A的方向称为C的负向，并把负向曲线记为C-；若C是简单闭曲线，通常规定逆时针方向为正向，顺时针方向为负向；若C是复平面上某一个复连域的边界曲线，则C的正向应按如下规定：当人沿曲线C行走时，区域总保持在人的左侧，因此外部边界的部分取逆时针方向，而内部边界曲线取顺时针方向为正向。2复数域中定积分的定义设f(z)是简单曲线C的连续函数简单有向曲线C以起点，以为终点，并被分成n个弧段，分点为：是弧上的任意一点表示弧段长度的最大值若不论对C的分法和对的取法，且趋于零时，和式极限存在且唯一3该极限就被称为函数沿有向曲线C从到的积分，记做：该积分就是极限和：4复积分存在条件定理一5说明6从形式上可以看成是公式7复积分的基本性质C-:曲线C的反方向曲线8估值定理9复积分的计算10例

解直线方程为11例解：xyO12例解积分路径的参数方程为13例解积分路径的参数方程为14重要结论：积分值与路径圆周的中心、半径无关.153.2柯西定理与柯西公式柯西定理复积分的牛顿－莱布尼兹公式复合闭路定理柯西积分公式高阶导数公式163.2.1柯西定理定理二：柯西－古莎定理定理三：17注意1

定理中的C可以不是简单曲线.

注意2

定理的条件必须是“单连通区域”.注意3

定理不能反过来用.183.2.2复积分的牛顿－莱布尼兹公式定义：复积分上限的函数定理四19定义：20定理五：（牛顿－莱布尼兹公式）21证明22例：解：例：解：233.2.3复合闭路定理讨论多连通域上解析函数的积分24那么构成复合闭路复合闭路定理25证明A1A2A3A4C1C2EFGIH26A1A2A3A4C1C2EFGIH27当n为其它值时，可同样证明。28特殊情况：闭路变形原理由复合闭路原理这就是闭路变形原理29解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.在变形过程中曲线不经过函数f(z)的不解析的点.说明：30回顾前述例题结论：该结论将被经常使用。31例解依题意知,32根据复合闭路原理,33例：解：注意到在圆周内只有一个奇点343.2.4柯西积分公式定理八柯西积分公式3536解：37383.2.5高阶导数公式解析函数具有任意阶导数，且其导数仍为解析函数定理：39高阶导数公式的作用:

不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分.40例解4142小结复变函数积分的概念复变函数积分的计算（注意重要积分式的结论）柯西定

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