傅里叶级数课件

第九章

数字信号处理的实现1第三章傅里叶变换教学目的：1、掌握傅里叶级数的定义及性质。2、掌握傅里叶变换的定义及性质。3、建立信号频谱的概念。4、掌握频谱密度函数的概念及其意义。5、掌握抽样定理及抽样信号频谱的特征教学重点：1、傅里叶变换及其性质。2、抽样定理。2§3.1引言

频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。时域分析频域分析3发展历史1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导理论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法具有很多的优点。FFT快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。

4§3.2周期信号傅里叶级数三角函数形式的傅氏级数指数函数形式的傅氏级数

频谱图

两种傅氏级数的关系函数的对称性与傅里叶级数的关系周期信号的功率傅里叶有限级数与最小方均误差主要内容：FourierSeries（FS)5一．三角函数形式的傅里叶级数

构成完备的正交函数集n=0,1,...1.三角函数集6直流分量余弦分量的幅度正弦分量的幅度在满足狄氏条件时，可展成称为三角形式的傅里叶级数。其系数2．傅里叶级数形式73、狄利克雷（Dirichlet）条件条件3:在一周期内，信号绝对可积。条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。一般的周期信号都满足狄氏条件.8例3-2-1求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式。傅里叶级数展开式为9余弦形式正弦形式101、信号分解为直流分量，及各正、余弦分量之和，各分量的频率是信号频率ω1的整数倍。频率为ω1

、2ω1

、nω1分量：基波、二次谐波、n次谐波2、c0：直流分量cn：n次谐波分量的幅度大小φn：n次谐波分量的相位大小理解：周期信号傅立叶级数11相位频谱（图）：把φn对nω1的关系绘成图形4、幅度频谱图和相位频谱图幅度频谱（图）：把cn对nω1的关系绘成图形12O1w13wwpnj5、频谱图谱线，包络幅度频谱图相位频谱图频谱特点：离散性谐波性收敛性单边谱1ww13wnc0c1c3cO13傅立叶级数的意义：周期信号经过傅立叶级数展开，将时域信号f(t)转换到了频域表示t→ω

。时域周期信号f(t)FS14二．指数函数形式的傅里叶级数1．复指数正交函数集2．指数形式的傅里叶级数(推导）1516结果：17理解：18幅频频谱图相频频谱图3、幅度频谱图和相位频谱图194、频谱图频谱特点：离散性谐波性收敛性双边谱ww谱线，包络1w13wnFn1F2F3OF01-w1-3w20w13wpnjOnjO1ww13w1-π相位频谱21为什么引入负频率?

()的实函数的性质不变。，才能保证和数，必须有共轭对是实函数，分解成虚指－)(ee11jjtftfnnww22请画出其幅度谱和相位谱。例3-2-2化为余弦形式三角函数形式的频谱图三角函数形式的傅里叶级数的谱系数

23化为指数形式整理24谱线指数形式的频谱图25三角形式与指数形式的频谱图对比三角函数形式的频谱图指数形式的频谱图26三．函数的对称性与傅里叶级数的关系偶函数奇函数奇谐函数偶谐函数主要内容：271．偶函数信号波形相对于纵轴对称282．奇函数293．奇谐函数f(t)的傅氏级数偶次谐波为零，即若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变化：304．偶谐函数f(t)的傅氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分量31四．周期信号的功率这是帕塞瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现;表明：周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分量有效值的平方和；即：时域和频域能量守恒。32五．傅里叶有限级数与最小方均误差误差函数方均误差33见书图3－6(P99）对称方波有限项傅里叶级数的波形吉布斯现象：当选取有限项级数的N越大时，在合成波形中出现的峰起愈靠近f(t)的不连续点，当N很大时，该峰起值趋于一个常数，大约等于总跳变值的9％，并从不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去，这种现象称为吉布斯现象。34见书P100傅立叶级数所取项数n越多，相加后的波形越接近原信号f(t)。f(t)波形变化愈剧烈，所包含的高频分量愈丰富，变化愈缓慢，所包含的低频分量愈丰富。当信号中任一频谱分量的幅度或相位发生相对变化时，输出波形发生失真。35主要内容以周期矩形脉冲信号为例进行分析

频谱结构频谱特点频带宽度能量分布§3.3典型周期信号的傅里叶级数36一．周期矩形脉冲信号频谱结构在一个周期中：371．三角形式的傅里叶级数382．指数形式的傅里叶级数393．频谱及其特点wOFn(1)包络线形状：抽样函数(3)离散谱（谐波性）见书P10440结论

周期矩形脉冲的频谱说明了周期信号频谱的特点：离散性、谐波性、收敛性。wOFn见书P105411.问题提出二．频带宽度由频谱的收敛性可知，信号的功率集中在低频段。第一个零点集中了信号绝大部分能量（平均功率）。

42而总功率周期矩形脉冲信号的功率二者比值43在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围的信号来表示，此频率范围称为频带宽度（简称带宽）。2．频带宽度一般把第一个零点称为信号的频带宽度。记为：

信号时域压缩，频域扩展，时域扩展，频域压缩。为了充份利用频带，频带变窄，脉宽展宽，但同时通信速度降低，即通信速度和占用频带是一对矛盾。见书P10644请自修：周期锯齿脉冲信号周期三角脉冲信号周期半波余弦信号周期全波余弦信号45