21.1一元二次方程

21.1一元二次方程理解一元二次方程的概念；掌握一元二次方程的一般式，并能将一元二次方程转化为一般式，确定二次项系数、一次项系数和常数项；教学目标重点：能建立一元二次方程模型，把一元二次方程整理成一般式；重点难点难点：把实际问题转化为一元二次方程的模型；等量关系：设雕像下部高xm，于是得方程整理得x2＋2x－4=0x2=2(2－x)ACB2mAC:BC=BC:2,即BC2=2AC

情景问题学习新知要设计一座2m高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雕像的下部应设计为多高？

解：设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为（100－2x）cm，宽为（50－2x）cm，根据方盒的底面积为3600cm2，得（100－2x）（50－2x）=3600.整理，得：4x2－300x+1400=0.化简，得：x2－75x+350=0.

如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？问题1

要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？列方程整理，得化简，得问题2（１）一个未知数；（２）最高次数是2；（3）方程两边都是整式.

像这样的等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.x2－75x+350=0

2x2＋3x－2=0

x2-x＝56探究新知请口答下面问题．

（1）下面三个方程整理后含有几个未知数？（3）方程两边都是整式吗？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？

判断一个方程是一元二次方程需同时满足三个条件：知识拓展（1）整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.同时要注意二次项系数不能为0.一元二次方程的一般形式

一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以化为的形式,我们把(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。为什么要限制a≠0？b,c可以为零吗？

ax2+bx+c=0(a≠

0)二次项系数一次项系数常数项

将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项．

3x2－3x=5x+10.移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式：3x2-8x-10=0.其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.

解：去括号，得：例题讲解1、什么是一元二次方程的根?使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.2、方程x2+2x-48=0(x>0),3x2=2x的根是什么?x=6;x=0或x=练习巩固李明在写作业时,一不小心,把方程5x2+■x-3=0的一次项的系数用墨水覆盖住了,但知道方程的一个根是x=-2,请你帮助李明求出覆盖的系数.解:设覆盖的系数为a.把x=-2代入方程可得5×(-2)2+(-2)a-3=0,即20-2a-3=0,解得a=∴覆盖的系数为1.判断一个数是不是一元二次方程的根的方法:将这个数代入一元二次方程,如果方程左右两边相等,那么该数是方程的根;如果方程左右两边不相等,那么该数不是方程的根.2.已知a是一元二次方程的根,把x=a代入方程,方程左右两边相等,可以求待定系数的值.[知识拓展]

B解析：一元二次方程必须满足三个条件：（1）含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程，同时注意二次项系数不为0.①和④满足这三个条件，②中二次项系数可能为0，③化简后不含有二次项，不符合定义，故选B.1.在下列方程中，一元二次方程的个数是()．

①②③④A．1个B．2个C．3个D．4个检测反馈解析：观察图形，挂图的长为（80+2x）cm，宽为（50+2x)cm,根据矩形的面积公式可列方程（80+2x）（50+2x)=5400，化简可得，x2+65x－350=0,故选D.2.在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为x

cm，那么满足的方程是（）BB.C.D.3.方程的二次项系数为

，一次项系数为_________，常数项______．3-2-4解析：通过移项、合并同类项，化成一元二次方程的一般形式为：，所以二次项系数为3，一次项系数为-2，常数项为-4，注意不要漏填负号.故填3，-2，-4.4.若是一元二次方程，则m=

.-2解析：根据一元二次方程概念未知数x的最高指数是2，且二次项系数不为0，得且，解得m=-2，故填-2.检测反馈5.以-2为根的一元二次方程可能是 (

)A.x2+2x-2=0

B.x2-x-2=0C.x2+x+2=0 D.x2+x-2=0D6.已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解,则m的值是 (

)A.-3

B.3

C.0

D.0或3A7.已知m是方程x2-x-2=0的一个根,则代数式m2-m的值等于 (

)A.-1 B.0 C.1 D.2D解析:根据已知条件,当x=a,x=b时a2-3a+1=0,b2-3b+1=0成立,所以x=a,x=b都是方程x2-3x+1=0的解.故选D.8.已知实数a,b(a≠b)满足a2-3a+1=0,b2-3b+1=0,则关于一元二次方程x2-3x+1=0的根的说法中正确的是 (

)A.x=a,x=b都不是该方程的解B.x=a是该方程的解,x=b不是该方程的解C.x=b是该方程的解,x=a不是该方程的解D.x=a,x=b都是该方程的解D9.已知方程x2+bx+a=0有一个根是-a(a≠0),则下列代数式的值恒为常数的是 (

)A.ab

B. C.a+b

D.a-b解析:把x=-a代入方程可得(-a)2-ab+a=0,即a2-ab+a=0,所以a(a-b+1)=0,因为a≠0,所以a-b+1=0,所以a-b=-1是常数.故选D.D1.一元二次方程概念需要满足三个条件：（1)是整式方程；（2)只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.2.一元二次方程的一般形式是易错点是忽略

.知识小结3.一元二次方程的一般形式的特点是方程的右边为0，左边是关于未知数的二次整式.4.一元二次方程的项或系数是针对一