中考数学圆的综合(大题培优)及详细答案

中考数学圆的综合(大题培优)及详细答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1.如图，在圆O中，直径AB垂直于弦CD于点E，连接AC，BC，点F是BA延长线上的一点，且∠FCA=∠B。（1）证明：CF是圆O的切线；（2）若AE=4，tan∠ACD=1，求AB和FC的长度。【解析】（1）连接OC，根据圆周角定理证明OC⊥CF即可；（2）通过正切值和圆周角定理，以及∠FCA=∠B求出CE、BE的长度，即可得到AB长度，然后根据直径和半径的关系求出OE的长度，再根据两角对应相等的两三角形相似（或射影定理）证明△OCE∽△CFE，即可根据相似三角形的对应线段成比例求解。详解：（1）证明：连结OC因为AB是圆O的直径，所以∠ACB=90°。∠B+∠BAC=90°，因为OA=OC，所以∠BAC=∠OCA。∠B=∠FCA，所以∠FCA+∠OCA=90°，即∠OCF=90°。因为C在圆O上，所以CF是圆O的切线。（2）因为AE=4，tan∠ACD=1，所以CE=8。因为直径AB垂直于弦CD于点E，所以AD=AC。因为∠FCA=∠B，所以∠B=∠ACD=∠FCA。∠EOC=∠ECA，所以tan∠B=tan∠ACD=。因此，BE=16，AB=20，OE=AB÷2-AE=6。因为CE⊥AB，所以∠CEO=∠FCE=90°。因此，△OCE∽△CFE，CE/BE=OC/OE，CF/BE=CE/OE=8/6。因此，CF=40/3。点睛：此题主要考查了圆的综合知识，关键是熟知圆周角定理和切线的判定与性质，结合相似三角形的判定与性质和解直角三角形的知识求解，利用数形结合和方程思想是解题的突破点，有一定的难度，是一道综合性的题目。2.矩形ABCD中，点C(3,8)，E、F为AB、CD边上的中点，如图1，点A在原点处，点B在y轴正半轴上，点C在第一象限，若点A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长度的速度运动，点B随之沿y轴下滑，并带动矩形ABCD在平面内滑动，如图2，设运动时间表示为t秒，当点B到达原点时停止运动。（1）当t=0时，点F的坐标为；（2）当t=4时，求OE的长度及点B下滑的距离；（3）求运动过程中，点F到点O的最大距离；（4）当以点F为圆心，FA为半径的圆与坐标轴相切时，求t的值。【解析】（1）当t=0时，点F的坐标为(0,4)。（2）当t=4时，点B的坐标为(0,-4)，所以矩形ABCD的面积为32，AB的长度为8，所以OE的长度为4。点B下滑的距离为4。（3）点F到点O的距离等于OF的长度，当矩形ABCD的面积最大时，OF最大。因为矩形ABCD的面积为32，所以AB的长度为8，CD的长度也为8。因为E、F为AB、CD边上的中点，所以EF的长度为4，矩形ABCD的高为4。当矩形ABCD的高为4时，面积最大，此时OF等于矩形ABCD的对角线的一半，即4√5。（4）以点F为圆心，FA为半径的圆与坐标轴相切，说明矩形ABCD的面积为32，所以AB的长度为8，CD的长度也为8。因为E、F为AB、CD边上的中点，所以EF的长度为4，矩形ABCD的高为4。当矩形ABCD的高为4时，面积最大，此时OF等于矩形ABCD的对角线的一半，即4√5。因为以点F为圆心，FA为半径的圆与坐标轴相切，所以OF=4。因为点A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长度的速度运动，所以当点B到达原点时，t=4秒。点睛：此题主要考查了平面几何的知识，关键是熟知矩形的性质和面积的计算，结合坐标系和运动学的知识求解，需要注意细节和计算精度。证明DF为⊙O的切线：由OD⊥BC和BC∥DF可得OD⊥DF，因此DF与OD垂直，且DF过点D，因此DF为⊙O的切线。阴影部分的面积计算：首先证明△OBD为等边三角形，因为∠ODB=60°，OB=BD=23，所以△OBD为等边三角形。由于BC∥DF，因此∠BDF=30°，∠DBP=30°，在Rt△DBP中，PD=BD/2=3/2，PB=3PD=9/2。在Rt△DEP中，PE=√(DE²-PD²)=2。根据相似三角形的性质，可得AE=2AB/3=46/3。阴影部分的面积=△BDF的面积-弓形BD的面积=1/2×BD×DF-1/6×π×BD²=23√3-23π/6=93-2π。在Rt△ADH中，因为∠AHD=90°，所以根据勾股定理可得AD=AH²+DH²=2-2x+x²。将DF连接，点D、F之间的距离y即为DF的长度。因为点F在圆A上，且AF⊥AD，所以AD=AF，∠ADF=45°。在Rt△ADF中，因为∠DAF=90°，所以DF=∴y=4-4x+2x²（0≤x≤3）；因为E是DF的中点，所以AE⊥DF，AE平分DF。所以AD/cos∠ADF=4-4x+2x²/cos45°=4-4x+2x²，cos∠ADF=1/√2。因为BC=3，所以HC=3-1=2，所以AC=AH²+HC²=5。设DF与AE相交于点Q，在Rt△DCQ中，∠DQC=90°，tan∠DCQ=DQ/CQ。在Rt△AHC中，∠AHC=90°，tan∠ACH=AH/HC。因为∠DCQ=∠ACH，所以DQ/CQ=AH²/HC²。设DQ=k，CQ=2k，AQ=DQ=k，所以3k=5，k=5/3，所以DC=DQ+CQ=8/3，所以BD:CD=5:8。如果四边形ADCF是梯形，则①当AF∥DC时，∠AFD=∠FDC=45°。因为∠ADF=45°，所以AD⊥BC，即点D与点H重合，所以BD=1。②当AD∥FC时，∠ADF=∠CFD=45°。因为∠B=45°，所以∠B=∠CFD。因为∠B+∠BAD=∠ADF+∠FDC，所以∠BAD=∠FDC。所以△ABD∽△DFC。因为DF=所以DF/DC=2AD/BC，所以DC=BC-BD=3-BD。所以2-2x+x²=3-x，整理得x²-x-1=0，解得x=(1±√5)/2。综上所述，如果四边形ADCF是梯形，BD的长是1或(1+√5)/2。【点睛】此题考察了圆的综合知识，需要熟练掌握平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数值以及勾股定理等知识，对学生的综合能力要求较高，需要将所学知识贯穿起来。结论：∠GFA=2∠ABC。连接FC，由FC=FG=FA，以F为圆心FC为半径作⊙F。因为AG=AG，推出∠GFA=2∠ACG，再证明∠ACG=∠ABC。图2-1中，连接AG，作FH⊥AG于H。想办法证明∠GFA=120°，求出EF，OF，OG即可解决问题。证明：连接OC。因为OA=OC，EC=EA，所以OF⊥AC，FC=FA。因此，∠OFA=∠OFC。由于∠CFA=2∠BAC，所以∠OFA=∠BAC。又因为∠OEA=90°，所以∠EAO+∠EOA=90°。所以∠OFA+∠AOE=90°，进而得到∠FAO=90°，AF⊥AB。解：结论：∠GFA=2∠ABC。理由：连接FC。因为OF垂直平分线段AC，所以FG=FA。以F为圆心FC为半径作⊙F。因为AG=AG，推出∠GFA=2∠ACG。又因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90°。由CD⊥AB，所以∠ABC+∠BCA=90°。因为∠BCD+∠ACD=90°，所以∠ABC=∠ACG。因此，∠GFA=2∠ABC。如图2-1中，连接AG，作FH⊥AG于H。因为BD=OE，∠CDB=∠AEO=90°，∠B=∠AOE，所以△CDB≌△AEO（AAS）。因此，CD=AE。因为EC=EA，所以AC=2CD。所以∠BAC=30°，∠ABC=60°，∠GFA=120°。又因为OA=OB=2，所以OE=1，AE=√3。因此，OG∥