含参数的一元二次不等式的解法

含参数的一元二次不等式的解法

含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按$x$项的系数$a$的符号分类，即$a>0$，$a=0$，$a<0$。例1：解不等式$ax+(a+2)x+1>2$分析：本题二次项系数含有参数，$\Delta=(a+2)^2-4a=a+4>0$，故只需对二次项系数进行分类讨论。解：当$a>0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a>0$，所以$x_1<x_2$。所以解集为$x>x_2$或$x<x_1$，即$x\in\left(-\infty,\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}\right)\cup\left(\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a},+\infty\right)$。当$a=0$时，不等式为$2x+1>2$，解得$x>\frac{1}{2}$，即解集为$x>\frac{1}{2}$。当$a<0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a<0$，所以$x_1<x_2$。所以解集为$x_1<x<x_2$，即$x\in\left(\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a},\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}\right)$。例2：解不等式$ax-5ax+6a>(a\neq0)^2$分析：因为$a\neq0$，$\Delta>0$，所以我们只需讨论二次项系数的正负。解：当$a>0$时，解得方程$ax-5ax+6a=0$的两根$x_1=2$，$x_2=3$，因为$a>0$，所以$x_1<x_2$。所以解集为$x<2$或$x>3$，即$x\in\left(-\infty,2\right)\cup\left(3,+\infty\right)$。当$a<0$时，解得方程$ax-5ax+6a=0$的两根$x_1=2$，$x_2=3$，因为$a<0$，所以$x_1<x_2$。所以解集为$2<x<3$，即$x\in\left(2,3\right)$。二、按判别式$\Delta$的符号分类，即$\Delta>0$，$\Delta=0$，$\Delta<0$。例3：解不等式$x+ax+4>\sqrt{a}$分析：本题中由于$x$的系数大于0，故只需考虑$\Delta$与根的情况。解：$\Delta=a^2-16$当$\Delta<0$时，$\Delta$无实数根，所以解集为$(-\infty,+\infty)$。当$\Delta=0$时，$\Delta$有一个实数根$a=4$，代入原不等式得$x+4x+4>\sqrt{4}$，即$(x+2)^2>2$，解得$x<-2-\sqrt{2}$或$x>-2+\sqrt{2}$，即解集为$x\in\left(-\infty,-2-\sqrt{2}\right)\cup\left(-2+\sqrt{2},+\infty\right)$。当$\Delta>0$时，$\Delta$有两个实数根$a=4+\sqrt{16+\Delta}$，$a=4-\sqrt{16+\Delta}$，因为$\Delta>0$，所以$a_1>a_2$。代入原不等式得$x+a_1x+4>\sqrt{a_1}$或$x+a_2x+4>\sqrt{a_2}$。解得$x<\frac{\sqrt{a_1}-4}{a_1-1}$或$x>\frac{\sqrt{a_2}-4}{a_2-1}$，即解集为$x\in\left(-\infty,\frac{\sqrt{a_1}-4}{a_1-1}\right)\cup\left(\frac{\sqrt{a_2}-4}{a_2-1},+\infty\right)$。当a=±4时，解集为{x|x∈R且x≠±2/√3，或x>1}当a=0时，解集为{x|x>1}当0<a<1时，解集为{x|1<x<a}当a<0时，解集为{x|x<a}当a>1时，解集为{x|1/a<x<1}当-4<a<0或a>4时，解集为{x|x<-2/√3或x>2/√3}当a≤-4或a≥4时，解集为R。例4：解不等式m+1x-4x+1≥0（m∈R）解：由m+1>0可得m>-1，再求出Δ=43-m，分别讨论：当m=±3时，解集为{x|x=±2/(m+1)}当-3<m<3时，解集为{x|x<(-1-√(1+m))/2或x>(-1+√(1+m))/2}当m≤-3或m≥3时，解集为R。变式：解关于x的不等式：ax2+x+1<(-1+1-4a)/2a，或x>2a/(-1+1-4a)当a=0时，解集为{x|x>1}当a>0时，解集为{x|x<-1/(4a)或x>2a/(1-4a)}当a<0时，解集为{x|x<-1/(4a)且x>2a/(1-4a)}。例5：解不等式x-(a+2)/(a+1)x+1<0（a≠-1）解：将不等式化为(x-a)/(a+1)(x-1)<0，分别讨论两根的大小：当a<-1或a>1时，解集为{x|x<a或x>1}当a=-2时，解集为{x|x<-2或x>1}当-1<a<-2或a<1时，解集为{x|x<a且x>1/(a+1)}。例6：解不等式x-5ax+6a>0（a≠0）解：由Δ=(-5a)2-4(6a)=a(4-5a)可得a>0，再比较两根2a和3a的大小：当0<a<4/5时，解集为{x|2a<x<3a}当a≥4/5时，解集为{x|x<2a或x>3a}。对于不等式(x-2a)/(x-3a)>0，对应的方程(x-2a)/(x-3a)=0的两根为x1=2a，x2=3a。当a>0时，即2a<3a，解集为{x|x>3a或x<2a}；当a<0时，即2a>3a，解集为{x|x>2a或x<3a}。对于方程x2-ax-2a2=0，其判别式Δ=a2+8a2=9a2。若a>0，则方程的两根为x1=2a，x2=-a。解集为：(1)当a>0时，{x|-a<x<2a}；(2)当a=0时，原不等式为x2<0，解为φ；(3)当a<0时，{x|2a<x<-a}。练习题：1.对于不等式(x-a)/(x+2)(x-3)<0（a≠3，且a≠-2），当a<-2时，解集为{x|x<a或-2<x<3}；当-2<a<3时，解集为{x|x<-2或a<x<3}；当a>3时，解集为{x|x<-2或3<x<a}。2.对于不等式1/(2x-1)<a(x-1)（a>0），解集为{x|x<1/a或x>2/(a+1)}。3.已知A={x|1≤x≤2}，B={x|(x-1)(x-a)≤0}，(1)若AB，应有a>2；(2)若BA，必有1≤a≤2；(3)若A∩B为仅含一个元素的集合，必有a≤1。4.已知A={x|x-1≤0或x≥3}，B={x|(x-1)(x-a)≤0}，且A∩B=B。解得1≤a<3。5.已知A={x|x-3≥0或x-a≤0}，B={x||2x+1|<3}，若A∪B=R，则-2≤a≤1。已知集合$U=R$，$A=\{x|x^2-x-6<0\}$，$B=\{x|x^2+2x-8>0\}$，$C=\{x|x^2-4ax+3a^2<0\}$，如果$(A\capB)\subseteqC$，求实数$a$的取值范围（$1\leqa\leq2$）。解析：首先求出$A$，$B$，$C$的解析式，分别为$A=(-\infty,-2)\cup(3,\infty)$，$B=(-\infty,-4)\cup(2,\infty)$，$C=(a-\sqrt{a^2-3})/2<x<(a+\sqrt{a^2-3})/2$。因为$(A\capB)\subseteqC$，所以$A\capB$的解集也应该在$C$中，即$A\capB=(-4,-2)\cup(2,3)$应该在$(a-\sqrt{a^2-3})/2<x<(a+\sqrt{a^2-3})/2$中，即$-a<\sqrt{a^2-3}<a$，解得$1\leqa\leq2$。若关于$x$的不等式$(2x-1)<ax$的解集中的整数恰有$3$个，求实数$a$的取值范围（$49/22<a<916$）。解析：将原不等式化为$(4-a)x-4x+1<0$，即$(a-4)