梁在轴压下稳定性的变分原理及逼近计算

2.2梁在轴压下稳定性的变分原理及逼近计算（曲屈问题buckling）基本问题及认识：现考虑上节的结构，仅轴向拉载改为压载-P即：q(x)q(x)（1）从挠度上看不稳定，（由三角级数或其他方法可获及挠度解）.n兀xEsin—213q / | n兀xtn q=Jqsindx兀4EJ“ 12p n ln=1 n4（1— ） o冗2EJn2当P从零增大时，级数中的每个分母都逐渐减少，即级数的每一项的绝对值都在增加，假设外载荷只有qi丰0，当P接近：PcrPcr兀2EJ12时，级数的第一项—g，即当P不大时，可导致很大的挠度。当P=PcrBt，即使没有横向载荷（即q=……=q=0）也可能产生横向挠度，因为这时cr 1 n级数的第一项变为0，（一个不确定值），可以不等于0。再看一例：0分析可知：Pcrq(x)仅限制角度，不限制轴向位移）分析可知：Pcrq(x)仅限制角度，不限制轴向位移）上式说明，不同支持端条件，导致临界压力不同，故设计时支持端条件非常重要。（2）从系统能量上看不稳定由最小能量原理知，如系统处于稳定平衡状态，系统势能取最小值，意味着给一个挠度微量变化，则泛函的变分：§兀（W+AW）=6兀W）+§加（Aw）>0=0口 oO=0即：62兀（Aw）=/[1EJ（d2Aw）2+1N（dAw）2]dx>02 dx2 2dx0但当N变成-P时，62ji（Aw）逐步下降，变成0或负值。这意味着扰动后系统的势能增量没有增加反而减小了（肯定平衡不稳定了），这种微量上的变化差为失稳时的运动能量。3加（Aw）=0的点为临界点。（当Aw-》0,Aw=6w）此时，也意味着泛函的二阶变分等于零的点为临界点,与挠度的性质对应,当无横向载荷作用,轴向压载达到最大值,挠度不稳定（不确定）时,此刻泛函的二阶变分为零。⑶微分方程的本征值（eigen-value）问题取横向载荷为0,挠度w的方程满足：（EJ为变剖面梁）d2 d2w d2w(EJ)+p=0dx2 dx2 dx2梁的边界条件可能有多种情况，但都没有位移或外载荷，故可总结为：w=0或d(EJd2w)+pdw=0dx dx2 dxdw=0dxd2w或 =0dx2因为方程及边界条件都是齐次的，故w=0是一个解（平凡解），但当P=pP2,……的一系列值时，w也有不等于零的解9,P……。12可以从级数解的结果上看到q,……,q=0，P等于适当的值可使分母为零，变为不定型）1n称：P,P,……为满足方程边界条件的本征值；而9,9……为本征向量。1212由此说，Pcr就是最小的本征值。*在梁的轴压稳定性问题中，只有最小的本征值P1与相应的本征函数有实用意义，其他本征值及本征函数只有理论意义。对于其他问题，如固有振动问题，则每个本征值及本征函数都有意义。*以上从不同的角度看待稳定性问题，事实上也导致不同的分析方法。稳定性问题的变分原理由前面的分析我们知：梁在新的位形（w+5w）上总位能的展开形式为：1兀（w+6w）=兀（w）+3兀+ 3航+ 其中：航=0（因为w是平衡形态）将62改写为：5~~2兀=w—pvw=JEJ(d5w)2dxdx20V=J(—5w)2dxdx0当处于不稳定平衡时，§加二0（分析如前）JEJ（仝-JEJ（仝-5w）2dxwV dx2即可以得到：P=-=占 VJ（d5w）2dxdx0如前述，有实际意义的P值应是其中数值最小的一个。P=minP=（~~）cr ■'vminVw（从该式看应有无穷多个）所以另一个角度把P=-看成泛函，Pcr是P达到的最小值，即有P的一阶变分为零，得到:v5〜w5vvVpv w— V V Vv25P=0n5P=5wv—w5v=V=5w-p5vv2vv~丰on5w-P5v二0n由此得到微分方程特征值方程体系。这说明此泛函的选择是正确地。同时由微分方程的特征值问题的讨论，即有：P-（5minvmin当无横向载荷作用，即P未达到临界值时w三0，而5w代表偏离平衡位置的可能位移状态,JEJ w)2dxdx2所以：P=3 )crldminJ(—w)2dxdx0JEJ(-^-w)2dx一 dx2 亠称：泛函P=-0 — 为瑞利商(Rayleighquotient)J(dw)2dxdxJEJ（~^^w）2dx/ dx2而P=st（力 ）为直梁屈曲问题的变分原理（直接应用新泛函，而不是原泛函J（—w）2dxdx0的二阶变分，此即Rayleighd商泛函的意义）。作业：证明上述变分原理与原微分方程及边界值等价。说明：（1）屈曲问题主要是系统的平衡位形发生了性质变化，平衡由稳定段达到了不稳定段的临界点。（2）平衡性质的变化表现在轴压逐渐增大过程中，（P<Pcr前）任何可能挠度扰动都使系统的势能增加，但增加的量在降低，即泛函二阶变分的值在降低，直至达到屈曲临界状态。（3） 可引入瑞利商泛函，通过其变分（驻值）来获得临界载荷。（4） 瑞利商变分的结果（即驻值点）可能多个（可从微分方程特征值角度理解），但只有最小的一个是临界值。（5）定义：一个系统变形后，如果它的势能恒大于零，则称这个系统是正定的；若可能大于零，也可能小于零，则称这个系统是不定的。由此，曲屈临界载荷的第二个定义：当P<P时，系统永远是正定的（稳定的）当P>P时，系统是不定的；P=P点，系c c c统从正定到不定的过渡状态，即处在随遇平衡状态。6）瑞利商中的两个积分具有明显的物理意义，分子是梁的弯曲应变能的两倍，分母是梁两端的靠拢的两倍（指有滑动铰链支持）。dsds-dxdx挠度引起的单元伸长：=：（空）2+1-1.1+】（dW）2-1=\dW）2

dx 2dx 2dx7）系统进入不定阶段，由不同特征值对应不同的特征函数，可以证明这些特征函数有正即：dxdpjdx=0即：dxdpjdx=0dx由Ritz法求临界载荷的近似值＜微分方程特征值稳定性问题的两种求法泛函的驻立值泛函驻立值计算原理：如欲求Pcr的精确解，必须在很大范围内的函数集求泛函的最小值，这等同于微分方程的特征值问题；如只欲求pcr勺近似解，就可在一个适当小的范围内的函数集中求泛函的最小值（函数范围选择不好，可能导致较大的误差）。RayleighQuotient泛函：仝w)dxdx2P二mn o-" J*止w)dxdx0w在边界上满足：位移边值：在x=0及x=l处：w=0（两端简支等剖面梁）d2d2w举例：边值条件：EJ盂仁广0（自然边界条件）①取只包含一参数a的函数集：w二a—（1-—）ll代入泛函式，变成函数极值问题Note：w''Note：w''l212EJ12EJP=mm =cr l2 l2此解与精确解p此解与精确解pcrl2误差偏大22%。该近似函数一不满足微分方程；也不满足简支端上弯距等于0的自然边界条件；故与真实挠度相差甚远。②取w的范围稍宽些，使它包含在两个参数^、0,如下：w二w二-(1--兀+^~-JxlIII)]代入泛函式，得函数极值问题（或称代数特征值问题）:1_ .12EJa2+5卩2P=mmcr 12a2+—ap+一P25 35解法(paymoreattention)：先将上式转化成隐形式:12Pcr-12Pcr-12EJ221(a2+5aP+35P2)"(a2+5P2)=0nF=K(a,p)—PK(a,p)=012（当P在一定范围内时，F总大于零，故找两参数的最小值以获取极值）12Pcr-12EJ与微分方程形式类比，故称为代数特征值问题。求其驻值：合F RP=0nK—K—PK=0nK—PK=0da 1ada2 2a 1a 2adF=0nK'—PK'=0dp 1p2p~1a—P(a+-p)=0...(1)TOC\o"1-5"\h\z1 1 2〔5 5 35-P—P(-a+—p)=0...〔5 5 35p(1—7P)—Pa=0…⑴变形代数方程组：< ]3”(1—35P)卩两式相减代入（1）'式a(1—3”(1—35P)卩两式相减代入（1）'式n—P2-9P+1二035 7该方程的最小根为P=0.8229门 12x0.8229EJ9.875EJnP二 二cr1212与精确界的误差只偏大6%0，保留两个参数就能得到这么好的结果，说明这个方法很有效。③一般情况下，取w二甲比g吐,g，…,g1:待定参数列;12n9=t,申，…,申1:关于x的函数列，要求每个元素的二阶导存在及满足边界条件，实12n际选取时，应尽量使前几个9,，…的线性组合就能相当好的逼近真实的失稳形态（有一12定的经验性）。代入稳定性问题的变分式即得：Pcr代入稳定性问题的变分式即得：Pcr=min其中K』EJ其中K』EJ凹空巴0dx2dx2GJ凹灶dx0dx2dx2dx转换为代数特征值形式：F=gTKg-PgTGg=0取驻值：ari=取驻值：ari=0nKg-PGg=0n(K-PG2=0（广义特征值的问题）解法放在与有限元一起讲。结论：用Ritz法解临界应力的近似值是非常有效的。如果所有选取的W函数具有一级极小误差，那么所求得的临界力的近似值的误差就只有二级小量。这个结论出自下面的讨论：如果所选取的挠度函数正是各本征值的线性组合，由本征函数在积分意义下的正交特性，稳PAg2+PAg2+PAg2+...TOC\o"1-5"\h\z定性问题的泛函可能转变为如下代数式：P=1111 2甘3Ag2+Ag2+Ag2+…111 222 333其中｛g.｝为待定函数，P<P<…为各特征值；A=JlEJ（牛）2dx，申为本征函数。i 1 2 ii0dx i如果只选取9，那么g=g=•••=0，于是上式得精确解。可见g,g…相对于g的大小，1 2 3 2 3 1代表所选函数所具有的误差。如所选函数W具有一阶小量的误差（g,g…小于g一个数量2 3 1级），那么，所求得的临界力近似的误差就只有二级小量，即PAg2PAg2P=P+_222+一333H1Ag2Ag21111114．用有限元素法求临界载荷的近似值有限元法计算临界载荷的近似方法，对单元的划分、节点自由度的选择、形状函数的选取都与前面介绍的有限元素法完全相同，仅所用的泛函式不同，而且推导步骤，刚度矩阵，集合刚阵的数据公式也完全相同。最终获得的代数特征值方法也与Ritz法的类似，仅数值不同，即：在未置边界条件前。(K-PGb=0U=lw,0,w,0，…,w,0不同，即：在未置边界条件前