历年高考数学真题15三角函数化简求值

历年高考数学真题精选（按考点分类）

专题十五三角函数化简求n（学生版）

一.选择题（共24小题）

1.（2014•新课标I）若tana>0,则（）

A.sina>0B.cosa>0C.sin2a>0D.cos2a>0

2.（2013•广东）己知sin（芋+a）=g,cosa=（）

A.--B.-1C.-

555

3.（2004•北京）已知sin（9+7i）<0,cos（0-7T）>O,则下列不等关系中必定成立的是（

）

A.sin0<0,cos0>0B.sin0>0,cosO<0

C.sin0>0,cosG>0D.sin0<0,cos0<0

3

4.（2016•新课标DI）若tana,则cos2a+2sin2a=（）

4

16

A.竺B,竺C.1D.

252525

5.（2016•新课标H）若cosf^■-a）二，,则sin2a=（）

A，Bc.--D.

-15~25

小兀、口1+sinB

6.（2014♦新课标I）设。《（。，今），pG（0,）,且tana一,,则（）

2cosp

TT

A.3a-p='-B.3a+P=lC.2a—p="D.2a+p=-

2222

3

7.（2018•全国）已知a为第二象限的角，且tana=—,则sina+cosa=（）

4

I

A.-ZB.--C.--D.

5455

8.（2013•大纲版）若a为第二象限角，sina=—,则cosa=（）

13

A1212

A.——B.--C.—D.

13131313

9.（2012•辽宁）已知sina-cosa=JT,a£（O,TT）,贝Utana的值是（）

A.-1RaD.1

2

jrI

10.（2011•福建）若a£（0,彳），且sin2a+cos2a=屋则tana的值等于（）

第1页（共13页）

RGC.五D.8

3

11.(2009•辽宁)已知tan0=2,贝！Jsin?。+sin0cosO-2cos2。=()

A.B.*c.--D.-

3445

12.(2019•新课标I)tan255°=()

A.-2-出B.-2+43C.2-出D.2+4

13.（2019•上海）已知tanagan。=tan（a+P）.有下列两个结论：

①存在a在第一象限，p在第三象限；

②存在a在第二象限，。在第四象限；

则（）

A.①②均正确B.①②均错误C.①对②错D.①错②对

14.(2017•全国)cos20°cos25°-sin20°sin25°=()

AO

A.——B.-C.0D.--

222

.3兀、

cos(a-—)

15.(2015•重庆)若tana=2tan—，则----------=()

5sin(a-y)

A.1B.2C.3D.4

_<.-(-.,1sin2A+cos2A/、

16.(2019•全国)已知tanA=2,则------------=()

1+cos2A

AA."3B.-C.3D.5

22

一7T

17.(2019•新课标H)已知aw(0,—),2sin2a=cos2a+l,贝ijsina=()

2

1c6r275

A.-B.7C.7D.7

5535

18.（2018•新课标I）已知角a的顶点为坐标原点，始边与工轴的非负半轴重合，终边上有

2

两点B(2,b),且cos2a=—，则la-6=()

3

。2f

R芯

AD.D.1

-15

19.(2017•新课标III)已知sina-cosa,则sin2a=()

3

A.-ZB.--cD.Z

99-19

第2页（共13页）

已知aw/?,sina+2cosa=；°,贝ijtan2a=（）

20.（2013•浙江）

334

A.1B.-C.--D.--

3443

21.（2013•新课标U）已知sin2a=2,则cos2（a+t）=（）

34

A.-B.1C.1D.-

6323

若,sin2。=*^,则sinO=（）

22.（2012•山东）

428

B.1C.不D.-

AA.一3

5544

若则。=（）

23.（2012•江西）tanB+―!—=4,sin2

tan0

B.iCD1

A.-.-.

5432

已知f*）=sin2（%+3,若。=f（/g5）,b=f（lgL）,则（

24.（2012•江西））

45

A.a+b=0B.a-b=0C.a+8=lD.a-b=\

二.填空题（共10小题）

Q-TT

25.（2019•新课标I）函数（（u）=sin（2x+y）—3cosx的最小值为___.

26.（2019•江苏）已知‘ana兀=二,则sin（2a+土）的值是.

27.（2017•上海）设a、aeR,且一!—+---------=2,则llOn-a-aI的最小值

।22+sin。2+sin（2〃）12

12

等于.

28.（2017•北京）在平面直角坐标系xOy中，角a与角。均以Ox为始边，它们的终边关于

y轴对称，若sina=g,则sin[3=.

29.（2015•四川）已知sina+2cosa=0,则2sinacosa-cos2a的值是.

30.（2018•新课标II）已知sina+cos。=1,cosa+sinP=0»则sin（a+B）=____.

31.（2017•北京）在平面直角坐标系xOy中，角a与角|3均以Ox为始边，它们的终边关于

y轴对称，若sina=；,贝!jcos（a-B）=.

jrjr

32.（2017•新课标I）已知aw。,]）,tana=2,贝ijcos（a-z）=___.

33.（2016•浙江）已知2cos2x+sin2x=4sin（cox+（p）+b（A>0）,则4=,b=.

第3页（共13页）

34.（2016•新课标I）已知。是第四象限角，Ksin（G+-）=-,则tan（0-三）=

454

三.解答题（共1小题）

35.（2016•山东）在A43C中，角A,B,。的对边分别为o,b,c，已知

〜,—tan4tan8

2(tanA+tanB)=-------+-------

cosBcosA

（I）证明：。+人=2c;

（II）求cos。的最小值.

第4页（共13页）

历年高考数学真题精选（按考点分类）

目

专题十五三角函数化简求（教师版）

一.选择题（共24小题）

1.（2014•新课标I）若tana>0,则（）

A.sina>0B.cosa>0C.sin2a>0D.cos2a>0

【答案】C

【解析】Qtana>0,.sina,贝ijsin2a=2sinacosa>0.故选：C.

cosa

2.（2013•广东）已知sin（SLir+a）=12,cosa=（）

2112

c

A.-5-B.-5-5-D.5-

【答案】C

_5冗兀711

【解析】sin（—4-a）=sin（2it+—+a）=sin（—+a）=cosa=-.故选：C.

2225

3.（2004•北京）已知sin（0+7：）<0,cos（0-7t）>O,则下列不等关系中必定成立的是（

）

A.sin0<0,cosQ>0B.sinO>0,cosO<0

C.sinO>0,cosO>0D.sinO<0,cosO<0

【答案】B

【解析】因为sin（。+兀）<0,所以一sinO<0,BPsinO>0；

又因为cos（。—兀）>0,所以—cosO>0,BPcosG<0.故选：B.

3

4.（2016•新课标III）若tana=二，则cos2a+2sin2a=（）

4

A.竺B.竺C,1

2525

【答案】A

1+4x2

3八.八cos2a+4sinacosa1+4tana64

【解析】Qtana=，,/.cos2a+2sin2a=------------=-_-_-_-_-_4

4sin2a+cos2atan2a+1-2+125

16

故选：A.

7

5.（2016•新课标H）若-a）=:则sin2a=（）

第5页（共13页）

7

25

【答案】D

【解析】法—Qcos(巴-a)=2,

45

兀71兀97

sin2a=cos(—2a)=cos2(—a)=2cos2(—a)-l=2x---1=----，

2442525

法2°Qcos(——a)=(sina+cosa)=/.—(1+sin2ct)=—,

9

sin2a=2x---1=--—，故选D.

2525

八八兀口1+sinB

6.(2014•新课标I)设aG(0,—),则（）

2cosp

c7t

A.3a-p=—B.3a+p=-C.2a-P=-D.2a+B=—

2222

【答案】C

【解析】由tana=1+si：P,得sin%='+,gpsinacosP=cosasinP4-cosa,

cospcosacosp

sin(ct-p)=cosct=sin(~-a),Qa£(0,­)>B£(0,~),

rrrr

・,.当2a—p=］时，sin(a-p)=sin(5-a)=cosa成立.

7.(2018•全国)已知a为第二象限的角，且tana=——,贝ijsina+cosa=()

4

A.-2B.--C.-iD.i

5455

【答案】C

【解析】tana=s^na=--,①，sirra+cos2a=1,②，

cosa4

又a为第二象限的角，.•.sina>0,cosa<0,

联立①②，解得sina=2,cosa=-->则sina+cosa=.故选C.

555

8.(2013•大纲版)若a为第二象限角，sina=—,则cosa=()

13

A.上B.-AC.AD.U

13131313

【答案】A

【解析】Qa为第二象限角，且sina=工，cosa=-川一si,22a=.故选A.

1313

9.(2012•辽宁)己知sina—cosa=ae(0,7t),则tana的值是()

第6页（共13页）

A.—lB.-fC.f

D.1

【答案】A

【解析】Q已知sina-cosa=£a€（0,兀），1-2sinacosa=2>BPsin2a=-1,

故2a二把,,*.a=—,tana=-l.故选A.

24

7t1

10.（2011•福建）若aa。,］）,且sirua+cos2a=^，则tana的值等于（）

A五R也

A•D.C.x/2D.石

23

【答案】D

【解析】由cos2a=1-2sin2a,得到sin?a+cos2a=l-sin2a=—,

4

则sin2a=2,又a$（0,三），所以sina=3,

422

则。=三，所以tana=tan?=赤.故选。.

33

11.（2009•辽宁）己知tan0=2,则sim。+sin6cos®—2cos2。=（）

4

A--3B.-cD.

4-45

【答案】D

sin20+sin0cosO-2cos20

【解析】sin20+sinOcos0-2COS20=

sin20+cos20

tan20+tan0-24+2-24_

-------；------=--------=--故选D.

tan20+14+15

12.（2019•新课标I）tan255°=（）

A.-2-73B.-2+赤C.2-SD.2+/

【答案】D

［解析］tan255°=tan（l80P+75°）=tan750=tan（450+30°）

I3L

33+石（3+百）212+6石

tan450+tan30°+百.故选。.

==-=2

1-tan45°tan30°1_lx^r366

3

13.（2019•上海）已知tanaganP=tan（a+P）.有下列两个结论:

①存在a在第一象限，p在第三象限；②存在a在第二象限，P在第四象限;

则（）

A.①②均正确B.①②均错误C.①对②错D.①错②对

第7页（共13页）

【答案】D

【解析】由tana@an|3=tan(a+B),即为tanagan0=tana+tan£，设加=tana,n=tanp,

1-tanatanp

可得mm2+几(1-〃?)+机=0,

若相>0,可得上式关于〃的方程有两个同号的根，若为两个正根，可得〃>0,

即有机>1,考虑△=/(⑼=(1-m)2-4/舞3,f\m)=2m-2-Sm2=-8(w--)2--,

当相>1时，/(m)递减，可得(1)=-4<0,则方程无解,

。在第三象限不可能，故①错；可令tana=-

an

由tanaganP=tan(a+p),即为tanagtanp=,血。+']

1-tanatanp

.tanP--

可得一Lanp=—--1,解得tan(3=-6土病，存在。在第四象限，故②对.

31+-tanP

3

14.(2017•全国)cos20°cos250-sin20°sin25°=()

A.五B.-C.0D.-

22

【答案】A

应

【解析】因为cos20。cos250-sin200sin25。=cos(20°+25°)='.

2

故选：A.

/3兀、

cos(a------)

15.(2015•重庆)若tana=2tan三，则-------皿一=()

5sin(a-y)

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

,3兀、3兀..3冗3K.3兀

cos(cc—■—)cosacos一+sinasin—cos—+tanasin—

C兀

【解析】tana=2tan—，则-------F_1010_1010

兀,兀71.7t

5sin(a-])sinacos--cosasin-tanacos—sin一

5555

第8页(共13页)

.兀

cos把+2*sin把

371c兀,3兀

cos——+2tan—sin——

10510

C兀兀.兀

2tan—cos一—sm一

555

兀371c.兀.3兀/兀3兀、.n.3TI

cos—cos——+2sin—sin——cos(—-——)+sin—sin——

510510_510510

.71n71.71

2sin—cos--cos—sin—

5555

.兀.兀兀/兀兀、/兀兀、兀兀

713711r33i1

cos—+sin—sin—cos--—［cost—+—)-cost-------)1COS—+—COS—

1051010251051010210

~~n~1.2711.271

sin—cos一—sin——

552525

,71

3cos——3cos—3cos—

1010—10=3

~-

~2Ksin(l-_)n

sin——COS—

521010

sin2A+COS2A

16.(2019♦全国)已知tanA=2,则)

1+cos2A

35

c35

A.2-B.2-D.

【答案】B

sin2A+cos2A2sinAcosA+cos2A_2tanA+1_5

【解析】tanA=2,则

l+cos2A2cos2422

TT

17.(2019•新课标n)已知aw(0,-),2sin2a=cos2a+1,则sina=()

2

1p后C赤D2石

A・—D.I，.LJ.

5535

【答案】B

［解析］Q2sin2a=cos2a+1,.•.可得：4sinacosa=2cos2a,

Qae(0,—)»sina>0,cosa>0,cosa=2sina,

2

Qsiiva+cos2a=sin2a+(2sina"=5sin2a=1,解得：sina=f.故选：B.

18.(2018•新课标I)已知角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有

2

两点A(l〃)，3(2,毋，且cos2a=£,则1。一加=()

3

第9页（共13页）

【答案】B

【解析】Q角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合,

终边上有两点BQ,b),且cos2a=W,

3

/.cos2a=2cos2a-1=—>解得cos2a=2,.t.Icosa1=

366

爬

।,I11；.IsinaI6v5砧,出门

Itana1=1------\=\a—b1=-------------i—=.故选B.

2-1IcosaI7305

6

19.(2017•新课标III)已知sina-cosa=2,则sin2a=()

3

722

A.--B.--C.-D.1

9999

【答案】A

-4.c16

【解析】Qsina-cosa=",(sina-cosa)2=1-2sinacosa=1-•sin2a=­,

9

sin2a=--,故选A.

9

20.(2013•浙江)已知a£R,sina+2cosa=,则tan2a=()

2

433

A.-B.-C.--D.--

3443

【答案】c

【解析】由sina+2cosa=,则(sina+2cosa)2=g,即sin2a+4sinacosa+4cos2a

■俎ra"2a+4tana+45副为_.2tana

可7n得一一=一,解得tana=3.那么tan2a-------------=故选C.

2a+121-tan2i4

21.(2013•新课标H)已知sin2a=：,则cos2(a+")=()

A.1B.-C.1D.-

6323

【答案】A

7

【解析】Qsin2a=-,

3

cos2(ot+—)=-[1+cos(2a+-)J=—(1—sin2a)=-x(1——)=—.

4222236

故选A.

第10页（共13页）

22.(2012•山东)若。€亡，-],sin20=^,贝Ijsin9=()

428

【答案】D

【解析】由0e[三，-],得28e[土，n],又sin20=3C,

4228

/.cos20=-J]—si"220=

V-J8"”=-8-,

Qcos20=1-2sin20,sinG>0，

+

.n/l-cos26Ag344r、比c

sin0=j------------=\——-=—,故选D.

V2V24

23.(2012•江西)若tan。+」一=4,则sin20=()

tan。

【答案】D

2sin0cosG2tan022

【解析】sin20=2sin0cos0=

sin20+cos26tan20+1tan0+―42

tanO

24.(2012•江西)已知/(x)=sin2(x+上)，若a=/(/g5),h=f(lg~),则()

45

A.a+b=0B.a-b=0C.a+2?=1D.a-b=\

【答案】c

nl-cos(2x+1)

1+sin2x

【解析】/(x)=sin2(x)=---

+z2

又a=〃/g5),b=f%=〃Tg5)，

,l+sin2/g51-sin21g51.1+sin2/^51-sin2/^5.〜厂

:.a+b=-----------+-----------=1,a-b=----------2-----------------=sin21g5

2222

故c选项正确

二.填空题(共6小题)

25.(2019•新课标I)函数f(x)=sin(2x+万)-3cosx的最小值为.

【答案】-4

【解析】Q/(x)=sin(2x+—)-3cosx=-cos2x-3cosx=-2cos2x-3cosx+1,

第H页（共13页）

令/二COSX,则一啜1}1,

令g⑺=-2f2-3f+l的开口向下，对称轴f=-±,在［-1,1］上先增后减,

4

故当"1即cosx=l时,函数有最小值T.

26.（2019•江苏）已知，㊀皿兀=二,则sin（2a+土）的值是,

tan（a+—）?

4

【答案】&

10

［解析］由tana冗24stana2

-»得------------=一

3汽3

tan（a+-）tana+tan-

4

1-tanatan—

4

tana(l-tana)=_2)解得fan。=2或tana

1+