浅析：代数、几何方法论及数学三大核心领域

浅析：代数、几何方法论及数学三大核心领域

我们经常听人说小孩子在中学阶段把握代数是如何如何重要，但是代数究竟是什么，她又是否真如人们声称的那样重要？为什么这么多人觉得代数很难学？

要回答这些问题可比回答一道常见的代数习题要简单些，令人惊讶的是，几乎没有人能给出满足的答案。

首先，代数并不是“字母的算术”(Aria:其实译者在中学就是这么认为的)。在最基本的层面上，算术和代数是思索数的问题的两种不同的方式。(我必需强调这篇文章中我关注的是中学校的算术和代数，数学家通常用这两个术语来表示某些更一般的概念。)

让我们从算术说起。她原来指的是用加减乘除四则运算来计算各种数值问题，是数学中最古老的部分，起源于大约一万年前的苏美尔(也许就是今日的伊拉克)。苏美尔社会已经达到了用钱衡量财宝和进行商品交易的阶段。其他的货币象征最终让路给了黏土片上抽象的划刻(现在我们认为这是最早的数字)。时间消逝，这些符号渐渐获得了她们自身的意义：数。换句话说，数字起初是以钱的形式产生的，算术则是一种货币贸易的方式。

今日简洁介绍一下三大方法论大致是个什么“取向”，给对数学有爱好的初学者一点感觉，分别是代数、分析、几何”三大块以及数学三大核心领域：

01.算术

算术有两种含义，一种是从中国传下来的，相当于一般所说的“数学”，如《九章算术》等。另一种是从欧洲数学翻译过来的，源自希腊语，有“计算技术”之意。现在一般所说的“算术”，往往指自然数的四则运算；假如是在高等数学中，则有“数论”的含义。作为现代学校课程内容的算术，主要讲的是自然数、正分数以及它们的四则运算，并通过由计数和度量而引起的一些最简洁的应用题加以巩固。

02.初等代数

作为中学数学课程主要内容的初等代数，其中心内容是方程理论。代数一词的拉丁文原意是“归位”。代数方程理论在初等代数中是由一元一次方程向两个方面扩展的：其一是增加未知数的个数，考察由有几个未知数的若干个方程所构成的二元或三元方程组(主要是一次方程组)；其二是增高未知量的次数，考察一元二次方程或准二次方程。初等代数的主要内容在16世纪便已基本上进展完备了。

03.高等代数

在高等代数中，一次方程组（即线性方程组）进展成为线性代数理论；而—、二次方程进展成为多项式理论。前者是向量空间、线性变换、型论、不变量论和张量代数等内容的一门近世代数分支学科，而后者是讨论只含有一个未知量的任意次方程的一门近世代数分支学科。作为高校课程的高等代数，只讨论它们的基础。

1683年关孝和(日本人)最早引入行列式概念。关于行列式理论最系统的论述，则是雅可比1841年的《论行列式的形成与性质》一书。在规律上，矩阵的概念先于行列式的概念；而在历史上，次序正相反。凯雷在1855年引入了矩阵的概念，在1858年发表了关于这个课题的第一篇重要文章《矩阵论的讨论报告》。

19世纪，行列式和矩阵受到人们极大的关注，消失了千余篇关于这两个课题的文章。但是，它们在数学上并不是大的改革，而是速记的一种表达式。不过已经证明它们是高度有用的工具。

多项式代数的讨论始于对3、4次方程求根公式的探究。1515年，菲洛解决了被简化为缺2次项的3次方程的求解问题。1540年，费尔拉里胜利地发觉了一般4次方程的代数解法。人们连续寻求5次、6次或更高次方程的求根公式，但这些努力在200多年中付诸东流。

04.数论

以正整数作为讨论对象的数论，可以看作是算术的一部分，但它不是以运算的观点，而是以数的结构的观点，即一个数可用性质较简洁的其它数来表达的观点来讨论数的。因此可以说，数论是讨论由整数按肯定形式构成的数系的科学。

05.代数：以线性代数、抽象代数为基础，讨论各种代数结构，比如最常见的群环模域线性空间，李代数，以及不那么常见的高阶同伦代数（homotopyalgebra）等等。代数的一个基本特征是对称性。一般来说，某个数学对象（比如说拓扑空间）假如具备某种代数结构（比如拓扑空间上面有同调群），那我们就可以利用这种代数结构的已知结果，来反过来讨论、“探测”那个数学对象。这是代数影响其他数学分支的一个基本模式。

分析：以广义的微积分（比照实分析复分析调和分析等等）、微分方程理论、泛函分析等为讨论工具，对函数、方程等“可以求导”的东西进行精细的分析（比如不等式估量等等），的一种方法论。分析大致可以分为软分析和硬分析。个人的观点是，软分析有点像定性的分析，比如泛函分析里各种结论，比如一个函数空间紧嵌入到另一个函数里，不需要知道究竟怎么嵌入的，就可以依据紧性推导出一些结论。而硬分析则有点像定量的分析：每个常数，跟哪些量有关，详细是怎么个相关法（多项式依靠？指数依靠）？这些常数详细是多少，能不能做到最优，最优常数是多少？用一列东西去靠近一个东西，误差项也许有多大？误差项是什么阶数（多项式（几次多项式？）？多项式乘以对数？）？能不能把bound放大或者缩小，直至最优？

06.几何：主要关注几何对象与拓扑对象。几何与拓扑的区分在于，拓扑比几何更“软”，更flexible，几何是在拓扑空间上加额外的结构（度量结构、复结构、辛结构，或者这种结构的“组合结构”，比如Kahler结构，等等）。拓扑关注的一个重要对象是拓扑不变量，比犹如调上同调、同伦群、K理论等等。几何可极粗略地分为微分几何与代数几何——微分几何主要关怀曲率等，代数几何主要关注代数簇、scheme等等。

三大方法论不是完全分割的，相互之间互有联系，下面举一些例子来说明：分析里面的代数：有些人可能觉得分析就是搞搞不等式估量、求求导积个分什么的，用不到多少代数。其实也不肯定。PDE许多时候都有对称性，这些对称性许多时候能简化问题。（李当时创造李代数的目的可是拿来解微分方程的，他想用李代数来刻画方程内在的infinitesimalsymmetry）。调和分析自然地和表示论有联系。另外再说一件事。我在本系听deformationtheoryseminar的时候，有个人讲到PDE里面蕴含了一些homotopyalgebra的结构，然后他做了一些对这种代数结构的讨论。目前有价值的PDE基本都来自于“大自然”，比如来自物理或者来自几何。这些被大自然选择出来的方程，里面可能本身就蕴含了一些内在的结构，使得他们相对于人类任凭乱写的一个方程更简单处理。

几何里面的代数：

代数几何当然和代数有深刻的联系。这方面就举一个例子，Kodairaembeddingtheorem.Kodairaembedding是从Kodairavanishing推出来的，Kodairavanishing是说positivelinebundle做某种twist以后的高阶上同调全部为0，算是一个代数结论。Kodairaembedding是说对紧Kahler流形，positivelinebundle和amplelinebundle是一回事，而amplelinebundle能把这个流形嵌入到某个CP^N里面，算是一个几何结论。这就是一个“同调代数应用于几何学”的例子。另外,Kodairavanishing的最初证明好像也是分析的，可以用Atiyah-Singer指标来推，用到了椭圆正则性的一些东西。

07.代数里面的几何：纯代数里面许多东西都可以翻译成代数几何的语言。比