人教版九年级数学上册教案(全册)

二次根式aa（≥）．abababaabbaab（≥，>），b2·二次根式aa（≥）．abababaabbaab（≥，>），b2·；a（≥，>）．

第二十一章

教材内容

．本单元教学的主要内容：

二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根

式．

．本单元在教材中的地位和作用：

二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八

章《勾股定理与其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学

习其他数学知识的基础．

教学目标

．知识与技能

（）理解二次根式的概念．

（）理解（≥）是一个非负数，（）（≥），

（）掌握·＝（≥，≥），

ab

（）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．

．过程与方法

-1-/361

a（≥）的内涵．a（≥）是一个非负数；（a（≥）•与其运用．a（≥）的内涵．a（≥）是一个非负数；（a（≥）•与其运用．

念．•再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结

论进行二次根式的计算和化简．

（）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）

法规定，•并运用规定进行计算．

（）利用逆向思维，•得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并

运用它进行化简．

（）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，•给出

最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式

进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的．

．情感、态度与价值观

通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科

学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学

生观察、分析、发现问题的能力．

教学重点

．二次根式）＝（≥）；

a2

．二次根式乘除法的规定与其运用．

．最简二次根式的概念．

-2-/361

a二次根式二次根式的乘法二次根式的加减课时二次根式a课时课时课时）＝（≥）与a2

．二次根式的加减运算．a二次根式二次根式的乘法二次根式的加减课时二次根式a课时课时课时）＝（≥）与a2

教学难点

．对（≥）是一个非负数的理解；对等式（

（≥）的理解与应用．

．二次根式的乘法、除法的条件限制．

．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．

教学关键

．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破

难点．

．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，•

培养学生一丝不苟的科学精神．

单元课时划分

本单元教学时间约需课时，具体分配如下：

．

．

．

教学活动、习题课、小结

．

-3-/361

aaa3C

第一课时aaa3C

教学内容

二次根式的概念与其运用

教学目标

理解二次根式的概念，并利用（≥）的意义解答具体题目．

提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．

教学重难点关键

．重点：形如（≥）的式子叫做二次根式的概念；

．难点与关键：利用“（≥）”解决具体问题．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：

问题：已知反比例函数，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相x等的点的坐标是．

问题：如图，在直角三角形中，，，∠°，那么边的长是．

A

B

-4-/361

3331046310、aa2、1

（>）、、、、、（≥，•≥）．，.46”称为二次根号．3

43331046310、aa2、1

（>）、、、、、（≥，•≥）．，.46”称为二次根号．3

4x

方差是，那么．

老师点评：

问题：横、纵坐标相等，即，所以．因为点在第一象限，所以

所以所求点的坐标（，）．

问题：由勾股定理得

问题：由方差的概念得

二、探索新知

很明显、，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正

数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们

把形如（≥）•的式子叫做二次根式，“

（学生活动）议一议：

．有算术平方根吗？

．的算术平方根是多少？

．当<，有意义吗？

老师点评:（略）

例．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、3、

x022xy

-5-/361

”；第二，2x02xy34

3x13x13x12x3

2x32x3

1333”；第二，2x02xy34

3x13x13x12x3

2x32x3

133321x11x12x、、．31x1x1在实数范围内有意义．

被开方数是正数或．

解：二次根式有：、（>）、、、（≥，≥）；不

是二次根式的有：、

例．当是多少时，在实数范围内有意义？

分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于，所以

≥，•才能有意义．

解：由≥，得：≥13当≥1时，在实数范围内有意义．3三、巩固练习

教材练习、、．

四、应用拓展

例．当是多少时，在实数范围内有意义？

分析：要使在实数范围内有意义，必须同时满足中

的≥和中的≠．x1解：依题意，得

由①得：≥2由②得：≠

当≥且≠时，2

-6-/361

2xa1b1a）7）4168）．x225”称为二次根号．．x5，求的值．(答案)y3．15x7．以上皆不对．x．

例()已知2xa1b1a）7）4168）．x225”称为二次根号．．x5，求的值．(答案)y3．15x7．以上皆不对．x．

()若，求的值．(答案:)

五、归纳小结（学生活动，老师点评）

本节课要掌握：

．形如（≥）的式子叫做二次根式，“

．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．

六、布置作业

．教材复习巩固、综合应用．

．选用课时作业设计．

.课后作业:《同步训练》

第一课时作业设计

一、选择题

．下列式子中，是二次根式的是（

．

．下列式子中，不是二次根式的是（

．．．．1

．已知一个正方形的面积是，那么它的边长是（

．

-7-/361

3x(x．a．a53x35)2．5．．有意义，则．有意义的未知数有（）个．．无数10ax2a．没有2，求、的值．

二、填空题3x(x．a．a53x35)2．5．．有意义，则．有意义的未知数有（）个．．无数10ax2a．没有2，求、的值．

．形如的式子叫做二次根式．

．面积为的正方形的边长为．

．负数平方根．

三、综合提高题

．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按

设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？

．当是多少时，在实数范围内有意义？

．若

使式子

．

.已知、为实数，且

第一课时作业设计答案:

一、．

二、．（≥）

三、．设底面边长为，则，解答：．

．依题意得：，

∴当>且≠时，＋在实数范围内没有意义．2

-8-/361

aaaaaaaaaa

.1aaaaaaaaaa3．

．，

二次根式()

第二课时

教学内容

．（≥）是一个非负数；

．（）（≥）．

教学目标

理解（≥）是一个非负数和（）（≥），并利用它们进行计算

和化简．

通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出（≥）是一个

非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（）（≥）；最后运用

结论严谨解题．

教学重难点关键

．重点：（≥）是一个非负数；（）（≥）与其运用．

．难点、关键：用分类思想的方法导出（≥）是一个非负数；•

用探究的方法导出（）（≥）．

-9-/361

aa（≥）是一个什么数呢？（≥）是一个非负数．4293173244429300173aa（≥）是一个什么数呢？（≥）是一个非负数．4293173244429300173322

一、复习引入

（学生活动）口答

．什么叫二次根式？

．当≥时，叫什么？当<时，有意义吗？

老师点评（略）．

二、探究新知

议一议：（学生分组讨论，提问解答）

a

老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出

a

做一做：根据算术平方根的意义填空：

（）；（）；（）；（）；

（）；（）；（）．

老师点评：是的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一

个平方等于的非负数，因此有（）．

同理可得：（），（），（），（）1，（）7，（），所

以

-10-/361

a计算32a3322557662185)2计算x14xa．（）55（）(5．（25233)2a12x9．（）（）42）569）．a计算32a3322557662185)2计算x14xa．（）55（）(5．（25233)2a12x9．（）（）42）569）．（）2（）．（70a（）2782a1）

例

．（）

分析：我们可以直接利用（）（≥）的结论解题．

解：（），（）·（）·，

（），（）．

三、巩固练习

计算下列各式的值：

（）

(3

四、应用拓展

例

．（）（≥）

．（

分析：（）因为≥，所以>；（）≥；（）2a（）≥；

（）（）··（）≥．

所以上面的题都可以运用（）（≥）的重要结论解题．

-11-/361

x1aa4x（）aaa复习巩固．（）、（）222()．）2a112xx1aa4x（）aaa复习巩固．（）、（）222()．）2a112x92a）

（）

（）∵≥，∴（

（）∵2a（）

又∵（）≥，∴2a≥，∴

（）∵（）··（）

又∵（）≥

∴≥，∴（

例在实数范围内分解下列因式:

（）

分析：(略)

五、归纳小结

本节课应掌握：

．（≥）是一个非负数；

．（）（≥）;反之（）（≥）．

六、布置作业

．教材

．选用课时作业设计．

.课后作业:《同步训练》

-12-/361

153a、）．．．≥3x19(23（）xy1b1a．．<（）（）32)(2332)（）1（）（≥）

x3，求的值．153a、）．．．≥3x19(23（）xy1b1a．．<（）（）32)(2332)（）1（）（≥）

x3，求的值．22．．3b2m（）（12、62）20（）（、23144），二

一、选择题

．下列各式中、、

次根式的个数是（

．

．数没有算术平方根，则的取值范围是（）．

．>

二、填空题

．（）．

．已知有意义，那么是一个数．

三、综合提高题

．计算

（）（）

()

．把下列非负数写成一个数的平方的形式:

（）6．已知

．在实数范围内分解下列因式:

-13-/361

（）．．非负数922335112233（）（）()（）（）（）（）（≥）33.4x（）（216）1（）．．非负数922335112233（）（）()（）（）（）（）（≥）33.4x（）（216）1×423

第二课时作业设计答案:

一、．

二、．

三、．（）（）

（）（）×

．（）（）

（）（）66

．

.（）（）（）

（）（）（）（）（）（）

()略

以上已经编排

二次根式()

第三课时

-14-/361

＝（≥）aaaaaaaa22222（≥）并利用它进行计算和化简．（≥），并利用这个结论解决具体问＝（≥）．＝才成立．是否也成立呢？下面我们就来探究这个

教学内容＝（≥）aaaaaaaa22222（≥）并利用它进行计算和化简．（≥），并利用这个结论解决具体问＝（≥）．＝才成立．是否也成立呢？下面我们就来探究这个

a2

教学目标

理解

通过具体数据的解答，探究

题．

教学重难点关键

．重点：

．难点：探究结论．

．关键：讲清≥时，

教学过程

一、复习引入

老师口述并板收上两节课的重要内容；

．形如（≥）的式子叫做二次根式；

．（≥）是一个非负数；

．()＝（≥）．

那么，我们猜想当≥时，

问题．

二、探究新知

-15-/361

；；；0；；；

a化简9a925填空：当≥时，aa2222

2（）23252aa22；．1231037（≥）(4)（≥）•去化简．（）（）22，则可以是什么数？，则可以是什么数？；；．2(4)(3)；当<时，，•并根据这一性质回答下列（）2225；；；0；；；

a化简9a925填空：当≥时，aa2222

2（）23252aa22；．1231037（≥）(4)（≥）•去化简．（）（）22，则可以是什么数？，则可以是什么数？；；．2(4)(3)；当<时，，•并根据这一性质回答下列（）22254232（）(3)2

220.01

；

（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：

220.010

因此，一般地：

例

（）

分析：因为（），（）（），（），

（）（），所以都可运用

解：（）

（）

三、巩固练习

教材练习．

四、应用拓展

例

问题．

（）若

（）若

-16-/361

aa）2”中的数是正数，因为，当≤时，aaaa2aaa(xaa22a222，要使>，即使>所以不存在；当<时，，22)222>，则可以是什么数？（≥），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空2││，而││要大于，只有什么时候才能保证呢？，所以≥；，所以≤；22>，即使>，<综上，<(12x)2（≥）与其运用，同时理解当<时aa）2”中的数是正数，因为，当≤时，aaaa2aaa(xaa22a222，要使>，即使>所以不存在；当<时，，22)222>，则可以是什么数？（≥），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空2││，而││要大于，只有什么时候才能保证呢？，所以≥；，所以≤；22>，即使>，<综上，<(12x)2（≥）与其运用，同时理解当<时，＝－的(．a)2，

分析：∵

格就不行，应变形，使“（

那么≥．

（）根据结论求条件；（）根据第二个填空的分析，逆向思想；（）

根据（）、（）可知

<．

解：（）因为

（）因为

（）因为当≥时

要使

例当>，化简

分析：(略)

五、归纳小结

本节课应掌握：

应用拓展．

六、布置作业

．教材习题．、、、．

．选作课时作业设计．

-17-/361

）．22

a(a)2a）．aa(a)2a0.000420m12aa(1a(1aa22222)2)22000、、，比较它们的结果，下面四个选项中正(<<的值，甲乙两人的解答如下：（）；（）2a．，求的值．a)2a2≥．>2aa）．22

a(a)2a）．aa(a)2a0.000420m12aa(1a(1aa22222)2)22000、、，比较它们的结果，下面四个选项中正(<<的值，甲乙两人的解答如下：（）；（）2a．，求的值．a)2a2≥．>2aa．>>2a(a)2a22(2a)2

第三课时作业设计

一、选择题

．的值是（

．．．．以上都不对33．≥时，

确的是（

．

．

二、填空题

．．

．若是一个正整数，则正整数的最小值是．

三、综合提高题

．先化简再求值：当时，求

甲的解答为：原式

乙的解答为：原式

两种解答中，的解答是错误的，错误的原因是．

．若││

（提示：先由≥，判断•的值是正数还是负数，去掉绝对值）

-18-/361

(x．．甲没有先判定是正数还是负数a·＝（≥，≥），反之ababab3)22000aababx2，·（≥，≥）与其运用．·(x．．甲没有先判定是正数还是负数a·＝（≥，≥），反之ababab3)22000aababx2，·（≥，≥）与其运用．·（≥，≥），并利用它10x200025，，。

答案:

一、．

二、．．

三、．甲

．由已知得••≥，••≥

所以

所以．

.

．二次根式的乘除

第一课时

教学内容

ababab

教学目标

理解·＝（≥，≥），

们进行计算和化简

-19-/361

abab（≥，≥）并运用它进abababababababa234949162516251003610036×ababb23491625·（≥，≥）并运用它进行解·（≥，≥）与它们，如×．，abab（≥，≥）并运用它进abababababababa234949162516251003610036×ababb23491625·（≥，≥）并运用它进行解·（≥，≥）与它们，如×．，×(2)(3)16251003610036(2)(3)，×或

行计算；•利用逆向思维，得出

题和化简．

教学重难点关键

重点：·＝（≥，≥），

的运用．

难点：发现规律，导出·＝（≥，≥）．

关键：要讲清（<<）

(2)(3)

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下列各题．

．填空

（）×，；

（）×，．

（）×，．

参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．

49

．利用计算器计算填空

-20-/361

2356710·＝．（≥，≥）ab57abab5713927625304570ab（）×359927，（）×，（）×．·（≥，≥）13392310，2093，（）2356710·＝．（≥，≥）ab57abab5713927625304570ab（）×359927，（）×，（）×．·（≥，≥）13392310，2093，（）×927（）×126

（）×

（）×

老师点评（纠正学生练习中的错误）

二、探索新知

（学生活动）让、个同学上台总结规律．

老师点评：（）被开方数都是正数；

（）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根

式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．

一般地，对二次根式的乘法规定为

abab

反过来:

例．计算

（）×

分析：直接利用·＝（≥，≥）计算即可．

解：（）×

（）×

（）×

-21-/361

12化简9169xyab916168116×81×811009xy541682018(4)(9)46（）2ab91681×100296×;;9316812·（≥，≥）直接化简即可．×××2326②×24（）（）32xy×610;8110054×6③·5425a12化简9169xyab916168116×81×811009xy541682018(4)(9)46（）2ab91681×100296×;;9316812·（≥，≥）直接化简即可．×××2326②×24（）（）32xy×610;8110054×6③·5425a;212a2b232xy××22

例

（）

（）

分析：利用

解：（）

（）

（）

（）

（）

三、巩固练习

（）计算（学生练习，老师点评）

①

()化简:

教材练习全部

四、应用拓展

例．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：

（）

-22-/361

2525(4)(9)2525ababab，，，．（）（）．1512）．2122549491121677ab．3c1225＝××＝·2525(4)(9)2525ababab，，，．（）（）．1512）．2122549491121677ab．3c1225＝××＝·（≥，3×．9cm25．27cm123

解：（）不正确．

改正：

（）不正确．

改正：××

五、归纳小结

本节课应掌握：（）·＝（≥，≥），

≥）与其运用．

六、布置作业

．课本

．选用课时作业设计．

.课后作业:《同步训练》

第一课时作业设计

一、选择题

．若直角三角形两条直角边的边长分别为和，•那么此直角

三角形斜边长是（

．3c

-23-/361

）．x．≥）．553210141（为重力加速度，它的值为2323a1．≤≤5522．x1．≥或≤．×．××ax21323223．成立的条件是（56）a．a

．化简的结果是（）．x．≥）．553210141（为重力加速度，它的值为2323a1．≤≤5522．x1．≥或≤．×．××ax21323223．成立的条件是（56）a．a

．

．等式

．≥

．下列各等式成立的是（

．×

．×

二、填空题

．．

．自由落体的公式为10m），若物体下2落的高度为720m，则下落的时间是．

三、综合提高题

．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部

分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容

器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？

．探究过程：观察下列各式与其验证过程．

（）

验证：

-24-/361

38383．6222(221)22122132．．a3aa21×3(3238383．6222(221)22122132．．a3aa21×3(321)321aa2222138.13383321221

（）

验证：

3(321)321

同理可得：

，……

通过上述探究你能猜测出：（>）,并验证你的结论．

答案:

一、．

二、．

三、．设：底面正方形铁桶的底面边长为，

则×××，××，

3030×2

．

验证：

a3aaa21

-25-/361

aabbabbab（≥，>），反过来baabaaa（≥，>）和（≥，>），（≥，>）与利用它们进行计算和aab（≥，>）与利用它们进行运算．（≥，>）与利用它们进行b

．二次根式的乘除aabbabbab（≥，>），反过来baabaaa（≥，>）和（≥，>），（≥，>）与利用它们进行计算和aab（≥，>）与利用它们进行运算．（≥，>）与利用它们进行b

第二课时

教学内容

ab

化简．

教学目标

理解b

利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，

并用逆向思维写出逆向等式与利用它们进行计算和化简．

教学重难点关键

．重点：理解b

计算和化简．

．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．

教学过程

一、复习引入

-26-/361

99161636443636819163681322734，；，；91636．3231616；；1636223；16；54162754；8；78。

（学生活动）请同学们完成下列各题：99161636443636819163681322734，；，；91636．3231616；；1636223；16；54162754；8；78。

．写出二次根式的乘法规定与逆向等式．

．填空

（）16

（），；36

（）16

（），．81

规律：16

3681

．利用计算器计算填空:

（），（），（），（）．4358

规律：4

每组推荐一名学生上台阐述运算结果．

（老师点评）

二、探索新知

-27-/361

abab128ab123324648364（≥，>），ab（）a1264（）（≥，>）（）（≥，>）便可直接得出答案．4188（）（）2（）643283433×

刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大abab128ab123324648364（≥，>），ab（）a1264（）（≥，>）（）（≥，>）便可直接得出答案．4188（）（）2（）643283433×

家的练习和回答，我们可以得到：

一般地，对二次根式的除法规定：

ab

反过来，

下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．

例．计算：（）3

分析：上面小题利用b

解：（）3

（）

（）

（）8

例．化简：

（）

-28-/361

ab364练习．ababab（≥，>）就可以达到化简之目的．，只有≥，>时才能成立．

分析：直接利用ab364练习．ababab（≥，>）就可以达到化简之目的．，只有≥，>时才能成立．

解：（）

（）

（）

（）

三、巩固练习

教材

四、应用拓展

例．已知，且为偶数，求（）的值．

分析：式子

因此得到≥且>，即<≤，又因为为偶数，所以．

解：由题意得，即

∴<≤

∵为偶数

∴

∴原式（）

（）

-29-/361

(1x)(x49abb习题．）．22．4)aab、、、．5）．．1（≥，>）和．6a27．（≥，>）与其运用．．62．72

（）(1x)(x49abb习题．）．22．4)aab、、、．5）．．1（≥，>）和．6a27．（≥，>）与其运用．．62．72

∴当时，原式的值．

五、归纳小结

本节课要掌握b

六、布置作业

．教材

．选用课时作业设计．

.课后作业:《同步训练》

第二课时作业设计

一、选择题

．计算的结果是（

．7

．阅读下列运算过程：

，

数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，

化简的结果是（6

．3

-30-/361

1125yz315．331533153;();()xy15（），10的最后结果是．.

二、填空题1125yz315．331533153;();()xy15（），10的最后结果是．.

．分母有理化:()3212

．已知，，，那么

三、综合提高题

．有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为：，•

现用直径为3c的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染

的最大截面积是多少？

．计算

（）·（）÷（>，>）

（）÷（）×（>）

答案:

一、．

二、．();();()66

．3

三、．设：矩形房梁的宽为（），则长为，依题意，

得：（）（），

×，2

-31-/361

·n3m23(mn)(mn)13543nma2a2mnmn（）．·n3m23(mn)(mn)13543nma2a2mnmn（）．nmn6

．（）原式＝÷

nm

（）原式2a2

二次根式的乘除()

第三课时

教学内容

最简二次根式的概念与利用最简二次根式的概念进行二次根式的化

简运算．

教学目标

理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最

简二次根式．

通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的

特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．

重难点关键

-32-/361

3322a358153227，362a，a82a

3322a358153227，362a，a82a

．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）

．计算（），（），（）527

老师点评：5

．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是

1km，2km，•那么它们的传播半径的比是．它们的比是．

二、探索新知

观察上面计算题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如

下两个特点：

．被开方数不含分母；

．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．

那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最

简二次根式．

-33-/361

x2yC2.5练习、422121x4y8xy62222(52)2，x2yC2.5练习、422121x4y8xy62222(52)2，;()36316941694132（）

老师点评：不是．

.

例．();()

例．如图，在△中，∠°，2.5cm，6cm，求的长．

A

B

解：因为

所以

因此的长为6.5cm．

三、巩固练习

教材

四、应用拓展

例．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最

简二次根式：

1(21)(21)(21)

-34-/361

2)42002220022002习题．x3，……3、、．）．3322243320022……，2001）×（2002）

1(32)2)42002220022002习题．x3，……3、、．）．3322243320022……，2001）×（2002）(32)(3

同理可得：

从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算

（……）（）的值．

分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，

分母有理化后就可以达到化简的目的．

解：原式（

（）（）

五、归纳小结

本节课应掌握：最简二次根式的概念与其运用．

六、布置作业

．教材

．选用课时作业设计．

.课后作业:《同步训练》

第三课时作业设计

一、选择题

．如果（>）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（y

-35-/361

x）．a）53ab）23xa3aa

xy．（>）1154．34a3·（）xyxy．．b2x2y，阅读下面的解答过程，请判断是否正1a的值．．（>）y1a1122．．2axy．±x36．（≥）．以上都不a2x2．1x12．x）．a）53ab）23xa3aa

xy．（>）1154．34a3·（）xyxy．．b2x2y，阅读下面的解答过程，请判断是否正1a的值．．（>）y1a1122．．2axy．±x36．（≥）．以上都不a2x2．1x12．1ay

对

．把（）中根号外的（）移入根号内得（

．

．在下列各式中，化简正确的是（

．

．

．化简的结果是（

．3

二、填空题

．化简

．化简二次根式号后的结果是．

三、综合提高题

．已知为实数，化简：

确？若不正确，•请写出正确的解答过程：

解：

．若、为实数，且，求

-36-/361

．xaa2aa

1x2···ayy222x．ya1ax2ay．xaa2aa

1x2···ayy222x．ya1ax2ay2a4()116a634.

一、．

二、．

三、．不正确，正确解答：

因为，所以<，

原式＝

．∵∴，∴±，但∵≠，∴，4

∴

二次根式的加减()

第一课时

教学内容

二次根式的加减

教学目标

理解和掌握二次根式加减的方法．

先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减

的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简．

-37-/361

2722288727（）88（）972（）8（）8832832

重难点关键2722288727（）88（）972（）8（）8832832

．重点：二次根式化简为最简根式．

．难点关键：会判定是否是最简二次根式．

教学过程

一、复习引入

学生活动：计算下列各式．

（）；（）；（）；（）3a-2a

教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合

并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．

二、探索新知

学生活动：计算下列各式．

（）

（）

老师点评：

（）如果我们把当成，不就转化为上面的问题吗？

2

（）把当成；

8

（）把当成；

-38-/361

7732332282278816x9772283181864x7（）23（）2x72316x22xx264x（）（）2x

77732332282278816x9772283181864x7（）23（）2x72316x22xx264x（）（）2x

7

（）看为，看为．

3

（）

3

因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如与表面上看

是不相同的，但它们可以合并吗？可以的．

（板书）

3

所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再

将被开方数相同的二次根式进行合并．

例．计算

（）

分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二

步，将相同的最简二次根式进行合并．

解：（）

（）

例．计算

-39-/361

484848485练习、．x1

31x

31320121320123yx1x12）（123）（5）的值．yx535483）33）5（）203125

（）484848485练习、．x1

31x

31320121320123yx1x12）（123）（5）的值．yx535483）33）5（）203125

（）（

解：（）

（）（

3

三、巩固练习

教材

四、应用拓展

例．已知，求（）（yx

分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（）

（），即，．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次2根式，•再合并同类二次根式，最后代入求值．

解：∵

∵

∴（）（）

∴1，2

原式y

-40-/361

xyxy12习题．12；③273）．．②和③3x34、、、．2．①和④3xy22．③和④；②7623172；③682；④2432，其

xxyxy12习题．12；③273）．．②和③3x34、、、．2．①和④3xy22．③和④；②7623172；③682；④2432，其

x

当1，时，2

原式1×22

五、归纳小结

本节课应掌握：（）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（）

相同的最简二次根式进行合并．

六、布置作业

．教材

．选作课时作业设计．

.课后作业:《同步训练》

第一课时作业设计

一、选择题

．以下二次根式：①；②；④中，与是同类

二次根式的是（

．①和②

．下列各式：①

-41-/361

）．．个81250.23aa580yxxy．．5

xyxyxy39．个18b1336xyb3455xyxyxy2．个a4155），其中a5）（3-4-6），b）．．个81250.23aa580yxxy．．5

xyxyxy39．个18b1336xyb3455xyxyxy2．个a4155），其中a5）（3-4-6），b32555的最后结果是．，．121555≈1×≈

．个

二、填空题

．在、、、、、、中，与是同类二次根式的有．

．计算二次根式

三、综合提高题

．已知≈，求（）（）的值．（结果精确到）

．先化简，再求值．

（）（

答案:

一、．

二、．

三、．原式

．原式（

当，时，原式22

-42-/361

二次根式的加减()

第二课时

教学内容

利用二次根式化简的数学思想解应用题．

教学目标

运用二次根式、化简解应用题．

通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合

并后解应用题．

重难点关键

讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键

点．

教学过程

一、复习引入

上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两

个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开

方数相同的二次根式进行合并，下面我们讲三道例题以做巩固．

二、探索新知

例．如图所示的△中，∠°，点从点开始沿边以厘米•秒的速度向点

移动；同时，点也从点开始沿边以厘米秒的速度向点移动．问：几秒后

-43-/361

P135BQ2357Bx24x25x2535P135BQ2357Bx24x25x25357

C

Q

A

分析：设秒后△的面积为平方厘米，那么，，•根据三角形面积公式

就可以求出的值．

解：设后△的面积为平方厘米．

则有，

依题意，得：·2

35

所以秒后△的面积为平方厘米．

PB2

答：秒后△的面积为平方厘米，的距离为厘米．

例．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？

分析：此框架是由、、、组成，所以要求钢架的钢材，•只需知道这四

段的长度．

-44-/361

BD2CD25练习4a2ab422213b2ab2222与根式bBD2CD25练习4a2ab422213b2ab2222与根式b320526b25b3不是最简二次根式，因此把6b2是同类二次根式，

AD2

BD2

所需钢材长度为

5

5

≈×≈（）

答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m的钢材．

三、巩固练习

教材

四、应用拓展

例．若最简根式3ab

求、的值．（•同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）

分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开

方数相同；•事实上，根式

-45-/361

ab2b2abab2习题．）．（•结果用最简二次根式）232b3．．6b22ab6b36b250ab2b2abab2习题．）．（•结果用最简二次根式）232b3．．6b22ab6b36b250化简成·，才由同类二次根式的定义得3a••，6b2b2(2a16)2ab．化为最简二次根式：·56．以上都不对

2a4a．

解：首先把根式

2

由题意得

∴

∴，

五、归纳小结

本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题．

六、布置作业

．教材

．选用课时作业设计．

.课后作业:《同步训练》

作业设计

一、选择题

．已知直角三角形的两条直角边的长分别为和，那么斜边的长应为

（

．

．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，

-46-/361

4234a．23224234理由：两边平方得±±122b．(2(312bmn吗？m21)21)2423n234234a．23224234理由：两边平方得±±122b．(2(312bmn吗？m21)21)2423n23(3，则、与、的关系是什么？并说明理由．1)23

（）你会算

（）若

答案:

一、．

二、．

三、．依题意，得，，

所以或或或

．（）

（）

（）

（）

所以

-48-/361

（）（）÷

二次根式的加减()（）（）÷

第三课时

教学内容

含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、

相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用．

教学目标

含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公

式的应用．

复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、

乘方等运算．

重难点关键

重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；

难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．

教学过程

一、复习引入

学生活动：请同学们完成下列各题:

．计算

（）（）·

．计算

-49-/361

（）（）（）66246328383222）×）×6）÷（）（63626×÷228322）÷×÷

（）（）（）（）（）（）66246328383222）×）×6）÷（）（63626×÷228322）÷×÷

老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（）

•单项式×单项式；（）单项式×多项式；（）多项式÷单项式；（）完全

平方公式；（）平方差公式的运用．

二、探索新知

如果把上面的、、改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立

呢？•仍成立．

整式运算中的、、是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一

切，•当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次

根式．

例．计算:

（）（

分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直

接可用整式的运算规律．

解：（）（

18

解：（

3

例．计算

-50-/361

5555（）10xbx(x1x)2x)(x1x)(x1x(x（）（7101(x1x)2x)1)10）（xxx(x7107105555（）10xbx(x1x)2x)(x1x)(x1x(x（）（7101(x1x)2x)1)10）（xxx(x7107107）（1)）（）（）（）17x）），因此对代数式的化简，可先

分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公

式运算中仍然成立．

解：（）（）（）

555

5

（）（

三、巩固练习

课本练习、．

四、应用拓展

例．已知，其中、是实数，且≠，a化简，并求值．

分析：由于（

将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到的值，代入

化简得结果即可．

解：原式(x1x)(x1

（）

-51-/361

xb习题．2420、、．15323023．）×的值是（30223）．3

∵xb习题．2420、、．15323023．）×的值是（30223）．3a∴（）（）

∴

∴（）

∴（）（）

∵≠

∴

∴原式（）

五、归纳小结

本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．

六、布置作业

．教材

．选用课时作业设计．

.课后作业:《同步训练》

作业设计

一、选择题

．（

．3

-52-/361

30

x．3333222514）．2x2y23x1）（x．715．与3x1）的值是（．21．）．203330

．30

x．3333222514）．2x2y23x1）（x．715．与3x1）的值是（．21．）．203330

．计算（

．

二、填空题

．（1）的计算结果（用最简根式表示）是．22

．（）（）（）的计算结果（用最简二次根式表示）是．

．若，则．

．已知，，则．

三、综合提高题

．化简10

．当时，求的值．（结果用最简二次根式表示）

课外知识

．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开

方数相同，•这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开

方数相同的二次根式．

练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（

．与

-53-/361

mnn2xx2的有理化因式是．x1的有理化因式是．（）；23．32．与与3（）；2338．mnmn2的有理化因式是；（）．32xx．就是互为有理化因式；mnn2xx2的有理化因式是．x1的有理化因式是．（）；23．32．与与3（）；2338．mnmn2的有理化因式是；（）．32xx．就是互为有理化因式；与．1x2也是互为有理化因式．

．互为有理化因式：•互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以

运用平方差公式（）（），同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如

x2

练习：

y

x1

．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、•分母上同乘

以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的．

练习：把下列各式的分母有理化

（）；

．其它材料：如果是任意正整数，那么

理由：

练习：填空；；．

答案:

一、．

二、．

-54-/361

52777)21227353(53）3x2x)2(x152777)21227353(53）3x2x)2(x1x)2原式＝（）.377)2x222x)225

52(5

（

．原式＝(x(x1)2(x（）

∵

二次根式复习课

教学目标

．使学生进一步理解