利用导数研究函数的极值与最值-课件

利用导数研究函数的极值与最值一、考纲要求1、了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件2、会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）二、知识清单1.函数的极值与导数定义：设函数在附近有定义,如果对附近的所有点,都有,则称为的一个极大值,记作

;如果对附近的所有点,都有,则称为的一个极小值,记作.极大值和极小值统称为极值.结论:设在处连续,(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值;(2)如果在附近的左侧

,右侧,那么是极小值;(3)如果在附近,左右两侧导数值同号,那么不是极值.

利用导数求函数极值的步骤:（1)求;(2)求方程的根;(3)判断在方程根左右两侧的符号;(4)利用结论写出极值.

二、知识清单注意:(1)在函数的整个定义域内,函数的极值不一定唯一,在整个定义域内可能有多个极大值和极小值;(2)极大值和极小值没有必然联系,极大值可能比极小值还小;(3)导数等于零的点不一定是极值点(例如:,,但不是函数的极值点);(4)可导函数在极值点处导数必为零.二、知识清单2.函数的最大值与最小值(1)在闭区间上连续的函数,在上必有最大值和最小值;但在开区间上连续的函数不一定有最大值和最小值.(2)设函数在上连续,在上可导,求在上的最大值和最小值的步骤如下:

①求在内的极值;②将的各极值与、比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.三、近五年来命题情况2018年全国1（文21，理21），全国3（理21），北京（文19，理18），江苏（文11），2017年北京（文20，理19），全国2（理11，21），山东（理20），江苏（理20）2016年全国2（理21），全国3（理21），北京（理14），四川（文6），山东（文20），天津（文20，理20），浙江（理18）三、近五年来命题情况2015年陕西（文15），全国2（文21），北京（文19），浙江（文20），安徽（文21，理21），山东（理21），陕西（理12），重庆（理21）2014年天津（文19），北京（文20）常考问题归类函数的极值问题1、求函数的极值。先求导函数，令导函数为零，解出导函数的零点，并判断在对应零点左右两侧导数值符号是否改变，以确定函数在该处是否取得极值，若是求出该极值；2、已知极值求参数。先求导，在根据导数在极值点处的值为零，列出关于参数的方程，解出参数的值，注意导数为零是函数取得极值的必要不充分条件，故需进行检验。3、已知三次多项式函数有极值求参数的取值范围。先求导，导函数对应的一元二次方程有两不相等实根，判别式大于零，求出参数的取值范围。常考问题归类最值问题1、求连续函数在某一闭区间内的最值；2、已知最值或不等式恒成立求参数取值范围的问题。可通过参变分离将问题转化为即这样此问题就转化为求最值的问题。四、命题特点1、单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现，综合研究函数的性质以大题呈现；

2、利用导数求函数的单调区间和极值（最值）、结合单调性与不等式成立的情况求参数的范围是高考命题的热点；四、命题特点3、以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数方程、函数的图像等相结合，具有综合化更强的趋势；4、适度关注生活中的优化问题（2015江苏文15）五、备考重点1、熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础；2、熟练掌握利用导数研究函数单调性、极值（最值）的基本方法，灵活应用数形结合思想、分类讨论思想、整合思想、化归与转化思想、函数方程等思想分析和解决问题。六、复习资料及使用1、我们选用的是“五年高考三年模拟”，并且还订了一些试卷，如“伯乐马”、“衡水金卷”等.第一轮复习以“5+3”为主.二轮复习以做试卷和分析讲解试题为主.2、(一轮)课前要求学生对上课所涉及专题预习、填好知识清单并做相关资料的习题（教师预选）;上课先带学生一起看考纲内容，归纳知识点，后讲解高考题（必讲）和模拟题（选讲）.学生觉得困难的重点讲，讲了也不理解的不讲.3、高三一开始就抽时间对近五年全国卷的考题进行测试并精讲.七、考题示例例1.(2017全国2理.11)若是函数的极值点，则的极小值为（）A.B.C.D.解:,由题意得

,解得,所以

,可以求得时，取得极小值,故选A.注意:导数的零点不一定是函数的极值点,极值点是导数的变号零点,在函数的极小值点附近,导数由负变正.

七、考题示例例2.（2016四川文.6）已知为函数的极小值点，则（）A.-4B.-2

C.4

D.2解题思路:此题较容易,结合相关理论可知时,取得极小值,所以,故选D.例3.（2018江苏文.11）若在内有且只有一个零点,则在上的最大值与最小值的和为_______

.解题思路:本题考查导数在研究函数性质中的应用.,当时,在

上恒成立,则在上单调递增,七、考题示例此时在内无零点,舍去;当时,由得,由得,又在上有且只有一个零点,

,所以,所以则,,

,当时单调递增,当时,单调递减,则

,又,故，可求得答案.（本题较难,突破点是导数与函数单调性、极值的关系在解题中的应用，其中涉及到分类讨论思想，数形结合思想等）七、考题示例例4.（2015陕西文.15）函数在极值点处的切线方程为________.命题立意:本题考查导数的几何意义与应用，涉及到极值点的求法,难度中等.解题思路：,推出,经检验是极值点,可写出切线方程为.七、考题示例5.（2018全国1文.21）已知函数.（1）设是函数的极值点,求,并求的单调区间;（2）证明:当时.解:(1)的定义域为,,由题设知,所以,从而

当时，

;当时，.所以,在上单调递减,在上单调递增.七、考题示例(2)当时,.设,则.当时,.当时

.所以,，因此,结论成立.(命题特点:本题考查导数在研究函数性质中的应用,(1)根据函数在某点取得极值,则导函数在该点的函数值为零求解的值,从而得到的解析式,进而根据导数的符号求解函数的单调区间;(2)构造新函数,通过求解新函数的最小值证明结论.）本题第二问较难,只有那些做题经验丰富,并善于总结的一小部分同学才可能完成.

七、考题示例6.（2018全国1理.21）已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若存在两个极值点,,证明:

.解析:(1)的定义域为,当时,是上的增函数;当时令得或结合图像及相关知识得出结论;七、考题示例(2)由(1)可知,若存在两个极值点当且仅当、是方程,故,不妨设则,

,从而将未知数减少,,故

等价于

七、考题示例

设函数,由(1)知在上单调递减,又,所以

,即原不等式成立.(本题考查导数在研究函数单调性、极值等性质中的应用,较难.其中第二问中涉及到对要证明的不等式进行转化,构造新函数,通过求解新函数的值域证明结论).七、考题示例7.(2018全国3.理）已知函数.(1)若,证明:当时,;当时,;(2)若是的极大值点,求.解析:(1)当时,.令,,当时当时,,故,所以,所以在上单调递增,又,故结论成立.七、考题示例(2)①若,.结合(1)知当时,,与是的极大值点矛盾;②若,设函数.

由于当时,.故和同号,又故是的极大值点等价于是的极大值点.七、考题示例如果，则当,且时,不是的极大值点.如果,则存在根,故当且时,,所以不是的极大值点.如果,则

,当,;当时,.所以是的极大值点.故结论成立.所以.(本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值.第二小题难度非常大)七、考题示例8.(2018北京理.18)设函数(1)若曲线在点处的切线与轴平行,求;(2)若在处取得极小值,求的取值范围.(本题考查导数的几何意义,利用导数研究函数的极值.(1)利用导数公式和导数的几何意义求解;(2)对函数求导,对参数的取值范围分类讨论,利用导数与函数极值的关系求解.此题难度适中.)八、复习中的一些思考

导数的应用在高考中年年考,难度大,平均分低.学生学起来十分困难,遇到问题不能解决，一段时间以后学生产生了困惑、焦躁、紧张甚至是恐慌的不良情绪，这种情绪不仅会使得我们复习低效，更会影响学生的身心将康，对备考很不利.尽快走出盲目做题，转入有针对性、有重点的高效专题复习乃是目前的重中之重。要解决当前的问题，我做了一些思考。对策如下：

一、立足课本，夯实重点。课本既是我们教学的依据，又是基础知识的载体，还是考高命题的基本生长点，因此我们的复习不能脱离课本。在高考即将来临之前的专题复习中立足课本，扫清知识上的盲点显得尤为重要。八、复习中的一些思考如例1、2、4，这三个题不算难，但还是有很多同学丢分。究其原因就是知识上