高等数学自学课件81

一预备知识二多元函数的概念三多元函数的极限四多元函数的连续性第一节多元函数的极限及连续性1.邻域设是平面上的一个点，是某一正数，与点距离小于的点的全体，称为点的邻域，记为，

的去心邻域点一、预备知识2.内点.的内点为则称的某一邻域一个点．如果存在点是平面上的是平面上的一个点集，设.的内点属于.为开集则称的点都是内点，如果点集例如，即为开集．3.边界注：0.3也可能不属于的边界点可能属于0;2

的外点必定不属于10;的内点必属于的边界点．为），则称可以不属于，也本身可以属于的点（点也有不属于的点，于的任一个邻域内既有属如果点的边界．的边界点的全体称为EE4.连通集5.区域连通的开集称为区域或开区域．开集且该折线上的点都属于是连通的．，则称连结起来，任何两点，都可用折线内是开集．如果对于设开区域连同它的边界一起称为闭区域．例如，例如，有界闭区域；无界开区域．6有界点集、无界点集无界点集．为有界点集，否则称为则称即，不超过的距离与使任意的，如果存在正数的某一定点对于点集

例如，7n维空间设两点为比如：

当时，便为数轴、平面、空间两点间的距离．

设为取定的一个自然数，我们称元数组的全体为维空间，而每个元数组称为维空间中的一个点，数称为该点的第个坐标.二、多元函数的概念类似地可定义三元及三元以上函数．

设D是平面上的一个点集，如果对于每个点DyxP),(，变量z按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称z是变量yx,的二元函数，记为),(yxfz=（或记为)

z当时，元函数统称为多元函数.多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念．1多元函数的定义解所求定义域为解所求定义域为例1

求的定义域．例2求的定义域．

2二元函数的图形),(yxfz=

设函数),(yxfz=的定义域为D，对于任意取定的DyxP),(，对应的函数值为),(yxfz=，这样，以x为横坐标、y为纵坐标、z为竖坐标在空间就确定一点),,(zyxM，当),(yx取遍D上一切点时，得到一个空间点集}),(),,(|),,{(Dyxyxfzzyx=，这个点集称为二元函数的图形.

说明：二元函数的图形通常是一张曲面.

如二元函数的图形是以原点为球心，半径为的上半个球面；

而表示以坐标原点为顶点的上半个锥面．三、多元函数的极限聚点

设E是平面上的一个点集，P

是平面上的一个点，如果点P的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集E，则称P为E

的聚点.内点一定是聚点；说明：

边界点可能是聚点．例(0,0)既是边界点也是聚点．定义1

设函数),(yxfz=的定义域为),(,000yxPD是其聚点，如果对于任意给定的正数e，总存在正数d，使得对于适合不等式d<-+-=<20200)()(||0yyxxPP的一切点，都有e<-|),(|Ayxf成立，则称A为函数),(yxfz=当0xx，0yy时的极限，

（或)0(),(rAyxf这里||0PP=r）.

记为

说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．证例1求证当时原结论成立证例2求证当时，所以结论成立．证其值随k的不同而变化，故极限不存在．例3证明不存在．取（2）

令),(yxP沿kxy=趋向于),(000yxP，若极限值与k有关，则可断言极限不存在；

确定极限不存在的方法：1（）找两种不同趋近方式，使存在，但两者不相等，此时也可断言),(yxf在点),(000yxP处极限不存在．1定义上连续．在就称函数的每一点都连续，那么在如果函数DDyxf)yxf,(),(四、多元函数的连续性例4讨论函数在(0,0)处的连续性．解当时，故函数在(0,0)处连续.例5讨论函数在(0,0)的连续性．解取其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．

设0P是函数)(Pf的定义域的聚点，如果)(Pf在点0P处不连续，则称0P是函数)(Pf的间断点.2间断点函数的间断点的判定（只要满足下列一条）：（1）函数在此点处无定义；（2）函数在此点处有定义，但无极限；（3）函数在此点处有定义，有极限，但极限不等于函数值．注意：（1）多元函数的间断点有可能是一点，也可能形成一条曲线；

（2）多元初等函数在其定义区域内是连续函数．定义区域是指包含在定义域内的区域．

一般地，求时，如果是初等函数，且是的定义域的内点．则在点处连续，于是解例6求函数的定义域显然故