2021年湖南省衡阳市导子中学高三数学理模拟试题含解析

2021年湖南省衡阳市导子中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设的值为

A．8

B．7

C．6

D．5参考答案：B2.已知函数是定义在实数集R上得不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则=（

）A．0

B.

C.1

D.参考答案：A3.已知是三角形的最小内角，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：，，由得，选．4.学校高中部共有学生2000名，高中部各年级男、女生人数如下表，已知在高中部学生中随机抽取1名学生，抽到高三年级女生的概率是0.18，现用分层抽样的方法在高中部抽取50名学生，则应在高二年级抽取的学生人数为（）

高一级高二级高三级女生373yx男生327z340A．14B．15C．16D．17参考答案：B

考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：先利用抽到高三年级学生的概率求出x，y，z．然后利用分层抽样的定义确定高二年级应抽取的学生人数．解答：解：因为高中部学生中随机抽取1名学生，抽到高三年级女生的概率是0.18，所以，解得x=360．所以高一人数为373+327=700，高三人数为360+340=700，所以高二人数为2000﹣700﹣700=600．所以高一，高二，高三的人数比为700：600：700=7：6：7，所以利用分层抽样从高中部抽取50人，则应在高二抽取的人数为人．故选B．点评：本题的考点是分层抽样的应用，比较基础．5.已知矩形ABCD中，.如果向该矩形内随机投一点P，那么使得与的面积都不小于2的概率为（）A. B. C. D.参考答案：D，由题意知本题是一个几何概型的概率，以AB为底边，要使面积不小于2，由于，则三角形的高要h?1,同样,P点到AD的距离要不小于，满足条件的P的区域如图，其表示的区域为图中阴影部分,它的面积是，∴使得△ABP与△ADP的面积都不小于2的概率为：.故选D.6.已知向量、满足，，，则A. B.3 C. D.参考答案：B略7.已知，，，则的大小关系是（

）。A、

B、

C、

D、参考答案：D8.若cos（﹣α）=，则cos（+2α）的值为（）A． B．﹣ C． D．﹣参考答案：A【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】利用二倍角公式求出cos（﹣2α）的值，再利用诱导公式求出cos（+2α）的值．【解答】解：∵cos（﹣α）=，∴cos（﹣2α）=2cos2（﹣α）﹣1=2×﹣1=﹣，∴cos（+2α）=cos[π﹣（﹣2α）]=﹣cos（﹣2α）=．故选：A．9.已知函数，则的单调增区间为

A．

B．

C．

D．参考答案：D解析：令且，即得的单调增区间为．10.已知集合，则集合＝（

）

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.命题“，”的否定是

．参考答案：12.等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比q=_______参考答案：

(15)已知向量夹角为

，且；则【答案】13.将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的一半，纵坐标保持不变得到新函数，则的最小正周期是__________.参考答案：14.函数的最小正周期为．参考答案：略15.若向量满足，则x=

．参考答案：1【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知向量的坐标求出的坐标，再由列式求得x值．【解答】解：∵，∴，又，且，∴x﹣1=0，即x=1．故答案为：1．16.已知函数，若关于的方程有三个不同的实数根，则实数的范围为

．

参考答案：略17.若直线与曲线满足下列两个条件：直线在点处与曲线相切；曲线在附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线.下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号).①直线在点处“切过”曲线：②直线在点处“切过”曲线：③直线在点处“切过”曲线：④直线在点处“切过”曲线：⑤直线在点处“切过”曲线：参考答案：①③④三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分）某商场营销人员进行某商品M市场营销调查发现，每回馈消费者一定的点数，该商品当天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到以下表：反馈点数x12345销量（百件）/天0.50.611.41.7（1）经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该商品一天销量y（百件）与该天返还点数x之间的相关关系.请用最小二乘法求y关于x的线性回归方程，并预测若返回6个点时该商品当天销量；（2）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：返还点数预期值区间（百分比）[1,3)[3,5)[5,7)[7,9)[9,11)[11,13]频数206060302010将对返点点数的心理预期值在[1,3)和[11,13]的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，求抽出的3人中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的概率.

(参考公式及数据：①回归方程，其中；②.)

参考答案：（1）易知，，

，

则y关于x的线性回归方程为，当时，，即返回6个点时该商品每天销量约为2百件.

..........................6分(2)设从“欲望膨胀型”消费者中抽取x人，从“欲望紧缩型”消费者中抽取y人，由分层抽样的定义可知，解得在抽取的6人中，2名“欲望膨胀型”消费者分别记为，4名“欲望紧缩型”消费者分别记为，则所有的抽样情况如下：共20种,其中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的情况由16种记事件A为“抽出的3人中至少有1名‘欲望膨胀型’消费者”，则

.....12分

19.在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2,.(1)若△ABC的面积等于，试判断△ABC的形状并说明理由(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求a，b．参考答案：(1)由余弦定理及已知条件，得a2＋b2－ab＝4.又因为△ABC的面积等于，所以absinC＝，得ab＝4.联立方程组解得(2)由题意，得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，即sinBcosA＝2sinAcosA.当cosA＝0，即A＝时，B＝，a＝，b＝；当cosA≠0时，得sinB＝2sinA，由正弦定理，得b＝2a.联立方程组解得解0＜A＜.20.（本题满分12分）.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知,a=3,.(Ⅰ)求b的值;(Ⅱ)求的值.

参考答案：（I）解：在中，由=，可得,又由，可得a=3c，又a=3，故c=1.由，=，可得（II）解：由=，得=，进而得==，.所以sin=sin21.（本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.如图，正方体的棱长为（1）求直线与平面所成角的大小；（2）求四棱锥的体积.

参考答案：.解：（1）以为坐标原点，分别以射线、、为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示。则,,,……1分,,……2分设是平面的法向量，则,即令，则…3分设直线与平面所成角为，则……4分由于，所以……5分即直线与平面所成角的大小为；……6分（2）由（1）得……8分所以点到平面的距离……10分因为四边形是矩形，所以面积……12分……14分略22.已知函数，数列满足，．(1)若数列